VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Определить распределение потенциала в проводящей сфере, в которую ток 1 входит через один полюс и выходит через противоположный. Р е ш е н и с. Вблизи полюсов О и О' (рис. 15) потенциал соответственно должен иметь нид 1,7 Ф= и 2тптВ~ 2я иВг где Вг, Лг расстояния до полюсов.
Эти функции удовлетворяют уравнению Лапласа, а интегралы — и ) гУР НГ по бесконечно малым полусферам вокруг точек О и О' равны х.1. Ищем потенциал в произвольной точке Р сферы в виде где гт есть решение уравнения Лапласа, не имеющее полюсов внутри сферы и на ее поверхности. Из симметрии очевидно, что Р (как и гг) есть функция только сферических координат т и й. На поверхности сферы (т = а) должно быть ду/дт = О. Произведя дифференцирование, найдем отсюда для ~ следующее граничное условие: 0' д~ 1У1 — — — — — при т= а. дт 2а (,Ргг Вг! Рис.
15 Если т(т,д) есгь какое-либо решение уравнения Лапласа, то функция ) т 'Д(т., й) от тоже есть решение '). Сравнивая с нас писанным граничным условием, легко прийти к заключению, что ему удовлетворяет решение с Подставив Яг,г = (аз + тг ~ 2ат соей)О~ и произведя интегрирование, получим окончательно (гг отсчитывается от значения гг = О при т = О). 3. Показать, что распределение тока и проводящей среде отвечает минимуму диссипации энергии. Р е ш е н и е. Речь идет о минимуме интеграла ) ) Е Л' = / — НЪ' у а ') В атом легко убедиться как непосредственной проверкой, так и на основании того, что искомое решение ~(т, н) уравнения Лапласа, зависящее только от переменных т, д, может быть представлено в виде ш,т" Р„(соя О), где г„— постоянные, а Є— полиномы Лежандра. 141 1 22 зФФвкт хОллА при дополнительном условии г(1т1 = О, выражающем сохранение заряда.
Варьируя поз интеграл / ( — — 2~ргйгт ) Л' (2ггг — лагранжев неопределенный множитель) и приравнивая вариацию ну- лю,получим уравнение 1 = — пгуегили гос — = О, 1 и совпадающее с уравнениями (21.2) и (21.3). $ 22. Эффект Холла Если проводник находится во внешнем магнитном поле Н, то связь между плотностью тока и напряженностью электрического поля по-прежнему дается соотношениями 3г = пгЬЕЬг (22.2) ага = лггв + агую По определению, лгь(Н) = лы(Н), агь(Н) = — аги(Н), (22.3) а из (22.1) следует, что лпь(Н) = вы( — Н) = ягь( — Н), а1ь(Н) = аы( — Н) = — а,ь( — Н). (22.4) Таким образом, компоненты тензора вгь являются четными, а тснзора агь нечетными функциями магнитного поля.
но компоненты тснзора проводимости ась являются функциями Н и, что особенно существенно, уже не симметричны по индексам 1)с. Симметрия этого тензора была доказана в З 21, исходя из принципа симметрии кинетических коэффициентов. Но в магнитном поле, как известно, формулировка этого принципа несколько меняется: одновременно с перестановкой индексов у кинетических коэффициентов должно быть изменено на обратное также и направление магнитного поля (см. У, з 120).
Поэтому для коъгповент тензора сггь(Н) будем теперь иметь соотношения оеь(Н) = гты( — Н). (22.1) Величины же пгь(Н) и оы(Н) отнюдь не равны друг другу. Как и всякий общий тензор второго ранга, тензор п,ь можно разделить на симметричную и антисимметричную части, которые мы обозначим соответственно как лгь и а;ь. 142 постоянный ток гл. ш Как известно, всякий антисимметричный тензор второго ранга агь эквивалентен (дуалев) некоторому аксиальному вектору, с которым его компоненты связаны следующим образом: и,„= а„а„= -аю а„, = а,.
(22.5) С помощью этого вектора компоненты произведения а,ьЕь могут быть написаны в виде компонент векторного произведения [Еа): у1 = п,ьЕь = в,ьЕь + [Еа'„. (22.6) Джоулево тепло, выделяющееся при прохождении тока, определяется произведением 1Е. В силу перпендикулярности векторов [Еа) и Е их произведение обращается тождественно в нуль, так что (22.7) .)Е = з1ьЕ,Еы т. е. джоулево тепло определяется (при заданной напряженности Е) одной лишь симметричной частью тензора проводимости. Если магнитное поле достаточно слабое, можно разложить компоненты тензора проводимости по его степеням.
Ввиду нечет- ности функции а(Н), в разложение этого вектора войдут только члены нечетных степеней. Первые члены разложения линейны по полю, т. е. имеют вид а; = ац,Ны (22.8) Йь = п1ь + 1гытпНКп ° (0) (22.9) Тензор,31ы,„симметричен как по индексам гй, так и по индексам 1т. Таким образом, основной, линейный по полю, эффект влияния магнитного поля заключен в члене [Еа[ (эффект Холла). Он состоит, как мы видим, в появлении тока, перпендикулярного к электрическому полю и по величине пропорционального напряженности магнитного поля. Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае произвольной анизотропной среды холловский ток не является единственным, перпендикулярным к Е: такие составляющие может иметь и не холловский ток в;ьЕЫ Эффект Холла имеет и другой аспект, явствующий из обратных формул, выражающих поле Е через плотность тока: -1.
Ег = п1Ь,И Векторы а и Н оба аксиальны; поэтому постоянные сць составляют обычный (полярный) тензор. В разложение же четных функций я;ь(Н) входят только члены с четными степенями. Первый член разложения есть проводимость п,„в отсутствие поля, а (о) первые поправочные члены квадратичны по полю: 143 1 22 ЭФФЕКТ ХОЛЛА Обратный тензор о»„1, как и прямой, можно разложить на сим- метричную часть (которую мы обозначим как Ряй) и антисиммст- ричную, дуальную некоторому аксиальному вектору Ь: й = Ргьу~ + [1Ьй. (22.10) Отсюда видно, что в изотропном проводнике холловское поле есть единственное электрическое поле, перпендикулярное одновременно току и магнитному полю. В слабых магнитных полях связь векторов Ь и Н дается (в изотропном теле) просто соотношением (22.12) Ь = — ВН.
Постоянная Н (постоянная Холла) может быть как положительной, так и отрицательной. Что касается квадратичных по Н членов в зависимости между Е и 1 (входящих через тензор р,ь), то их вид ясен из того, что единственными векторами, которые можно составить из 1 и Н (линейными по ) и квадратичными по Н) являются Н[1Н) и 1Н2. Поэтому общий вид зависимости между Е и ) в изотропном теле с учетом квадратичных по Н членов дается формулой Е = Р1 11 + Н[Н11 + Я1Н + 132Н(Н1).
(22.13) Задача Выразить компоненты обратного тензора и,.„' через компоненты я;ь и а. Р е ш е н и е. Проще нсего производить вычисления, выбрав систему координат х, у, », в которой тензор яы приведен к главным осям, после чего по виду получающихся выражений легко заключить об их общей форме в ТензоР Рсй и всктоР Ь обладают такими же свойствами, как и зсй и а.
В частности, в слабых полях вектор Ь линеен по магнитному полю. В формулах (22.10) эффект Холла представляется членом [)Ь1, т. е. появлением электрического поля, перпендикулярного к току и по величине пропорционального магнитному полю (и току )). Все написанные выше соотношения очень упрощаются, если проводник изотропсн.
В этом случае из соображений симметрии очевидно, что вектор Ь (или а) может быть направлен только вдоль магнитного поля. Единственными же отличными от нуля компонентами тензора рой являются р„= р„„и ркю где ось г выбрана вдоль направления поля. Обозначив эти две величины через р2 и р~, и выбрав плоскость хг проходящей через направление тока, будем иметь Е» = Рз ув, Еу = — Ь~» Е» = р»2» (22 11) постоянный ток гл.
ш произвольной системе координат. Определитель тензора: в, а, — а„ г г г — а, ввв а, = в,вв,вв„г- в„,а,, ~- вв„ав -1- в„„а„. а„-а, в„ Очевидно, что в общем случае (а! = )в(+ в,ва,аь. г в„вв„-~- а, О' = рве И а,а„— а,в,, а,в — — рв„+ Ь, = )а( Общие выражения, переходящие в зти при нашем выборе системы координат: 1 1 р,ь = — (в,в~(в(+а,ав), Ь, = — — в.ваы )а( (а) чем и решается поставленная задача. й 23. Контактная разность потенциалов Для того чтобы удалить из проводника через его поверхность заряженную частицу, необходимо произвести над ней определенную работу.
Работой выхода называют работу, которая должна быть произведена над частицей, если ее удаление совершается термодинамически обратимым образом. Эта величина всегда положительна, как зто следует непосредственно из того, что точечный заряд притягивается ко всякому нейтральному толу, в том числе ко всякому проводнику (см. ~ 14).
Обозначим зту работу как еИ', где е -. заряд частицы; знак определенного таким образом попгенциила выхода И' совпадает со знаком заряда удаляемой частицы. Работа выхода зависит как от рода проводника (и его термодинамичсского состояния температуры, плотности), так и от рода заряженной частицы. Например, у одного и того же металла работа выхода различна при удалении заряда в виде злектрона проводимости или при удалении иона с его поверхности. Необходимо также подчеркнуть, что работа выхода является величиной, характеризующей поверхность проводника. Поэтому она зависит, например, и от способа обработки и степени азагрязненияь поверхности. Если проводник представляет собой монокристалл, то работа выхода различна и для разных его граней. Для уяснения физической природы зависимости работы выхода от свойств поверхности установим ее связь с злектрической структурой поверхностного слоя вещества.
Понимая под р(х) плотность зарядов, не усредненную по физически бесконечно ма- Составляя также миноры зтого определителя, найдем компоненты обратно- го тензора 145 1 23 КОНТАКТНАЯ РАЗНОСТЬ ПОТННПИАЛОВ лым элементам длины вдоль оси х (перпендикулярной к плоскости слоя),пишем уравнение Пуассона в поверхностном слое: 4'ф = — 41гр.
ДХЗ Пусть области проводника соответствуют х ( О. Интегрируя один раз, получим — '=-4 )'р Ь, Аф дх после чего следующее интегрирование производим по частям: у — 1д = — 4згх ) рдх+4я ) хрйх. При х — ~ оо интеграл 1 рдх весьма быстро стремится к нулю (ввиду электронейтральности поверхности незаряженного проводника) . Поэтому -~- ас ~р(+со) — у( — Оо) = 4х ) хрйх. Интеграл, стоящий в правой части равенства, представляет собой дипольный момент зарядов, распределенных вблизи поверхности тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
