VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Аналогичным образом меняется и функция р1~(~) = 1 — р~~(~), причем, когда одна нз них максимальна, другая минимальна. Величину р надо отождествить со значением интенсивности 2 второй гармоники, р22(0), задаваемой граничными условиями на поверхности кристалла (г = 0).
Мы видим, что в направлении оси В в глубь кристалла происходит периодическая перекачка энергии из основной частоты во вторую гармонику и обратно. При уменыпении рй(0) период этого процесса возрастает, и при р2(0) — 1 0 стремится к бесконечности по логарифмическому закону. Предельному значению р2(0) = р, = 0 отвечает решение 554 НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА ГЛ. ХШ Решение этих уравнений, равное нулю в начальной точке ~ = 0: р2Я = -р1(0)нш —, д = — — —. 2 2 . в~ и зс 8 2 2 2 (110.21) Эти формулы определяют изменение поля на протяжении одного интервала 0 < ~ < 2п/е (т.
е. 0 < х < 2п/д), после чего процесс повторяется периодически ). Условие р2 « о1 означает, 11 что должно быть р~1(0)/з << р1(0), т. е. е >> р1(0) или оео » 1, хс 1 пр (О)ьгР' Это -- условие сравнительно большой расстройки синхронизма. Вообще, величина параметра о определяет, какой эффект ограничивает генерацию гармоники (т.
е. рост амплитуды р2) линейный эффект нарушения синхронизма при 9ео » 1 или нелинейные эффекты при оео « 1 ). Выше в этом параграфе мы говорили везде о генерации второй гармоники за счет основной частоты. Но рассмотренные уравнения описывают и обратное явление: усиление (его называют наромепгрическим) слабого сигнала частоты ш в поле интенсивного излучения частоты 2ш; этот процесс, рассмотрением которого мы здесь ограничимся, представляет собой простейший случай более общего явления — усиления сигналов с различными частотами ш2 и ш1 — ш2 в поле интенсивной волны с частотой ш1 (С.А.
Ахманов, Р.В. Хохлов, 1962; В.Н. Кгпхл)он, 1962). Прежде всего, подчеркнем следующее отличие этого процесса от генерации второй гармоники. Последняя могла начинаться с нулевой интенсивности гармоники. Возможность же усиления основной частоты во всяком случае требует хотя бы малой ее начальной интенсивности: если в начальной точке р1(0) = О., то так останется везде; из уравнений (110.10) видно, что вместе с р1 обращаются в нуль также и производные всех порядков от р1 и Р2. Снова рассмотрим случай точного синхронизма и, сверх того, пусть начальное значение фазовой переменной д(0) = — и/2; при точном синхронизме зто значение будет сохраняться.
Тогда параметр б = 0 в силу равенства сов д = О, хотя начальные значения р1 и о2 отличны от нуля. Решение уравнений (110.10) в ') В каждом последующем периоде к постоянному члену в фазовой переменной д надо добавлять по к. В точке, где рз = О, фаза дя теряет смысл и разность фаз д может испытывать скачок. ~) Напомним, что все проведенное рассмотрение основано на предположении о « йп Это условие уже полностью использовано при выводе уравнений (110.ог) и малого параметра д/й~ в них не осталось. Говоря о случае йге >> 1, мы предполагаем, конечно, что он совместим с условием о « Йн 555 1 ыг сильныв злвктРОмьгнитнык ВОлны этом случае есть Р1 =, р2 = — гЬ (~ — ~0), (110.22) сь(~ — ~ ) где ~с ) 0 постоянная. При большом значении этой постоянной начальное значение р1(0) = 1/сЬ~с мало.
Мы видим, что вдоль оси г в глубь кристалла происходит усиление волны основной частоты за счет интенсивности гармоники. Последняя убывает до нуля (при ~ = ~о), а затем снова возрастает, пока асимптотически вся интенсивность не окажется сосредоточенной в ней ). 'й' 111. Сильные электромагнитные волны Возможность постановки рассмотренной в предыдущем параграфе задачи о генерации всего одной определенной гармоники была связана с наличием дисперсии.
Теперь мы рассмотрим обратный случай, когда во всем существенном интервале частот дисперсию можно считать отсутствующей, так что индукция 1Э(г) в каждой точке определяется значением Е(8) в тот же момент времени 2). Мы будем считать среду изотропной; тогда направления В и Е совпадают. Нелинейность же в этом параграфе нс предполагается малой, так что зависимость .0(Е) произвольная функция. Пренебрежение поглощением и дисперсией имеет принципиальное значение в том отношении, что после этого из уравнений поля исчезают какие-либо параметры размерности частоты (или, тем самым, размерности длины). Это обстоятельство делает возможным построение точного решения, обобщающего обычную одномерную плоскую волну линейного приближения (А.В. Гапонов, ГИ.
Фрейдлгаьй 1959) ). Пусть волна распространяется в направлении оси х, электрическое поле напРавлено по оси У, а магнитное -- по оси В (Еэ и Н, обозначаем просто как Е и Н). Уравнения Максвелла гойя = — —, го1Е = — —— 1 дВ 1 дН с дг ' с дг ') При С ) Се Фазовой переменной надо приписать значение д = я/2 и изменить знак перед ГЬ в рзЯ.
) Для единообразия изложения в етой главе мы и здесь будем говорить о нелинейной связи между 11 н Е, предполагая среду немагнитной. В действительности о рассматриваемых явлениях обычно идет речь для сред с нелинейной зависимостью В от Н. ) Это решение аналогично так называемым простым волнам одномерной гндродинамики идеальной сжимаемой жидкости (см.
У1, 1 ПП), НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА ГЛ. ХШ принимают вид (111.1) дх с дс сдс' дх с дс' где по определению с Ж с~Е дх сйЕ д8 дх Для того чтобы зти два уравнения могли удовлетворяться отлич- ными от нуля значениями неизвестных дЕ/дс и дЕ/дх, должен быть равен нулю их определитель. Это условие дает откуда Н = ~ ~ ~/ (Е) Г1Е. а (111.4) Подставив теперь Г1Н/Г1Е из (111.4) в одно из уравнений (111.3), имеем (дЕ/д$) (дх 1 с (дй/дх), ~ а! н,Я' Отсюда следует, что с х~ — 1 т/с может быть произвольной функцией от Е. Обозначив обратную функцию как /, имеем Е=/ х~ (111.5) два знака здесь отвечают двум направлениям распространения волны.
После выбора функции / формула (111.5) определяет в неявном виде зависимость Е(с, х). В слабых полях, когда можно положить е = ее, (111.5) переходит в обычную плоскую волну с фазовой скоростью с/ /сео. Отметим, что полученное решение Е~Е) =— (111. 2) (при Š— + О функция а(Е) стремится к значению ее -- обычной дизлектрической проницаемости). Ищем решение, в котором функции Е(с, х) и Н(с, х) могут быть выражены как функция одна другой: Н = Н(Е). Тогда уравнения (111.1) можно переписать как 557 1 111 сильныв элвктгомагнитнык Волны Рис. 60 бы стать неоднозначным. В действительности, в этот момент в волне возникает электромагнитная ударная волна — разрыв величин Е и Н.
Граничные условия на разрыве имеют тот же вид (76.13), что и на любой движущейся поверхности. Для плоской поперечной волны имеем: Нг — Н1 = -(Рз — В1), с Е,— Е, ="(Н,— Н), с ( .6) где индексы 1 и 2 относятся к значениям величин соответственно впереди и позади фронта. Перемножив эти два равенства, найдем для скорости ударной волны: (111.7) В ударной волне происходит диссипация энергии. Пусть сь1— скорость диссипации, отнесенная к единице площади поверхности разрыва.
Для ое вычисления пишем закон сохранения энергии, примененный к цилиндрическому элементу объема среды, одно основание которого находится позади, а другое впереди разрыва: — (ЕзНз — Е1 Н1) = е(Нз — У1) + Я. (111.8) 4л Слева стоит разность потоков энергии через оба основания, а справа сумма скорости изменения внутренней энергии за счет ) В изложенном выводе предполагается, что плотность, температура и т. д.
среды не затрагиваются колебаниями поля. Это оправдывается как малостью стрикционных эффектов, так и большой (по сравнению со скоростью звука) скоростью распространения волн. существует только при е > 0 -.в соответствии с условием устойчивости (18.8) 1). По мере распространения волны заданный в начальный момент ее профиль искажается, поскольку разные участки бегут с различными скоростями. Обычно е(Е) убывает с ростом Е (функция е(Е) стремится к насыщению). Тогда точки профиля с большими значениями Е бегут с ббльшими скоростями, в результате чего увеличивается крутизна переднего фронта профиля (как это иллюстрирует рис. 60, на котором показана форма профиля в несколько последовательных моментов).
В некоторый момент возникает перегиб профиля, после чего он должен был 558 НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА Гл. хгп перемещения границы между областями 1 и е и диссипируемой в ней энергии. Разность внутренних энергий (при неизменных плотности и температуре); А 2 П2 — и1 = ' ~ ЕаП+ ' (Н2' — Н,'). 4х 82г и, Используя также равенства (111.6)г (111.7)г можно привести (111.8) к виду П2 — -(2-)2 — %1)(Е2 + Е1)— 4х 1Г2 пг Если ударная волна слабая (т. е. скачки величин в ней малы), то при вычислении Я можно представить связь Ю с Е в виде разложения .0(Е) = 01 + е(Е1 ИŠ— Е1) + — е'(Е1ИŠ— Е1)2, где е'(Е) = г1йР(г1Е . Простое вычисление приводит к результату с, = — — Не'(Е1)(Е2 — Е1)з. 48х Таким образом, диссипация энергии в слабой электромагнитной ударной волне — третьего порядка по величине скачка поля в ней.
Поскольку должно быть О > О, то при е'(О будет Е2 > Е1— в соответствии с рис. 60. Появление ударной волны нарушает применимость полученного решения: выражения (111.4), (111.5) для поля противоречат граничным условиям (111.6). Существенно, однако, что волна остается приближенно (с точностью до величин второго порядка включительно) простой, пока ударную волну можно считать слабой 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
