VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Это есть следствие того, что го1 Е = 0 во всем пространстве (в том числе и там, где имеются заряды), и потому изменение потенциала при обходе по любому замкнутому контуру (т. с, циркуляция К по этому контуру) равно нулю. Циркуляция же магнитного поля по контуру, охватывающему собой линейный ток, отлична от нуля и равна 4зГ.7/с. Поэтому значение потенциала меняется на эту величину при всяком обходе вокруг линии тока, т. е.
потенциал магнитного поля является многозначной функцией. Если система токов сосредоточена в конечной области пространства (а 1А = 1 как в проводниках, так и в среде), то вдали от нее векторный потенциал магнитного поля имеет вид 171 1 за млгнитнок полн постоянных токов Для линейного тока зто выражение принимает вид ФК = — ~ [г с)1) и может быть преобразовано в интеграл по поверхности, ограниченной контуром тока. Произведение Ж = (гд1)/2 равно по абсолютной величине площади треугольного элемента поверхности, построенного на векторах г и д1. Векторный же интеграл ( с11' не зависит от того, по какой именно поверхности (натянутой на заданный контур) он берется. Таким образом, магнитный момент замкнутого линейного тока равен (30.18) В частности, для плоского замкнутого линейного тока магнитный момент равен просто,7Я/с, где Я площадь ограниченной током части плоскости. В заключение этого параграфа остановимся еще на вопросе о потоке энергии в проводнике.
Диссипируемая в проводнике (в виде джоулева тепла) энергия черпается из энергии электромагнитного поля. В стационарном случае уравнение непрерывности, выражающее собой закон сохранения энергии, имеет вид — ЖтЯ =1Е, (30.19) где Я - плотность потока энергии. Последняя дается внутри проводника выражением Я = — '(ЕН), (30.20) формально совпадающим с выражением для вектора Пойнтинга для поля в пустоте. В этом легко убедиться прямой проверкой: вычисление с))у Я с использованием уравнений го1 Е = 0 и (30.2) приводит к (30.19).
Независимо от этого вывода, формула (30.20) однозначно следует из очевидного условия непрерывности нормальной компоненты Я на поверхности тела, если при этом учитывать непрерывность Е~ и Нг и тот факт, что формула (30.20) справедлива в пустоте вне тела. Задачи' ) 1. Определить скалярный потенциал магнитного поля замкнутого линейного тока. Такой вывод обладает, конечно, полной общностью, но формулу (ЗОЛ 6) можно получить и чиста макроскопическим путем (см. задачу 4 к атому параграфу). ') Б задачах 1 — 4 полагаем везде р = К 172 ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛК ГЛ.)3 Р е ш е н и е. Преобразуя интеграл по контуру в интеграл по охватываемой им поверхности, получим А = — у)й — = — у1 ~И~У вЂ” 1, В = гас А = — — У (дбЧ)ГУ— с В с В~ с В (при преобразованиях надо учесть, что 21(12)В) = О).
Сравнивая с В = = — йгад 21), найдем, что скалярный потенциал ,У /' . 1,У ~ 211 В Стоящий здесь интеграл предстааляет собой, геометрически, телесный угол П, под которым виден контур из точки наблюдения ноля. Упомянутая н тексте многозначность потенциала проявляется в том, что, когда точка наблюдения описывает замкнутый путь, охватывающий провод, угол й, достигнув значения 2)г, меняет знак, становясь равным — 2гг. 2. Определить магнитное поле линейного кругового тока (радиуса а). Р е ш е н и е.
Выбираем начало цилиндрической системы координат т, р, 2 в центре окружности, причем угш) р отсчитывается от плоскости, проходящей через ось 2 и точку наблюдения поля. Векторный потенциал имеет только компоненту Ат = А(т, 2), и согласно формуле (30.14) пишем ,У ~ созФ)11 2,У а сое )р Йр с У Я с .I (аз+ т2+22 — 2атсоз12))22 с Вводя новую переменную д согласно р = х+ 20, можно привести зто выражение к виду А„= — ~ ~(1 — — ~ К вЂ” Е1, где 4ат (а -1- т)2 .1- 22 а К и Š— полные зллиптические интегралы 1-го и 2-го рода: 12 Уг Для компонент индукции находим дАт У 22 ~ а'+т'+2' К ~- д* ') + )' ') ) — )'к 1д У 2 ~ а — т2 — 22 В, = — — (тАН) =— К+ Е д 2 +)тк ) ) — ) Мы воспользовались здесь легко проверяемыми формулами дК Е К дŠŠ— К й(1 Угг) й ' д12 На оси (т = О) В„=О, В с(аг + 22)212' непосредстаенным злементарным расчетом.
что можно получить и 173 130 млгнитнов полн постоянных токов 3. Определить магнитное поле в цилиндрическом отверстии в цилиндрическом (бесконечно длинном) проводнике, вдоль которого течет ток, равномерно распределенный по его сечению (рис. 18). Р е ш с н и е. Если бы отверстия не было, поле внутри цилиндра было бы равно 2к1у, 2лух 3 с с (обозначения размеров и осей координат даны на рисунке). Если бы по внутреннему цилиндру протекал ток с плотностью — 1, он создавал бы в той жс гочке наблюдения поле 2п1у „2кух г с с Искомое поле в отверстии получается наложением зтих двух полей. Заметив, что х— — х' = 00' = б, у = р', найдем 2к13 23,7 с (бз — аз)с т, е, однородное поле в направлении оси р. 4. Вывести формулу (30.16) для векторного потенциала поля вдали от токов из формулы (30.12) Решение.
Пишемся=Ва — г,гдето Рис. 18 и г — радиус-векторы из начала координат, расположенного где-либо в области токов, до точки наблюдения н до злемента ог' соответственно. Разлагая подынтегральное выражение по степеням г и учитывая, что 1 1 о'г": — О, получим А, = / хД,п"г' Ль сЛз (индекс 0 у Л опускаем).
Интегрируя по частям тождество ~ х,хь 61г1 Л' = О, получим / Ц,хь -1-уьх,) АЪ' = О. Позтому можно переписать А, в виде Ль А; = ~ (х~у, — х0~) 41г, 2сЛз что совпадает с (30.16). 5. Определить магнитное поле, создаваемое линейным током в магнитно-аиизотропной среде (А.С. Виглин, 1954). Р е ш е н и е. В анизотропной среде, окружающей проводник, имеем уравнение 61г В = ргь = О, дНь (1) дх; где р,ь — тензор магнитной проницаемости среды. Вместо того чтобы вводить векторный потенциал согласно В = го$А, введем другой вектор, С, определяемый равенством Н; = е*.ыдь дС~ (2) дх,„ 174 гл.
ш ПОС'ГОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛК ,У ~ 41 сЭСЯ,С / — 1СС.рь 3 31. Термодинамические соотношения в магнитном поле Термодинамические соотношения для магнетика в магнитном поле в своей окончательной форме, как мы увидим, весьма сходны с аналогичными соотношениями для диэлектрика в электрическом поле. Их вывод, однако, существенным образом отличается от того, который был произведен в 3 10. Это отличие связано, в конечном итоге, с тем, что магнитное поле, в противоположность электрическому, не производит работы над движущимися в нем зарядами (так как действующая на заряд сила перпендикулярна к его скорости). Поэтому для вычисления изменения энергии среды при включении магнитного поля надо рассматривать электрические поля, индупируюшиеся при изменении магнитного поля, и определять работу, производимую ими над токами (источниками магнитного поля).
Таким образом, необходимо привлечь уравнение, определяющее связь между электрическим и переменным магнитным полями. Это уравнение, ГОС = — — —, КС с дС (31.1) является непосредственным результатом усреднения микроско- пического уравнения (1.3). (е,ы — антисимметрический единичный тензор); выражением (2) уравнение П) тоже удовлетворяется тождественно. На определенный таким образом вектор С можно еще наложить дополнительное условие; (3) дх, 4к, Подставив С2) в уравнение гос Н = — 1, получим с дН, дзс; 4 л е,м = — рьр дхь дхьдхр с (при преобразовании использовано равенство е*ые1 „= 4, ᄄ— Б, бь и условие (3)).
Полученное таким образом уравнение для С совпадает по форме с уравнением для потенциала электрического поля, создаваемого за- рядами в анизотропной среде (задача 2 3 СЗ). Его решение имеет вид з 1 1 ()д! — определитель тензора р,ь, К вЂ” радиус-вектор между точкой наблю- дения и др'). Переходя к линейному току, получим окончательно 1 31 теРмОДНЕАмические ОООтнОшения е мАГнитнОм пОле 175 В течение времени й поле Е производит над токами 1 работу, равную Эта же величина, взятая с обратным знаком, есть работа О1т, произведенная «над полем» со стороны той внешней электродвижущей силы, которая является источником, поддерживающим с протекание токов. Подставив 3 = — го4 Н, получим 4е а для этих же величин, отнесенных к единице объема: Ы = -я 1т+ с 1р+ ' Н 1В, 4гг Ш = т1я+~ 1р+ — 'Н 1В.
4е (31 А) Наряду с Е, У нам понадобятся также термодинамические потенциалы Ц = ~7 — гч = Е— (31.5) 4гг 4гг ' б1т = — й — ' ( ЕГО1нг11' = 4е ' = й — ~ г11Р [ЕН) г1 ' — й — ~ Н го1 Е г1К 4е 4гг Первый интеграл, будучи преобразован в интеграл по бесконечно удаленной поверхности обращается в нуль. Во втором же подставляем го1Е из (31.1~ и, вводя изменение бв = йдв/д1 магнитной индукции, получаем окончательно О1т = — ~ Н бвг1К (31.2) Эта формула по виду вполне аналогична выражению (10.2) для работы при бесконечно малом изменении электрического поля. Следует, однако, заметить, что физическая аналогия между этими двумя формулами в действительности не так глубока, поскольку Н, в противоположность Е, не есть среднее значение истинной микроскопической напряженности поля. После получения формулы (31.2) все термодинамические соотношения для магнетика в магнитном поле могут быть написаны аналогично тому, как были написаны в з 10 соотношения для диэлектрика в электрическом поле; достаточно заменить в них обозначения Е и АА соответственно на Н и В.
Выпишем здесь для дальнейших ссылок некоторыс из этих формул. Для дифференциалов полных свободной и внутренней энергий имеем бх = — э' бт + 1 ~ н бв л; (31.3) бТГ' = т О,У + — ~ Н бв гЛ', ГЛ. 2Е ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ для которых 1Г = -Я,1т+ ~ 1р - ' В 1Н, 4Е аб = т аз+ б 1Р— — 'В 1Н. 4и (31.6) При линейной связи В = РН можно написать выражения для всех величин в конечном виде: В2 Н2 с2 = ~о (К Р) + — г = ге(7; Р) +— 8ер 8ЕР Н' Г2 — ~о (Б; Р) г — ге (7; Р) (31.7) Работу ОАт (или, что то же, измененио б.й при постоянной температуре) можно выразить в другом виде, через плотность токов и векторный потенциал магнитного поля.
Для этого полагаем дВ = го1 дА и пишем (31.9) ') Подробнее о смысле этого различия — см, примеч. 2 на с. 184. (бУ) т = — ~ Н го1 бА 211' = 4л = — — / Г11т [Н бА) сй'+ — ) 6А го1 Н дК 4е 4е Первый интеграл снова обращается в нуль, а второй дает (6У)т = — ~ 3~АдК (31.8) с Аналогичным преобразованием можно получить (6У)т = — - Г А О1 Л' Полезно отметить, что в математическом формализме макроскопической электродинамики токи -- источники магнитного поля — играют роль, аналогичную роли потенциалов (а не зарядов) источников электрического поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
