VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 31
Текст из файла (страница 31)
При указанном определении потенциала равенство у = О отвечает соотношению бг/те = ~ /т . между химическими потенциалами катионов и анионов; потенциалы ~Р и с связаны с с1 равенством ~Р -~- с ) Подчеркнем, однако, что при заданном градиенте концентрации 1 зависит от градиента давления: ) Вывод второго члена в зтоя формуле см, в у'1, 8 58. 160 постоянный ток гл. ш связан с коэффициентом )3 в формуле (28.1), вполне аналогич- но тому, как это было сделано в предыдущем параграфе для 1 и с1 — (с). В результате получаем: рП (а~) (28.3) г рп с~с 8 — — (1 — с) 1 е (2) где сы сг — концентрации у поверхности пластинок, а 1 — расстояние между ними.
ы ) Напомним, что определение гидродинамической скорости ч в растворе заключается в том, что рч есть импульс единицы объема жидкости (см. У1, З 58). Поэтому тот факт, что в данном случае движется (относительно электродов) только растворенный металл, несуществен при вычислении рч. гг ) Учет изменения давления, вызванного движением жидкости, привел бы к малым величинам высшего порядка. Коэффициент при 17~ выражен через обычный коэффициент диффузии (здесь р — плотность вещества). При 1 = 0 и при постоянном давлении (и температуре) имеем обычный диффузионный поток 1 = — рОчс. Невозможность существования в выражениях (28.1) и (28.3) членов, пропорциональных градиенту давления, снова (как и в 8 26) следует из закона возрастания энтропии: такие члены сделали бы производную полной энтропии (28.2) не существенно положительной величиной.
Формулы (28.1) и (28.3) содержат в себе все диффузионноэлектрические явления; на более подробном их рассмотрении мы не будем здесь останавливаться. Задача Две параллельные плоские пластинки (из одинакового металла А) погружены в раствор электролита АХ. Найти зависимость плотности тока от приложенной к пластинкам разности потенциалов. Р е ш е н и е. При прохождении тока металл растворяется с одного электрода и осаждается на другом. При этом растворитель (вода) покоится, а через раствор проходит поток массы металла с плотностью ре = ут/е О— плотность электрического тока, т и е — масса и заряд ионов А ) ).
С друе гг гой стороны, этот поток дается выражением г т рчс с г из (28.8); предполагая давление постоянным вдоль жидкости ), получим уравнение пс ( т рП вЂ” = ) 8 — — (1 — с)~ У (1) 4х е (х — координата в направлении между электродами). Поскольку У = сопэ1 вдоль раствора, то имеем отсюда 161 диФФузионно-злнктгичкскик явлвния Разность потенциалов о между пластинками проще всего определить по полной диссипации знергии Я (в 1 с), которая должна быть равна (будучи отнесена к 1 см повсрхности пластинок) уй'. Согласно (28.1)., (28.2) имеем и, воспользовавшись (1), получим г г о"' = / ~ + ~ — [,9 — — (1 — с)] дс. (3) и [д — — (1 — с)~ Формулы (2) и (3) решают (в неявном виде) поставленную задачу. Если ток у мал, то чала также и разность концентраций сз — сь Заменив интегралы произведениями подынтегральных выражений на сз — сы получим для аффективного удельного сопротивления раствора й' 1 1 дС( гп — = — + — — д — — (1 — с)1 сг рРдс ~ е г пх Первый член в (3) дает падение потенциала ) у —, связанное с прон хождением тока.
Второй же член есть злектродвижущая сила, обязанная разности концснтраций в растворе (в известном смысле аналогичная термо-ЭДС). Это последнее выражение не связано даже с условиями данной конкретной одномерной задачи и представляет собой общее выражение для ЭДС «концентрационного злсментаь б Л. Д. Ландау н К.М. Лифшиц, том ЧШ ГЛАВА 1Ъ' ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ я 29. Постоянное магнитное поле Постоянное магнитное поле в материальных средах описывается двумя уравнениями Максвелла, которые получаются путем усреднения микроскопических уравнений с11ч Ь = О, гоФ Ь = — — + — ри.
(29.1) сдс с Среднюю напряженность магнитного поля принято называть магнитной индукцией и обозначать как Ь = В. (29.2) Поэтому результат усреднения первого из уравнений (29.1) будет иметь вид (29.3) ЖтВ = О. Во втором же уравнении производная по времени при усреднении исчезает, поскольку среднее поле предполагается постоянным, так что имеем го1 В = — рч. (29.4) с Среднее значение микроскопической плотности тока, вообще говоря, отлично от нуля как в проводниках, так и в диэлектриках. Разница между этими двумя категориями тол заключается лишь в том, что в диэлектриках всегда ~ рчЖ=О, (29.5) где интеграл берется по полной площади любого поперечного сечения тела; в проводниках же этот интеграл может быть отличным от нуля. Предположим сначала, что в теле (если оно является проводником) отсутствует полный ток, т.
е. справедливо соотношение (29.5). Равенство нулю интеграла (29.5) по любому сечению тела означает, что вектор ри может быть написав в виде ротора некоторого другого вектора, который принято обозначать как сМ: рч = сго1М, (29.6) причем величина М отлична от нуля только внутри тела (ср. аналогичные рассуждения в ~ 6). Действительно, интегрируя 163 1 29 ПОСТОЯННОЕ МАГННТНОЕ ПОЛЕ по поверхности, ограниченной контуром, охватывающим тело и проходящим везде вне его, получим / рчс)1' = с[ гоФМО1' = сф Мс)1 = О.
Вектор М называют намагниченностью тела. Вводя его в уравнение (29.4), получим го1Н = О, (29.7) где вектор Н связан с магнитной индукцией В соотношением (29.8) В = Н+4НМ, аналогичным соотношению между электрической индукцией Р и напряженностью Е.
Хотя вектор Н, по аналогии с Е, называют обычно напрлогсенностью магнитного поля, следует помнить, что в действительности истинное среднее значение нагтряженности есть В, а не Н. Для выяснения физического смысла величины М рассмотрим полный магнитный момент, создаваемый всеми движущимися внутри тела заряженными частицами. По определению магнитного момента [см. П, 9 44), зто есть интеграл 1) — 1 [г рч') сЛ" = — ~ [г го1 М[ с)К Поскольку вне тела рч = О, то интеграл можно брать по любому объему, выходящему за пределы тела. Преобразуем интеграл следующим образом; Х [г[117МП л' = ф [ГФМ)) — Х [[Мс7[Г1 лl. Интеграл по поверхности, проходящей вне тела, обращается в нуль.
Во втором же члене имеем [[М117[Г1 = — М с))ч г+ М = — 2М. Таким образом, получаем в результате — ~ [г рч)Л'= ~ Мс)К (29.9) Мы видим, что вектор намагниченности представляет собой маг- нитный момент единицы объема тела ). 11 ) Для ясности подчеркнем, что в этой формуле г — бегущая координата (переменная интегрирования), а не координата отдельной микроскопической частицы: поэтому она не входит под знак усреднения. ) Лишь после установления этого соответствия величина М становится полностью определенной. Соотношения же (29.6) внутри и М = 0 вне тела сами по себе еще не определяют зту величину однозначным образом: в области внутри тела можно было бы прибавить к М любой вектор вида ягайло, не нарушив равенства (29.6) (см.
аналогичное замечание по поводу электрической поляризации на с, 60). 164 ПООТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ Г!ОЛЕ ГЛ. ГЕ К уравнениям (29.3) и (29.7) должно быть присоединено соотношение, связывающее между собой величины Н и В; лишь после этого система уравнений станет полной. В неферромагнитных телах, в не слишком сильных магнитных полях, В и Н связаны друг с другом линейным соотношением. У изотропных тел линейная связь сводится к простой пропорциональности (29.10) Коэффициент р называется магнитной проницаемосгпью, а ко- эффициент пропорциональности Х= (29.11) в соотношении М =,"СН вЂ” — магнитной восприимчивостью. В противоположность диэлектрической проницаемости е, которая у всех тел превьппает 1, магнитная проницаемость может быть как больше, так и меныпе единицы. Можно только утверждать, что всегда д > 0 (о причине этого отличия между д и е см. з 32; доказательство неравенства д > 0 будет дано в ~ 31).
Соответственно магнитная восприимчивость зг может быть как положительной, так и отрицательной. Другое отличие количественное состоит в том, что магнитная восприимчивость огромного болыпинства тел очень мала по сравнению с их диэлектрической восприимчивостью. Это отличие связано с тем, что вамагничение вещества (не ферромагнитного) является релятивистским эффектом второго порядка по е/с (е --. электронные скорости в атомах) ). В анизотропных телах, кристаллах, простая пропорциональность (29.10) заменяется линейными соотношениями (29.12) Тензор магнитной проницаемости дгь симметричен.
Это следует из термодинамичсских соотноп)ений, которые будут выведены в 3 31! точно так же! как в 3 13 была доказана симметричность тензора е!ы Из уравнений с11н В = О, го1 Н = 0 следует (ср. 3 6), что на гравице двух различных сред должны выполняться условия В! =Вз„НМ =НЕ! (29.13) Эта система уравнений и граничных условий к ним формально совпадает с системой уравнений, определяющих электростатиче- ) Один раз отношение и/с входит вместе с Н в гамильтониан, описывающий взаимодействие тела с магнитным полем, второй раз оно входит через элементарные атомные или мш!екулярные магнитные моменты.
165 ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ 019 + „рЯ Н19) 129. 14) где игре тензор коэффициентов размагничивания, напомним, что зто соотношение справедливо при любой связи между В и Н. Тангенциальные компоненты магнитной индукции, в противоположность ее нормальной компоненте, испытывают скачок на поверхности раздела двух сред. Величину этого скачка можно связать с плотностью токов, протекающих по поверхности. Для этого проинтегрируем обе части уравнения 129.4) по малому отрезку Ы, пересекающему поверхность раздела в направлении нормали. Длину Ы устремляем затем к нулю; интеграл ) рчгг1 может стремиться, однако, при этом к конечной величине. Определенную таким образом величину К = Урт Г11 (29.15) можно назвать поверхностной плотностью тока; она определяет заряд, протекающий в единицу времени через единипу длины линии, проведенной на поверхности. Выберем направление и в данной точке поверхности в качестве оси у, а направление нормали — в качестве оси х, направленной от среды 1 к среде 9. Тогда интегрирование уравнения (29.4) дает (дВ, дВ, '1 4е 4Я 1дх дх/ с" с г1у = — Пе = — П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
