VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 39
Текст из файла (страница 39)
В свою очередь, последнюю обычно можно рассматривать как симметрию расположения и ориентаций средних (по времени) значений магнитных моментов атомов (ионов) Ас в кристаллической решетке. В теле без магнитной симметрии эти средние значения равны нулю. В ферромагнетике сумма атомных моментов в каждой элементарной ячейке отлична от нуля, а в антифсрромагнстике равна нулю.
) Обычно обменное нзаимодейстние между магнитными моментами атамон приводит к насыщению налентных связей и образованию немагнитных структур. К возникновению магнитнОй структуры приводит только относительно слабое обменное взаимодействие глубоко расположенных Н- и уэлектроноя атомов элементов переходных групп системы Менделеева. 1 38 МАГНИТНЫЕ КЛАССЫ И ПРССТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ 201 О совокупности атомов в кристаллической решетке, обладающих одинаковыми значениями 1А, говорят как о магнитной подрешетпее. Очевидно, что антиферромагнетик содержит по крайней мере две подрешетки со взаимно антипараллельными и равными по величине значениями 1А. Если направления моментов гг всех подрешеток параллельны или антипараллельны, антиферромагнетик называют коллинеарным; в противном случае говорят о неколлинеарном антиферромагнетике.
Ферромагнетик тоже может содержать несколько подрешеток. В узком смысле под ферромагнетиками понимают тела, у которых все средние атомные магнитные моменты параллельны. Если же кристалл содержит две или более подрешеток с несовпадающими по направлению (или величине) атомными моментами, его называют ферримагнетикоАА; в отличие от антиферромагнетиков, векторная сумма М магнитных моментов подрешеток в этих телах отлична от нуля. Ферромагнетик может быть как коллинеарным (если магнитные моменты всех подрешеток в нем параллельны или антипараллельны), так и неколлинеарным.
До сих пор мы говорили о магнитной симметрии твердых кристаллов. Что касается жидких тел, то, разумеется, возможно существование однородных ферромагнитных жидкостей. Отметим также возможность существования жидкости, не обладающей средним магнитным моментом, но имеющей анизотропную корреляционную функцию спинов составляютцих ее частиц. Такая жидкость являлась бы спиновым аналогом нематических жидких кристаллов, о которых шла речь в У, 3 140 (А.Ф. Андреев, 1984.) $ 38. Магнитные классы и пространственные группы Покажем, каким образом фактически строятся магнитные группы симметрии; начнем с магнитных классов.
Как уже указывалось в предыдущем параграфе, магнитные классы можно разделить на три типа. К типу 1 относятся 32 обычных кристаллических класса, не содержащих элемента В вовсе. К типу П относятся те же 32 класса, дополненных элементом В. Каждый такой класс содержит все элементы обычного класса (точечной группы С), а также все эти же элементы, умноженные на В: обозначив магнитный класс символом М, можно написать М= С+ВС (38.1) (преобразование В, разумеется, коммутативно со всеми пространственными поворотами и отражениями; поэтому ВС = СВ, где С вЂ” любой элемент группы С). Эти два типа классов являются, в известном смысле, тривиальными.
К нетривиальному типу 1П относятся 58 магнитных классов, в которые элемент В входит только в комбинациях с 202 гл. ч ФеРРомлгнетизм и АититеРРомАГнетизм поворотами или отражениями. Каждый из них, если заменить в нем операцию В тождественным преобразованием, переходит в один из обычных кристаллических классов С. Построение всех магнитных классов этого типа осуществляется на основании следующих соображений, Обозначим символом Х совокупность элементов группы С, которые остаются (при построении магнитного класса М) не умноженными на гь. По самому определению такой совокупности, она содержит единичный элемент Е (в противном случае М содержала бы элемент Л сам по себе, т. е.
относилась бы к типу П), а произведения любой пары ес элементов дают элементы той же совокупности. Другими словами, Н есть подгруппа группы С. Все остальные элементы группы С входят в М умноженными на Л; поскольку Л2 = Е, то все попарные произведения этих элементов группы являются элементами группы Н.
Отсюда следует, что Н подгруппа группы С (и тем самым группы М) индекса 2 ~). Другими словами, структура магнитного класса М типа П1 может быть представлена в виде М= Н+ НС,Н, (38. 2) где Сг -- какой-либо элемент группы С, не входящий в Н. Очевидно, что группа М и группа С = Н+ С4Н изоморфны. Таким образом, задача о построении всех магнитных классов сводится к нахождению подгрупп индекса 2 всех кристаллических классов. В свою очередь, последняя задача легко решается с помощью таблиц характеров неприводимых представлений точечных групп.
Каждое неединичное одномерное представление группы содержит равное число характеров +1 и — 1; элементы с характерами +1 составляют подгруппу индекса 2. При переходе к магнитному классу зти элементы остаются неизменными, а все остальные умножаются на гг'. Проиллюстрируем эту процедуру на примере точечной группы Сг„. Таблица характеров ее неприводимых представлений (см.
П1, 2 95) имеет следующий вид: ') Это значит, что подгруппа Н содержит вдвое меньше элементов, чем группа С. Указанное утверждение — следствие общей довольно очевидной теоремы: подгруппа Н группы С имеет индекс 2, если и только если произведение любых днух злементон группы С, не входящих а Н, есть элемент из Н.
138 МАГНИТНЫЕ КЛАССЫ И Г!РОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ 203 Неединичные одномерные представления: А2, В1, В2. В представлении А2 элементы с характерами +1 образуют подгруппу С4. Соответствующий магнитный класс, который обозначим символом Сег(С4), .составлен из элементов Е, С2, 2С4, 2Л(т„, 2ЛС,'. В представлениях В1, В2 элементы с характерами +1 образуют подгруппы Сйес отличающиеся лишь расположением плоскостей пе по отношению к фиксированной системе координат. Эти подгруппы кристаллографически неразличимы, и им отвечает один и тот же магнитный класс С4„(С2„) с элементами В, С2, 2ЛС4, 2сш 2ЛП„'.
Перебрав таким образом все 32 кристаллических класса, получим 58 магнитных классов типа П1, перечисленных в табл. 1. Таблица 1. Магнитные классы Каждый класс 1 Л,Н) определяется исходной точечной группой С и ее подгруппой Н одной из перечисленных в скобках после символа группы С. кристаллические классы С1, Сз, т не имеют подгрупп индекса 2, и потому вет построенных на их базе магнитных классов. Отметим также, что поворот Сз никогда не входит в магнитный (нетривиальный) класс умноженным на Л; поворот СЕЛ после трехкратного повторения привел бы к преобразованию Л, отсутствующему в классах этого типа ). ') В абстрактной теории симмстрии о магнитной симметрии говорят как об антисиммстрии.
Идея антисимметрии была выдвинута независимо Хеешем (Н. Нееай, 1929) и А.Н. Шубникоеым (1945). Классы антисимметрии были найдены Шубникоемм (1951) как группы симметрии геометрических 204 ФеРРОмАГнетизм и АнтиФеРРОмАГнетизм В предыдущем параграфе уже отмечалось, что о возможности существования ферромагнетизма нельзя судить по кристаллографическому классу. Для иллюстрации рассмотрим тетрагональную решетку из одинаковых атомов с магнитными моментами, направленными вдоль тетрагональной оси ').
Ее магнитный кристаллический класс АА»ь(.04), содержащий преобразования ) Е, Сз, 2С», 2ПЕЛ, 2ЦЛ, 1, сгь, 254, 24Р,Л, 2гт„'Л. Все зги преобразования оставляют инвариантным аксиальный вектор М, направленный вдоль оси четвертого порядка. Между тем, кристаллический класс О»ь сам по себе не допускал бы существования аксиального вектора: все его компоненты М„МЕ, М, меняли бы знак, например, при повороте вокруг той или иной оси второго порядка. Перейдем к пространственным магнитным группам.
Они находятся в таком же отношении к обычным кристаллическим пространственным группам, как магнитные классы к кристаллическим классам: первые сводятся к последним, если заменить преобразование Л тождественным преобразованием. Пространственных магнитных групп имеется всего 1651; как и магнитные классы, они подразделяются на три типа.
К типу 1 относятся 230 групп, совпадающих с кристаллографическими и но содержащих преобразования Л вовсе, а к типу П те жс 230 групп, дополненных злементом Л. К нетривиальному типу П1 относятся 1101 групп, содержащие преобразование Л лишь в комбинации с какими-либо поворотами, отражениями или трансляциями. Они имеют структуру (38.2), где Н - - какая-либо подгруппа индекса 2 кристаллической пространственной группы С, а С1 элемент из ь», нс входящий фигур (многогранников) с гранями, окрап|енными н два цвета; элементу В соответствует при зтом операция изменения цвета граней, Как группы магнитной симметрии, зги классы были получены Б.А. Таегером и В.М. Зайцееъьи (1966). Изложенный здесь способ их вывода принадлежит В.Л. Инденбог у (1969). ) Такова, например, решетка ферромагнитной фазы железа. В кристаллографическом отношении она представляет собой слабо искаженную (вдоль одной из асей четвертого порядка) кубическую решетку. Искажение -- результат магнитострнкцин, возникающей в силу самого наличия магнитной Структуры.
) Обозначения злсментов симметрии аналогичны обозначениям, принятым в Ш, 6 93, 94. В частности, Уг, Уг — повороты на 160' вокруг горизонтальных осей, перпендикулярных осн 4-го порядка, пь — отражение в гОРизонтальной плоскости, ою и — отРажениЯ в веРтикальных плоскостЯх, проходящих через оси С» и Уг, Уг. Символы У»В, ОВ и т. п. обозначают плоскости и оси симметрии, которые входят в данный класс в комбинации с преобразованием В.
1 38 МАГНИТНЫЕ КЛАССЫ И Г!РОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ 205 в Н. Очевидно, что подгруппа Н должна совпадать с исходной пространственной группой С либо по своей трансляционной симметрии, либо по своему классу; в первом случае она имеет вдвое меньше «поворотных» элементов (поворотов и отражений), чем группа С, а во втором вдвое меньше трансляций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
