VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Ввиду непрерывности Вх производная дВх/де ограничена, и по- тому интеграл от нее стремится к нулю при стремлении к нулю длины отрезка Ы. Интеграл же от дВ,/дх дает разность значе- ний В, на обеих сторонах поверхности. Таким образом, 4е в„— в„= — а. с ское поле в диэлектриках в отсутствие свободных зарядов, отличаясь от них лишь заменой Е и еА соответственно на Н и Н. Ввиду уравнения го1 Н = 0 можно искать Н в виде Н = — 8гаг1 г)г, и для потенциала г1г получаются те же уравнения, что и для электростатического потенциала. Решения ряда задач, рассмотренных в гл.
11 для электростатического поля, непосредственно переносятся, таким образом, на постоянное магнитное поле. В частности, полученные в 6 8 формулы для диэлектрического эллипсоида в однородном электрическом поле полностью справедливы (с соответствующим изменением обозначений) и для магнитного эллипсоида в однородном магнитном поле. Так, напряженность Н19 и ивдукция В19 магнитного поля внутри зллипсоида связаны с напряженностью х1 внешнего поля соотношением 166 гл. 1ч ПОС'ГОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ Это равенство можно написать в векторном виде как — и = [п, Вз — В11 = 4х[п, Мт — М11, с (29.16) где и — единичный вектор нормали, направленной внутрь среды е; при последнем преобразовании учтена непрерывность тангенциальной компоненты Н.
й' 30. Магнитное поле постоянных токов Если в проводнике течет отличный от нуля полный ток, то средняя плотность тока в нем может быть представлена в виде суммы рч = сгоФМ+1 (30.1) (30.2) с11чВ = О, 4т. го1Н = — 3. с Плотность тока проводимости 1, пропорциональная напряженности электрического поля, является величиной ограниченной, не обращающейся в бесконечность, в частности и на границе раздела двух сред. Поэтому наличие правой части в уравнении (30.2) не отражается на граничном условии непрерывности тангснциальных компонент Н. ) Величину же сгоСМ иногда называют плотностью молекулярных токов.
Это название, однако, не вполне соответствует истинной физической картине движения зарядов в проводнике. Так, в металле вклад в намагниченность дают не только злектроны, движущиеся внутри атомов, но и электроны проводимости. Первый член, связанный с намагниченностью среды, ве дает вклада в полный ток, так что полный перенос заряда через поперечное сечоние тела определяется интегралом ) 1 ЙК только от второго члена. Величину 1 называют плотностью тоха проводимости '). Именно к ней относится все сказанное в З 21, в частности, энергия, диссипируемая в единицу времени в единице объема, равна Е3. Распределение тока 3 по объему проводника определяется указанными в 3 21 уравнениями, в которые не входит создаваемое этими же токами магнитное поле (при условии пренебрежения влиянием поля на свойства проводимости самого металла).
Поэтому задача об определении магнитного поля токов должна решаться по заданному распределению последних. Уравнения этого поля отличаются от полученных в з 29 уравнений наличием члена 4х3у'с вместо нуля в правой части (29.7): 167 1зо мхгвитвов поля постоянных токов Для решения уравнений (30.1), (30.2) удобно ввести векторньсй потенциал А, положив В = го1А, (30.3) в результате чего уравнение (30.1) удовлетворяется тождественно. Равенством (30.3) векторный потенциал еще не определяется однозначно.
К нему можно прибавить, не нарушая (30.3), любой вектор вида нгас1 с". Ввиду этой неоднозначности можно наложить на А одно дополнительное условие, в качестве которого выберем йнА = О. (30.4) Уравнение для А получается подстановкой (30.3) в (30.2). При линейной связи В = рН имеем го1( — го1А) = — 3. (30.5) и с В таком виде это уравнение справедливо для любой неоднородной среды. В однородной среде 1с = сопв1, и поскольку го1 го1 А = ягас1 йт А — ЬА = — ЬА, то уравнение (30.5) приводится к виду ЬА = — — и1. (30.6) Если же мы имеем дело с совокупностью двух илн более различных соприкасающихся сред, каждая из которых обладает своей магнитной проницаемостью 1с, то общее уравнение (30.5) сводится к уравнению вида (30.6) внутри каждого из однородных тел, а на их границах должно выполняться условие непрерывности тангенциальных компонент вектора (1/1с) го1 А.
Кроме того, должны быть непрерывными касательные компоненты самого вектора А, так как их скачок означал бы наличие на границе бесконечной индукции В. Уравнения поля упрощаются для плоской задачи определения магнитного поля в среде, не ограниченной и однородной в одном направлении (которое мы примем в качестве направления оси в), причем создающие поле токи тоже направлены везде вдоль оси в, а их плотность |, = у есть функция только от х, у.
Сделаем естественное (подтверждающееся результатом) предположение, что векторный потенциал такого поля тоже направлен вдоль оси ьп А, = А(т,у) (условие (30.4) удовлетворяется при этом автоматически), а магнитное поле соответственно везде параллельно плоскости ту. Обозначив через 1с единичный вектор вдоль оси г, имеем го1А = го1А1с = (дгас1А 1с,', го1( — го1 А) = [~7[ †. 1с~1 = — 1сйт —. 168 ПОС'ГОЯННОЕ МАГНИТНОЕ Г!ОЛЕ ГЛ. 1Ч (30.8) ') Обратим внимание на то, что плоская задача о постоянном магнитном поле оказывается эквивалентной плоской задаче злектростатикя об определении электрического поля, создаваемого сторонними зарядами, распределенными в диэлектрической среде с плотностью р„(е, р), Пес!!едняя задача требует решения уравнения Гйч (е йгас) !л) = — 4кр, (1е — потенциал пш!я), отличающегося от (30.7) лишь заменой А, у!!с, д соответственно на 1Л, р,, 1/е! совпадают также граничные условия для А и для ю.
Разница, однако, возникает при определении соответстненно Ж или В по !р или А. Векторы Е = — кгад 1д и В = го!А в каждой точке одинаковы по абсолютной величине, но взаимно перпендикулярны по направлению. Поэтому уравнение (30.5) приводится к виду С)1Ч У(ь! и)! (30.7) и с т. е. мы действительно получаем одно уравнение для одной ска- лярной величины А(т! у). Для кусочно-однородной среды (30.7) сводится к уравнению ЬА = — ~)17'(х, У) с 1дА с граничным условием непрерывности А и — — на поверхности и дп раздела '). Магнитное поле определяется совсем элементарно, если рас- пределение токов симметрично относительно оси ю у, = у(т) (т— расстояние до оси е). Очевидно, что в этом случае магнитные си- ловые линии являются окружностями Г = сопз1.
Абсолютная же величина поля непосредственно определяется из формулы ~н и= — '~'~ж, (30.9) являющейся интегральной формулой уравнения (30.2). Именно, Н(т) = —, (30.10) где 7(т) — полный ток! протекающий внутри окружности т = = сопвФ. Сведение векторного уравнения (30.5) к одному скалярному уравнению возможно также и при аксиально-симметричном рас- пределении круговых токов, т.
е. при распределении, которое в цилиндрических координатах т, 1!з, з имеет вид у,=у,=О, у,=у(т,е). Векторный потенциал ищем в виде А„= А, = О, А = А(т, е). При этом компоненты магнитной индукции В = го1 А В„= — —, В, = — — (ГА), В, =О, дз' тдт 169 1зо мхгннтнон полн постоянных токов и у-компонента уравнения (30.2) дает — ( — — ) + — ( — — гА) = — — Яг, я). (30.11) в нуль, есть с/ тс (30.12) где Л расстояние от точки, в которой мы ищем А (точка наблюдения), до элемента объема Л' (см. П, 9 43).
11ри применении операции го1 к этому выражению следует помнить, что дифференцирование 1/В под знаком интеграла должно производиться по координатам точки наблюдения, от которых 1 не зависит, так что го1 — = ртам — 3~ = — —,(Щ1, Л ! Л ! Лв где радиус-вектор К направлен из Л' в точку наблюдения. Таким образом, В = Н = — (' ) с1'к'.
дз (30.13) Если проводник, по которому течет ток, достаточно тонок (тонкий провод) и мы интересуемся лишь полем в окружающем его пространстве, то толщиной проводника можно пренебречь. В дальнейшем мы неоднократно будем рассматривать такие, как говорят, линейные токи. Интегрирование по объему проводни- ка заменяется в этом случае интегрированием по его контуру. Именно, .формулы для линейных токов получаются из формул, относящихся к объемным токам, заменой в последних 1с11т -+ 1с11, где 1 .
полный ток, протекающий по проводнику. Так, из фор- мул (30.12), (30.13) получим Н=— — / 1,3 1г (30.14) Вторая из этих формул выражает собой закон Био и Савара. Уравнения магнитного поля токов могут быть решены в общем виде в важном случае, когда магнитными свойствами среды можно пренебречь, т. е. можно положить везде д = 1.
Для векторного потенциала тогда во всем пространстве имеет место уравнение ЬА = — — 1 с без каких бы то ни было условий на границах раздела различных сред (в том числе на границе проводника, по которому течет ток). Решение этого уравнения, обращающееся на бесконечности 170 гл. ш ПООТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ Г!ОЛЕ Такие простые формулы для магнитного поля линейных токов не связаны даже с требованием 1А = 1.
Поскольку толщиной проводника мы пренебрегаем, то никаких граничных условий на его поверхности писать не надо и магнитные свойства его вещества вообще несущественны (оно может даже быть ферромагнитным). Решение уравнения (30.6) для поля в окружающей проводник среде будет поэтому А=~ 11з (30.16) где (30.17) есть полный магнитный момент системы ). ') См. 11, з 44. В прииеденном там выводе использовано в явном виде представление токов как результата движения отдельных заряженных частиц. для любого значения магнитной восприимчивости среды. Таким образом, наличие среды приводит лишь к изменению магнитной индукции в 1А раз; напряженность же Н = В/р вообще не изменится.
Задача об определении магнитного поля линейных токов может решаться и как задача теории потенциала. Поскольку объемом проводников мы пренебрегаем, то фактически речь идет об определении поля в пространстве, во всем объеме которого (за исключением только особых линий линейных токов) токи отсутствуют. Но в отсутствие токов постоянное магнитное поле обладает скалярным потенциалом, удовлетворяющим (в однородной среде) уравнению Лапласа. Между потенциалом магнитного поля и электрическим потенциалом имеется, однако, существенное различие. Потенциал электрического поля всегда является однозначной функцией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
