VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Мы будем считать среду нспоглощающей, так что е; ы вещественные величины. Задача о генерации второй гармоники может быть поставлена следующим образом. Пусть на плоскую поверхность кри- ы ) Отметим, что если распределение ~Ес~ по сечению пучка не меняется 2 вдоль ого длины, то гг~ = сопв$ и е' = О. Обратное, однако, не обязательно: могут существовать решения, в которых е = О, так что В = соней но распределение зависит от я, 549 1 по гкнвглция втогой гм моники сталлической среды падает плоская монохроматическая волна с частотой ы.
Наряду с отраженной и двумя преломленными (в двупреломляющем кристалле) волнами той же частоты возникают также отраженная и преломленные волны частоты 2оз. Волны этой частоты в кристалле представляют собой решение уравнений (109.5), (109.0), в которых нелинейный член в индукции, 012), должен быть выражен через поле основной волны. Амплитуды всех этих волн выражаются через амплитуду падающей волны с помощью граничных условий, на которых мы не будем останавливаться.
Разумеется, амплитуда волн частоты 2ы будет мала в меру малости нелинейной восприимчивости ). Преломленные волны распространяются далее в глубь кристалла как в неограниченной среде. По мере их распространения эффекты нелинейности накапливаются и интенсивность гармоник может достичь больших значений происходит перекачка энергии из основной частоты в гармонику.
Именно этот процесс и будет интересовать нас здесь. Условия же на поверхности кристалла играют при этом лишь роль «начальных» условий, задающих некоторую малую, но отличную от нуля, амплитуду поля второй гармоники. Эти же условия задают (для данного направления падающей волны) волновые векторы первой 1«1 и второй 1«2 гармоник в кристалле. Как будет видно из дальнейшего, эффективная перекачка энергии происходит, только если выполняется условие синхроиизл«а основной волны и гармоники ): (110.2) 1«2 — 21«1. Подчеркнем, что для самой постановки задачи о генерации одной лишь второй гармоники принципиальное значение имеет наличие дисперсии. В отсутствие дисперсии условие (110.2) выполняется при преломлении автоматически вместе с аналогичными условиями и для более высоких гармоник ()сз — 31«1 и т.
п.). При наличии дисперсии это уже не так и можно считать, что условие синхронизма, выполняясь для второй гармоники, не выполняется для других. Подчеркнем, что уже само условие (110.2) фактически может быть выполнено, только если основная волна и гармоника относятся к различным поляризационным типам и, соответственно, имеют различные заковы дисперсии. ') Расчет условий отражения и преломления на границс нелинейной среды для некоторых частных случаев — см, статью В1оетбегхеп 1У., Рег«Ьап Р.В.
О Роуз. Нет, 1962. У, 128. Р. 606 (русский перевод я кн, Бложберген Н. Нелинейная оптика. — Мз Мир, 1966). э) Природа этого условия особенно ясна с квантовой точки зрения, когда генерация второй гармоники рассматривается как «слияние» двух фотонов я один. Равенство й1сз = 261г1 выражает сохранение импульса я этом процессе, 550 НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА ГЛ. ХШ Запишем поле в среде как суперпозицию двух волн: Е = Е|+ ЕЙ = Ке(е1Е1ое'("" ') + ееЕзоей"" ')], (110.3) причем, в силу условия (110.2) 1гз = 21Г1+ с1, (110.4) где д « йп Амплитуды волн представлены в виде произведений Ео = еЕП, где е — единичный (ее* = 1) вектор поляризации.
В линейном приближении зги амплитуды были бы постоянны, а с учетом нелинейности они медленно (т. е. мало на расстояниях 1 к1) меняющиеся функции координат. равнения для амплитуд обеих волн получаются путем подстановки (110.3) в уравнения Максвелла (109.5), (109.6) и отделения в них членов с одинаковой зависимостью от времени. Мы не станем подробно приводить здесь зти простые, но громоздкие вычисления и ограничимся лишь некоторыми принципиальными указаниями. Мы будем искать решения уравнений, описывающие стационарную генерацию второй гармоники в кристалле бегущей основной волной; такие решения не зависят от времени. При точном синхронизмг (с1 = О) уравнения для амплитуд не содержали бы вовсе координат в явном виде; при неточном синхронизме координаты входят в уравнение только в комбинации с1г (в множителе ехр ( — гс1г)).
Выбрав направление вектора с1 в качестве оси е, можно позтому искать решения уравнений, зависящие только от ж Если исходить из указанной выше постановки вопроса о падении волны ы на поверхность кристалла, то задача однородна в плоскостях, параллельных этой поверхности. Поэтому ось г ей перпендикулярна (перпендикулярность вектора Г1 поверхности кристалла выполняется автоматически в силу граничных условий). В линейном приближении волны в анизотропной (негиротропной) среде линейно поляризованы (см. 5 97); для них е может быть определен как вещественный вектор, и именно зти значения для обеих волн будут подразумеваться ниже под е1 и ей.
Если разложить амплитуду Ео каждой волны по направлениям е, 1Г, е1Г), то составляющие вдоль двух последних направлений будут малы в меру малости производных Г1Ео/дг, появляющихся как аффект нелинейности. Составляющие же вдоль е приближенно совпадают с абсолютными величинами Ео векторов Ео. Уравнения для них получаются умножением уравнения (109.5) на вектор е1 или ей.
Поскольку волны с Ео = сопв1 предполагаются точными решениями уравнений Максвелла в линейном приближении, то все линейные члены в уравнениях, не содержащие производных по е, взаимно сокращаются. Члены же с 551 1 по ГВНВРАПИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ где введены обозначения ~): ы г) = —,е,,ьс[ы, ю)ег,егьеп, гсз сг1 = 1[е1[1с1е1]]„, сгг = — 1[ег[1сгег]] = 1[ег[1с1ег]]. [110.6) [110. 7) Умножив первое уравнение [110.5) на Его, а второе — — на Е10 и сложив их, найдем первый интеграл втой системы: сгг [Его[2 + сгг [Его[~ = сопв1 = Р. [110.8) Он выражает собой постоянство суммарного [в обеих волнах) потока знергии вдоль оси х ).
') Первое из уравнений (Н05) получается из членов с е з' ', авторов — из членов с е™. В правых частях зтих уравнений использованы соотношения В08П3), ) Усредненная по времени плотность потока ввергни в волне Еп Зы = — Ве ЦЕ1оН1о) = ЦЕ)о[1с1Е1о]) = [Еоо[, 8х 8хы 8хы и аналогично для волны Ез.
составляющими Ес по направлениям 1с и [е1с] [которые могли бы быть того же порядка величины, что и члены с производными с)Е0/ГЬ), как оказывается, выпадают при указанном умножении; это обстоятельство связано с ортогональностью индукции 1л направлениям как 1с, так и [е1с] [см. [97.3)). Ввиду предполагаемой медленности зависимости амплитуд от координат, в уравнениях можно пренебречь вторыми производными от Ее по з. Позтому, например, имеющееся в уравнении для Ег [умноженном на ег) выражение е2с ([ГОГ ГО8)сь — е,ь[2оз) ~ егьЕгсес со с учетом всего сказанного приближенно сводится к 21ег [1сг [1ег]] —" 8х [где 1 орт оси з), и аналогично для Еп Окончательные уравнения, получающиеся в результате описанных действий, гласят: сг " = — сг)е 'е'Ещ 8Е [110.5) ойоо — Сох сг1 — = 1г)е ЕтЕ20 дс 552 НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА ГЛ.
Хп( От комплексных величин удобно перейти к вещественным-- абсолютным значениям и фазам величин Еш и Его. Для максимального упрощения уравнений введем новые неизвестные РМ рг, (рм (ря как безразмерные величины, определив их согласно Его = 2 — Ргек"', Еяо = 2 — ряе'т'. (110.9) аг '2' О2 Система уравнений (110.5) инвариантна относительно преобразования (Рг — 'г (рг + с, (рг — '2 (ря + 2с. Поэтому фактически в ней отделяются уравнения для функций рм рг и для инвариантной комбинации 2(рг — (рг, образующие вместе замкнутую систему уравнений; — = — ргряя[пд, — = р, я[пд, Пр2 ° ((Рг я (110.10) 4~ (1В 1 — = — в — 2ря — — ' соя д, к [...[ где ( Г и безразмерный параметр О ОЧО2 Г2 о (110.14) Первый интеграл (110.8) в этих переменных принимает вид Рг+Ря =1.
(110.15) Рассмотрим случай точного синхронизма: (7 = О, т. е. в = О. Тогда уравнения (110.10), (110.11) имеют еще один первый интеграл: р~~ря соя д = сопя1 = б (110.16) (причем постоянная бо < 4((27; это следует, как легко убедиться, из равенств (110.15), (110.1б) в силу условия [сояд[ < 1). С использованием обоих этих интегралов решение уравнений (110.10) приводится к квадратурам к эллиптическому интегралу 4Ю (110.17) ,г [н() н)2 б2[Ы2 р~ ~[о) д = 2(рг — (рг — в(," и введены безразмерная переменная (110.11) (110.12) (110.13) ГВНЕРАИИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ 1 по выбор знака перед интегралом определяется знаком начального (при ~ = 0) значения В)пд.
Кубическое уравнение и(1 — и) — б = 0 (110.18) имеет (при о2 < 4/27) три вещественных положительных корня, из которых два меньше единицы; обозначим последние как р и 2 р~~, причем р2 < р~~ '). Определяемая формулой (110.17) функция р~© периодически меняется в пределах между этими значениями с периодом, равным интегралу Рь Г 4и (и(1 — и)2 — 62 '72 (110.19) Р. 2 Р1 Р2 ь)З 6 (110.20) сЬ~ получающееся из (117.17) при д = 0 элементарным интегрированием; в нем амплитуда второй гармоники монотонно возрастает н асимптотически при ~ — + ОО вся энергия переходит из основной частоты в гармонику.
Рассмотрим теперь обратный случай, когда амплитуда р2 остается везде малой по сравнению с р1. Мы увидим, что этот случай отвечает значительной расстройке синхронизма волн. При р2 « р1 можно, в первом приближении, считать р1 постоянным (р1 = р1(0)), а уравнения для р2 и й записать в виде 2 (О) — ' = р,(0) в)пд, — = — з+ Р'( ) совй. Ы~ Ы~ Р2 ') Между этими корнями полипом в левой части (110.18) имеет максимум в точке и = 1/3, равный 4/27 — б; при б = 4/27 этот максимум обращается в нуль, два вещественных корня сливаются, а затем исчезают.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
