VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Уравнение го1 Н = 4ИЯс внутри проводника заменяется при таком рассмотрении граничным условием !п,Н вЂ” Н,)= ~ К, (34.2) с где и поверхностная плотность тока, Н1 и Нз напряженности поля по обе стороны поверхности соленоида, а нормаль и направлена внутрь среды в (ср, вывод формулы (29.16)). Если соленоид представляет собой бесконечный цилиндр, то создаваемое им магнитное поле определяется совсем просто.
Поверхностные токи циркулярны, а их плотность д = п,), где 7 ток текущий по проводу, а п число витков на единицу длины соленоида. Поле вне цилиндра равно нулю, а внутри имеется однородное поле., направленное вдоль оси цилиндра и равное Н = — гь1. с Действительно, такое поле очевидным образом удовлетворяет уравнениям 61у Н = О, го$ Н = О во всем пространстве вне проводящей поверхности, а также граничному условию (34.2) на ней. Соответственно, энергия поля, отнесенная к единице длины цилиндра, есть Д,Н' з г„'ПЛ'р, хп = '.7 8к сз (а РИДИУС ЦИЛИНДРа, )Ае ОтНОСИтСЯ К СРЕДЕ, ЗаПОЛНЯЮЩЕй СОЛЕ- ноид).
Пренебрегая искажением поля на концах, можно применить эту формулу и к соленоиду конечной большой (по сравнению с б) длины Ь. Тогда для самоиндукции получим Ь = 4х~п бьЬре = 2х)АепЫ, (34.3) где 1 = 2хбпЬ . полная длина провода в катушке. Увеличение самоиндукции соленоида по сравнению с самоиндукцией ненавитого провода той же длины (ср. (34.3) с (34.1)) является естественным следствием взаимной индукции между близко расположенными витками. Задачи' ) 1. Определить самоиндукцию замкнутого тонкого провода с круговой формой сечения. ') В задачах 1 — 6 полагаем магнитную проницаемость среды и, = 1. 188 ПОС'ГОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛК ГЛ> Ш Р с ш с н и е.
Магнитное поле внутри провода можно принять таким, как внутри бесконечно прямого цилиндра: 2,7г Н=— сог (г — расстояние от оси провода, а — его радиус). Отсюда находим внутреннюю часть самоиндукции: (1) Уг 8к' 2 где 1 длина рассматриваемого замкнутого провода. Для вычисления Ь, замечаем, что поле вне тонкого провода не зависит от распределения тока по его сечению. В частности, энергия Я, внешнего магнитного поля не иэменитСя, если предположить, что тск течЕт талько по поверхности провода.
Но тогда внутри провода будет Н = О и можно вычислять энергию Я„как полную энергию, по формуле (33.2). Ввиду предположенного поверхностного распределения токов интеграл в этой формуле фактически сводится к линейному интегралу по контуру осевой линии провода,так что внешняя часть самоиндукции .Р 2с / где значение А в подынтегральном выражении берется на поверхности провода.
При переходе к этой формуле учтено также, что в рассматриваемом приближении поле постоянно вдоль контура кругового сечения провода. После того, как задача оказалась сведенной к вычислению А ~,=„сделаем другое предположение о распределении тока; пусть весь ток 3 течет вдоль осевой линии провода. Значение поля на поверхности провода в рассматриваемом приближении от этого не изменится (оно не изменилось бы вовсе у прямого провода кругового сечения) . Тогда согласно формуле (30.14) имеем А~ где  — расстояние от элемента 41 осевой линии провода до данной точки его поверхности. Разобьем интеграл на две части, в которых соответстненно В ) Ь и В < Ь, где Ь вЂ” некоторая длина, малая по сравнению с размерами контура тока, но большая по сравнению с радиусом а провода ).
В интеграле по области Л > Ь можно пренебречь а и понимать В как расстояние между двумя точками контура тока, Интеграл же по области В < Ь можно считать направленным по касательной к данной точке контура. Обозначив единичный вектор в этом направлении через 4, пишем Ф / = 2$АгзЬ вЂ” 2$1п —. Л Р п2 Ь 2Ь а а п<а ' ' -а Это выражение можно снова переписать в виде интеграла 21 1п— 2Ь б 41 а В а>н> Аг ') Аналогичный метод был применен в задаче 4 3 2 для вычисления емкости тонкого кольца. 189 слмонндэкцнгг лннвйных пговодннков 6 34 где теперь уже В снова понимается как расстояние между точками контура тока.
Таким образом, складывая с интегралом по области 16 ) гл, получим выражение 1 л' ~ь 7г из которого произвольный параметр г.'г, как н должно быть., выпадает. Таким образом, окончательно имеем (2) и> Ьг Интегрирование распространяется здесь по всем парам точек контура, расстояние между которыми превышает агг2. 2. Определить самоинлукцию тонкого кольца (радиуса Ь) из провода кругового сечения (радиуса а). Р с ш е н н с. Подынтегральнос выражение в формуле (2) задачи 1 зависит только от центрального угла сг, на который опирается хорда гг окружности кольца, причем Л = 26шп (1я,г2), а г)141' = г(1 г(1'соя ш.
Поэтому имеем 1' соясг 2т6 Ьг6р ( ~ос Эгс ) Ь, = 2 / = 4ггЬ ~ — 1п18 — — 2 соя — ~ . 26япФ " 4 2 ~ тс 2 Нижний предел интегрирования определяется из 2Ья1н (|рс,г2) = агг2, откуда Эге агг26. Подставив зто значение и сложив с Л, = хЬри получим с 86 р,'! требуемой точностью 7 = 4хЬ (1п — — 2+ — *~ . В частности, при рг = 1 а 4)' 86 71 7 = 4ггЬ (1п — — — ) . а 4 3. Определить растяжение кольцевого провода (с д, = 1) под действием магнитного поля протекающего по нему тока, Р е ш е н и е.
Внутренние напряжения, действующие вдоль оси провода и перпендикулярно к ней, определяются согласно (33.16) формулами ду. ,14 ду. гга т1 =— 2ггаЬат = — —. 2сз д(2хЬ) 2сз да Подставив 7 из предыдущей задачи, получим ,7~ г' 8Ь 3'! .1~ а)! (!и — — -), аз = — —. 4) - .М Отсюда искомое относительное удлинение кольца ЬЬ 1 а~ гг 8Ь 3 — = — (гг!! — 2аггт) = (1п — — — + 2ха) 6 Я ггазсзЕ г, а 4 (Š— модуль Юнга, а — коэффициент Пуассона материала провода; см.
гГ11, я 5). 4. Определить самоиндукцию единицы длины двойного провода, состоящего из двух параллельных прямых проволок (с рв = 1) кругового сечения (радиусов а и 6), отстоящих на расстояние Ь между их осями, причем по этим проволокам текут равные н противоположные токи 7 (рис. 19). 190 пОО'ГОяннОН млгннтнои Г!Оле ГЛ. 1Ч Р е ш е н и е. Векторный потенциал магнитного поля каждого из токов направлен параллельно осям проводов, и потому векторные потенциалы обоих полей складываются просто алгебраически. Для магнитного поля провода 1 с равномерно рас- !2 пределенным током +ч' имеем 1в Ь !2 цилиндрических координатах) а Ь з ! Гг'1 2 А, = — (С вЂ” — ) при т ( а, 1 * с а2 ,У 2! т 2 А,= — (С вЂ” 1 — 21п-) при г>а, с а Рис. 19 где С вЂ” произвольная постоянная; на границе провода А, непрерывно.
Аналогичные формулы для поля провода й получаются заменой а на Ь и изменением знака /. Интегрирование по площади сечения провода 1 в формуле 133.2) дает / ((С вЂ” — ') — (С вЂ” 1 — 21п — ) ) ф! = г ,Уг / / ) гг /22 +гг — 2ЬГ созгг) 1 — — + 1п 1 г! !1!дйг! —— 2сгкаг / / '),' а Ьг е с Интегрирование же по сечению провода й дает такое же выражение с а вместо Ь.
Поэтому искомая самоиндукция единицы длины двойного провода 12 Ь = 1+ 21п —. аЬ 5. Определить самоиндукцию тороидального соленоида. Р е ш е н и е. Рассматриваем соленоид как тороидальную проводящую поверхность, по которой циркулируют Рис. 20 поверхностные токи с плотностью д1у К= 2кг 11Ч вЂ” полное число витков провода, а — ток в нем; координаты и размеры показаны на рис.
20). Магнитное пш!е вне соленоида Н, = О, а внутри 2Х,У сг Нг, =Н„=О, 1Г, 2, !р — цилиндрические координаты). Действительно, зто решение удовлетворяет уравнениям 111ч Н = О, гог Н = 0 и граничному условию 234.2) ). ') Оно справедливо и для кольцеобразвого соленоида с произвольной, некруговой формой сечения.
191 слмоиндхкция линкйных пгонодникон 135 Энергия магнитного поля внутри соленоида /' Н~ Х~.7~ ~ хг(г интегрирование производится по контуру сечения тора и легко осуществля- ется путем введения угла а согласно л = а з1п О, т = 6-~- а сов 0. В результате получаем для самоиндукции: Ь = 4хХ~(Ь вЂ” у'Ьз — аз). б. Определить поправку первого порядка по й й к выражению (34.3) (с р, = 1) для самоиндукции цилиндрического соленоида, связанную с искажением поля вблизи ого концов.
Р е ш е н и е. Самоиндукция соленоида вычисляется как двойной интеграл по его поверхности: где й поверхностная плотность тока (8 = па). В цилиндрических коорди- натах ь ь а г =2хЬ и аоа соз~ас6рйю сЬг з зО(Ь вЂ” ~) соз~рдуН~ а а Са+46ззшз— 2 (аа — угол между диагональными плоскостями, проходящими через фа и фз). Интегрируя по д~, получим при Ь >> 6 б 8кЬ и ~ ~61п го l( Ь вЂ” Ь+ 2Ьзш — 1 соя ааойд о! ,/ ~ Ьз1п(~р/2) 2~ а и окончательно Г = 4х~Ь и (Ь вЂ” — Ь Зх / 2р, д, +1' т. Определить, во сколько раз изменится самоиндукция плоского линей- ного контура, если поместить его на плоскую поверхность полубесконечной среды с магнитной проницаемостью рм Внутренней частью самоиндукции провода пренебрегасм. Р е ш е н н е. Из соображений симметрии очевидно,что в отсутствие среды магнитное поле тока симметрично относительно плоскости контура, а магнитные силовые линии пересекают зту плоскость нормально к ней; назо- вем зто поле Но.
Мы удовлетворим уравнениям поля и граничным условиям на поверхности полубесконечной среды, если положим в пустом полупро2д, 2р, странстве Н = На, а в среде В = д,Н = Но. Действительно, р, -~-1 р. +1 этим обеспечивается непрерывность В„и Но на граничной плоскости, а цир- куляция Н по любой силовой линии будет равна циркуляции На по той же линии. Отсюда легко заключить, что нри введении среды полная знергия поля, а следовательно, и самоиндукция контура, умножается на 192 ПОС'ГОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛК ГЛ. ГС й 35. Силы в магнитном поле Для определения сил, действующих на вещество в магнитном поле, нам почти не понадобится производить новых вычислений ввиду полной аналогии с электрическим случаем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
