VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Это правило ясно проявляется при сопоставлении формул (31.8) и (31.9) с аналогичными формулами в электрическом поле (6У)т = ~ ~Рбрс~К (6Я)т = — ~ рбрсЛ' (31.10) (см. (10.13), (10.14)). Мы видим, что заряды и потенциалы расположены в этих формулах обратным образом по сравнению с токами и потенциалами в формулах (31.8), (31.9) 1). Ввиду полного формального совпадения термодинамических соотношений (выраженных через напряженность и индукцию) в 177 1 32 ПОЛНАЯ СВОБОДНАЯ ЭНЕРГИЯ МАГНЕТИКА электрическом и магнитном полях непосредственно переносятся на магнитное поле также и полученные в 3 18 термодинамические неравенства.
Мы видели, в частности, что из них следует неравенство е > О. В электрическом случае это неравенство не представляло интереса, поскольку оно слабее условия е > 1, следовавшего из других соображений. Но в магнитном случае аналогичное неравенство д > О весьма существенно, так как оно является единственным ограничением, накладываемым на возможные значения магнитной проницаемости.
3 32. Полная свободная энергия магнетика В 3 11 были получены выражения для полной свободной энергии л» диэлектрика в электрическом поле. Один из термодинамических аспектов этой величины заключается в том, что ее изменение определяет работу, произведенную электрическим полем над телом при неизменных источниках (зарядах), создающих это поле. В магнитном же поле аналогичную роль играет свободная энергия РГ, так как при заданных источниках (токах) поля именно ее изменение дает произведенную над телом работу.
Следующий ниже вывод полностью аналогичен тому, который был произведен в 3 11. «Полную» величину и' мы определяем как (32.1) где яэ магнитное поле, которое создавали бы данные источники в отсутствие намагничивающейся среды. Знак + в скобке (вместо знака — в (11.1)) связан с тем, что значение и для магнитного поля в пустоте есть (см. (31.7)). Интегрирование в (32.1) производится по всему пространству, включая объем проводников, несущих токи, которые создают поле '). ) В 1 11 мы считали, что интегрирование в (11.1) производится по всему пространству, исключая объем заряженных проводников, создающих поле. Там можно было так делать, поскольку внутри заряженного проводника электрическое поле все равно отсутствует. Магнитное же поле имеется и внутри проводников, несущих токи, и исключать его при вычислении полной свободной энергии нельзя, 178 ПОС'ГОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГЛ Л Е Вычислим изменение Йг (при заданной температуре и без нарушения термодинамического равновесия среды) при бесконечно 1 малом изменении поля.
Поскольку ОР = — — ВОН, то имеем 4Я бУ = — — ~ (ВбН вЂ” йЗбйз) г11г = = — — ~ (Н вЂ” ЯЗ)БЧЗгйг — — ~ В(бН вЂ” бЖ) Л'— — — / ( — Н)ог4» гЛГ. (32.2) Вводя векторный потенциал АА поля Ж пишем в первом члене (Н вЂ” Ж)ОЧЗ = (Н вЂ” ЧЗ) го1 бА1 = = Жт (бЩН вЂ” ПЗ)1+ дНГО1(Н вЂ” ЧЗ). Но поля Н и еэ создаются, по определению, одними и теми же токами 1, распределение которых по объему проводников не зависит (см. 8' 30) от создаваемого ими же поля, т.
е. не зависит от наличия или отсутствия магнетиков в окружающем пространстве. Поэтому Н и ЧЗ удовлетворяют одинаковым уравнениям готН = — 1, ГОГЧЗ = — 1, 4е. 4Я. с с так что го1(Н вЂ” яэ) = О. Интеграл жс от г11т [бЩН вЂ” Ж)) преобразуется в интеграл по бесконечно удаленной поверхности и обращается в нуль. Аналогичным образом убеждаемся в том, что равен нулю и второй член в (32.2), так что б.е' = — — ~ ( — Н)бЯЗЛ' = — ~ МбЧЗг11Г. (32.3) Таким образом,мы получили для О',Й выражение, аналогичное выражению (11.3) для О,'ГГ в электрическом случае. В частности, в однородном внешнем магнитном поле ЧЗ имеем для г1,И выражение, аналогичное (11.5): ГР = —,У г1Т вЂ .Ф г1йЗ, (32.4) где ФК - - полный магнитный момент тела.
Не повторяя дальнейших вычислений, напишем следующие формулы по аналогии с формулами в 8 11. При линейной связи В = 1АН имеем (32.3) 179 ПОЛНАЯ СВОБОДНАЯ ЭНЕРГИЯ МАГНБТИКА В частности, в однородном внешнем поле Р— ж,~У т) = --'ЯЗВ'. (32.6) .Рà —,У'о = — — ( Ж 41'.
2 ' (32.8) Для магнитного поля можно получить также и результаты, аналогичные результатам 9 14. Речь идет об изменении термодинамических величин магнетика при бесконечно малом изменении его магнитной проницаемости 1А; источники поля предполагаются при этом неизменными. После всего сказанного выше заранее ясно, что вместо изменения РГ (как в 9 14) надо рассматривать теперь изменение Р . Мы не станем повторять здесь вывода, аналогичного выводу формулы (14.1).
Он приводит к тому же результату: дУ = — / дд — Г11Г. 8Я (32.9) В 9 14 на основании формулы (11.7), аналогичной формуле (32.5), было сделано заключение о положительности электрической восприимчивости вещества. В магнитном случае, однако, такой вывод не может быть сделан, и магнитная восприимчивость может иметь оба знака.
Причина этого существенного различия заключается в том, что гамильтониан системы движущихся зарядов в магнитном поле содержит не только члены, линейные по полю (как в электрическом случае), но и квадратичные члены. Поэтому при определении изменения свободной энергии тела в магнитном поле с помощью теории возмущений по формуле (14.2) вклад будут давать не только члены второго, но и первого приближения.
Никаких общих заключений о знаке изменения при этом нельзя сделать; у парамагнитных тел оно положительно, у диамагнитных отрицательно. В 9 14 были сделаны заключения о направлении движения тел в электрическом Гюле. Аналогичные выводы следуют также В общем же случае произвольной зависимости В от Н для вычисления РР можно пользоваться формулой Я=1(Р~-~~ — -', Гв) а =1'(Р-~ ~ — -' Гв) иГ, <зАЛ аналогичной формуле (11.12) для диэлектриков. В 9 11 были указаны также упрощенные формулы, относящиеся к случаю малой диэлектрической восприимчивости. Аналогичный случай для магнитного поля особенно существен ввиду упоминавшейся уже малости магнитной восприимчивости большинства тел.
При этом имеем 180 гл. 1Г ПОС'ГОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛК и из формулы (32.9). Однако ввиду того, что д может быть как болыпе, так и меныпе 1, направление движения тел в магнитном поле не универсально. Так, в квазиоднородном поле парамагнитные тела (д > 1) перемещаются в направлении увеличения напряженности, а диамагнитные тела (1А < 1) --. в направлении уменыпсния Н. 8 33. Энергия системы токов Рассмотрим систему проводников с текущими по ним токами. Предположим, что ни сами проводники, ни среда, в которой они находятся, не ферромагнитны, так что везде В = дН. Согласно 8 31 полная свободная энергия системы выражается через создаваемое токами магнитное поле следующим соотношением: (33.1) Мы опустили здесь постоянную (при заданной температуре тел) величину,Ус, не имеющую отношения к токам.
Интегрирование в (33.1) производится по всему пространству, как внутри, так и вне проводников. Эту же энергию можно выразить и через токи интегралом (33.2) ~ ~аа + ~ ~аь~ а а)Ь (33.3) где *~'"аа = ~ НЕВа Г1К 'КЯЬ = / НаВЬ ~11 (33.4) (в Эгаь =,еь учтено, что Н,Вь = 1АНЕНь = НьВЯ, где 1А магнитная проницаемость в каждой данной точке пространства).
Величину а можно назвать собственной свободной энергией токов а-го проводника, а У,ь энергией взаимодействия проводников а и б. Надо, впрочем, иметь в виду, что такие названия имеют буквальный смысл, лишь если пренебречь магнитными (ср. переход от (31.2) к (31.8)). Интегрирование производится здесь уже только по объему проводников, так как вне их 1 = О. В силу линейности уравнений поля магнитное поле можно представить в виде суммы полей, которые создавались бы каждым током в отдельности, если бы в остальных проводниках токи отсутствовали Н = 2„Н . Тогда полная свободная энергия (33.1) примет вид 181 1зз ЗНВРГИЯ СИСТВМЫ ТОКОВ свойствами вещества как самих проводников, так и среды.
В противном случае поле (а потому и энергия) каждого тока зависит также и от расположения и магнитной проницаемости остальных проводников. Величины (33.4) можно выразить также и через токи э в каждом из проводников, в соответствии с формулой (33.2), т'аа = ~ ЗаАа оба~ ~аб = ~ ЗаАьд1а = ~ 1ЬАа ВЬЬ. (33.5) Интеграл в Р, берется здесь только по объему а-го проводника, а э ь представляется в виде любого из двух выражений, в которых интегрирование производится соответственно по объему проводника а или о. При заданном законе расььределения плотности тока по объему проводника значение Я, зависит только от полной силы тока 7, протекающего через его поперечное сечение.
При этом величине 7 будут пропорциональны как плотность 1, так и создаваемое током поле. Поэтому весь интеграл Р'., пропорционален 1,. Его пишут в виде (33.6) 2са где Т называют коэффициентом сомоиндукции проводника. Аналогичным образом энергия взаимодействия двух токов пропорциональна произведению .7 .7ь: '~аь а Т'аь'7а'76. (33.7) са Величину йаь называют коэффициентом взаимной индукции проводников. Таким образом, полная свободная энергия системы токов э-'аа 7а + Х~~ т-'абэа 76 = Х~~ Х~~ т-'аб 7аэб 133.8) а >ь ь Условие положительной определенности этой квадратичной формы накладывает ряд ограничений на значения коэффициентов. В частности, все 1.аа > О, а Т'ааТ'ЬЬ > Т'аь.
2 Вычисление энергии токов в общем случае произвольных массивных проводников требует полного решения уравнений поля и представляет собой сложную задачу. Она упрощается, .если магнитную проницаемость как самих проводников, так и среды можно положить равной единице. Отметим, что при этом энергия токов вообще перестает зависеть от термодинамического состояния (в частности, от температуры) тел, а потому во всех написанных 182 гл. Га ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ Г!ОЛЕ выше формулах можно с одинаковым правом говорить как о свободной энергии, так и просто об энергии. При р = 1 векторный потенциал поля, создаваемого токами 1, дается формулой (30.12). Поэтому для собственной энергии проводника получим 2са ./,/ В (33.9) .а! = — ~~!,У, ф А Ы1„ а (33.12) где оба интегрирования производятся по объему данного проводника, а Л есть расстояние между <11Г и <ЛГ'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
