VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Аналогичным образом, взаимная энергия двух проводников '~~!а6 = !а~ а !Ааь! Р3.10) где Л' и Л'6 элементы объема каждого из проводников. Особенно просто вычисляется взаимная энергия двух линейных токов. Переход от объемных токов к линейным в формуле (33 10) осуществляется заменой 1 Я~а и 16 ЛГЬ соответственно на ,7, 41, и 16 016, и мы находим, что коэффициент взаимной индук- ' =В"'" В этом приближении, следовательно, Ь ь зависит только от формы! размеров и взаимного расположения обоих контуров и не зависит от распределения тока по сечению проводов.
Подчеркнем, что для получения такой простой формулы в случае линейных проводников не требуется даже предположения о том, что везде 66 = 1. В приближении, в котором мы пренебрегаем толщиной проводов, магнитные свойства их материала вообще не влияют на создаваемое ими поле, а потому и на их взаимную энергию. Отличная же от 1 магнитная проницаемость 66 среды, окружающей провода, согласно (30.15) просто увеличивает в д раз векторный потенциал (а с ним и индукцию) магнитного поля.
Во столько же раз увеличится, следовательно, и коэффициент взаимной индукции, так что будет ~.6 = д " ". (33.11) Что касается коэффициента самоиндукции линейных проводников, то его вычисление представляет значительно большие трудности; этот вопрос будет рассмотрен в следующем параграфе. Полную энергию системы линейных токов можно написать еще и в другом виде. Для этого вернемся к интегралу (33.2), который для линейных токов принимает вид 183 1зз ЭНВРГИЯ СИСТВМЫ ТОКОВ (33.14) где А --. векторный потенциал полного поля в точке а1 а-го проводника.
Основная погрешность, которую мы допускаем при переходе от (33.2) к (33.12), заключается в пренебрежении изме- нением поля (в том числе собственного поля данного тока) вдоль поперечного сечения провода. Каждый из стоящих в (33.12) кон- турных интегралов преобразуется в интеграл по поверхности: фАд1а = ~ го1АНГа = ~ ВсК„ т. е. представляет собой поток магнитной индукции (или, как говорят, магнитный поток) через контур а-го тока. Будем обо- значать этот поток через Фа. Таким образом, ,т' = — ~~» 1,Ф,. (33.13) а Аналогичным образом выражается через магнитный поток свободная энергия Р линейного тока 1 во внешнем магнитном поле, т.
е. энергия, в которую не включается собственная энергия источников поля. Очевидно, что ,и' = -1Ф, 1 с где Ф есть поток внешнего поля через контур тока 1. Если внеш- нее поле однородно (а у среды и = 1), то Ф = Ж ) с11'. Вводя магнитный момент тока согласно (30.18), получим Р' = .,ФЯЗ. Зная энергию системы токов как функцию их размеров, фор- мы и взаимного расположения, можно определить действующие на проводники силы просто путем дифференцирования по соот- ветствующим координатам. При этом, однако, возникает вопрос о том, какие характеристики токов надо при дифференцирова- нии полагать постоянными.
Наиболее удобно производить вычис- ления при постоянных токах. Но в этом случае роль свободной энергии играет величина Р . Поэтому обобщенная сила гя, дей- ствующая свдоль» обобщенной координаты и, есть "=-( —:;)„ Индексы у производной означают, что дифференцирование про- изводится при постоянных силах тока и постоянной температу- ре тел.
Поскольку мы опускаем в свободной энергии постоянную ЧаСтЬ, НС ЗаВИСЯЩУЮ От ТОКОВ, тО Р' И Ра РаЗЛИЧаЮтСЯ ТОЛЬКО знаком, так что ь (индекс 'т у производных здесь и ниже для краткости опускаем). 184 ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛК ГЛ. ГЕ В частности, силы, действующие на проводник со стороны его собственного магнитного поля, определяются по формуле гс, 1 12 дЬ (33.18) 2сг д~ ' где Ь -- самоиндукция проводника. Характер действия этих сил заранее очевиден иэ следующих соображений. При заданном зна- чении силы тока (и температуры) величина Я стремится к мини- муму.
Поскольку в данном случае Я = — 112/2с2, то это значит, что действующие на проводник силы будут стремиться увели- чить его коэффициент самоиндукции. Но последний как величи- на с размерностью длины прогюрционалсн размерам проводника. Таким образом, под влиянием магнитного поля объем проводни- ка увеличивается. Для тока во внешнем магнитном поле имеем ) Я = — Я = — ФЯЗ.
(33.17) Во всех написанных выше формулах для энергии предполага- ется линейная связь между индукцией и напряженностью маг- нитного поля. В общем же случае произвольной связи можно установить аналогичные дифференциальные соотношения. Из- менение свободной энергии при бесконечно малом изменении по- ля (при постоянной температуре) есть согласно (31.8) о'.и = — )' 3 НАГЛ' или, для системы линейных токов, ОЯ = — ~~~ 1 ~дАс(1,. с Поступая далее так же, .как при переходе от (33.12) к (33.13), получим 2) (33.18) ) Отсутствие здесь (по сравнению с формулой (32.6)) множителя 1/2 связано с тем, что магнитный момент тока в (33.17) есть постоянная величина, не зависящая от поля, между тем как фигурирующий в (32.6) магнитный момент магнетика сам возникает только под действием поля.
) Отметим очевидную аналогию между формулами (33.18) в магнитном и (10.13) в электрическом случаях. При этом роль зарядов в магнитном случае играют потоки индукции, Эта аналогия имеет наглядное физическое истолкование. Подобно тому, как электрическое поле может поддерживаться без затраты энергии извне зарядами на изолированных проводниках, магнитное поле можно поддерживать без подвода энергии извне сверхпроводящими соленоидами, магнитные потоки через которые остаются постоянными. Естественно поэтому, что изменение свободной энергии Я н электрическом и магнитном случаях определяется соответственно изменениями зарядов или потоков индукции.
185 1 34 слмоиндгкиия лиивйиых пгонодников Аналогичным образом найдем из (31.9) Ос = — — ~~~ Ф,б,У,. а (33.19) Можно сказать, что для системы линейных токов Я является термодинамическим потенциалом по отношению к магнитным потокам, а Я вЂ” по отношению к силам токов, причем эти два потенциала связаны друг с другом соотношением У = Х вЂ” -' , ''.1.Ф.. а (33. 20) Таким образом, при любых магнитных свойствах вещества справедливы термодинамические соотноп1ения дя 1, дУ (33.
21) с дФ, с д,7, Если применить эти формулы к случаю линейной связи, когда Я дается формулой (33.8), то мы получим ~ Т'аба6. (33. 22) 6 8 34. Самоиндукция линейных проводников При вычислении коэффициента самоиндукции линейного проводника нельзя полностью пренебречь его толщиной, как мы это делали для вычисления взаимной индукции двух проводников.
Сделав так, мы получили бы из (33.9) самоиндукцию в виде 41 д!' где оба интеграла берутся по одному и тому же контуру; но этот интеграл логарифмически расходится при Л -4 О. Точное значение самоиндукции проводника зависит от распределения тока в нем, которое может быть различным в зависимости от способа возбуждения тока, т. е. от того, каким образом приложена к нему электродвижущая сила. Но для линейного Таким образом, коэффициенты индукции оказываются коэффициентами пропорциональности между магнитным потоком и силами токов, создающих магнитное поле. Произведение 1 636|с есть магнитный поток, создаваемый током а6 (о ~ а) через контур тока,7а, а Ьаа,Уа/с поток через тот же контур, создаваемый самим током .7а. 186 ПООТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ Г!ОЛЕ гл.
!ч провода самоиндукция оказывается не зависящей от закова распределения тока по его сечению ! ) с довольно большой степенью точности. Представим самоиндукцию в виде суммы Ь = Ь, + Л;, где Л, и Ц связаны с энергией магнитного поля соответственно вне и внутри проводника.
У линейного провода основную часть само- индукции составляет «внешняя» часть Ь,. Это связано с тем, что основная часть магнитной энергии замкнутого линейного контура заключена в поле вне провода на больших (по сравнению с его толщиной) расстояниях. Действительно, энергия, приходящаяся на единицу длины неограниченно длинного прямого провода, дается интегралом ~ Н .2кгсЬ = Ра I ( — 1 2тггс(г = ~— ' (— 8х 8!г 1 !,сг/ ст,/ т (г расстояние от оси провода, (ге магнитая проницаемость внешней среды).
Этот интеграл логарифмически расходится при больших т. Для замкнутого линейного контура эта расходимость, разумеется, исчезнет интеграл «обрежется» на расстояниях порядка величины размеров контура. Мы получим приближенное значение энергии, умножив написанный интеграл на полную длину провода 1 и взяв для верхнего предела значение 1 (нижний же предел равен радиусу о провода): — 1 1п —. сг о' Отсюда самоиндукция (34.1) Ь = 2)г,1 1п —.
а Это выражение обладает, как говорят, логарифмической точностью; его относительная погрспгность порядка величины 1/1п (1/а), а отношение 1/а предполагается настолько большим, что и его логарифм велик ). ') Точнее, от распределений, при которых плотность тока существенно меняется лишь на расстояниях, сравнимых с толщиной а провода. Если же распределение таково, что плотность тока заметно меняется на расстояниях, малых по сравнению с а (как зто имеет место в силу специальных причин прн так называемом скин-эффекте или у сверхпроводннков), то самоиндукция провода меняется.
) Сделанное выше утверждение о независимости самоиндукции от распределения тока относится в действительности не только к приближенному выражению (34,1), но и к следующему приближению, в котором учитываются члены, не содержащие большого логарифма (что эквивалентно учету в аргументе логарифма коэффициента при 1/а); см. задачи к этому параграфу, 187 ОАМОИНДУКЦИЯ ЛИНВЙНЫХ ПРОВОДНИКОВ Особым случаем линейных проводников является катушка (соленоид), в которой провод намотав по спирали с очень близко расположенными друг к другу витками. Пренебрегая толщиной провода и расстояниями между витками, мы получим просто цилиндрическую проводящую поверхность, по которой течет «поверхностныйа ток проводимости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
