VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Эти величины должны быть комплексно-сопряженными для того, чтобы Ф было вещественным. ) В неортогональных координатах, каковыми являются б, то х, надо, как известно, различать ко- и контравариантные компоненты тснзоров. Это обстоятельство должно было бы учитываться и при переходе к исходным координатам х, у, ж если компоненты Е, и аы преобразуются как контра- вариантные, то компоненты тензора у,,ь1 должны преобразовываться как ковариантныс. Мы, однако, обходим этот вопрос, определяя связь между различными компонентами у, ы в координатах х, у, з непосредственно на основании вида скалярной комбинации (2).
1 17 пьезоэлектгикн Обозначив 27аее = а+ »Ь, 27 = а — »Ь, получим Ф . = а)2Е»п „вЂ” Е»(п»» — 4 УУ))+ Ь|2Е»п,„+ Е„(„„„„„)) 44) Соответствующим выбором направления осей х, у можно обратить а или Ь в нуль. 2. То же для кристаллических классов, допускающих пирозлектричество. Р е ш е н и е. Пусть ось у совпадает с осью симметрии второго, третьего, четвертого или шестого порядка, а в классе С, перпендикулярна к плоскости симметрии. В классах С „плоскость ял совпадает с одной из плоскостей Симметрии. Ниже указаны все отличные от нуля компоненты уьы для каждого из классов: Класс См все 7ьуь Класс С,: все компоненты., не содержащие индекса у или содсржап4ие его два раза.
Класс Су„; 7*,** 7»,РР 7*л» 7»л» 7Р,Р» Класс Су: те же что в Су„а также Класс С4 ' Класс С4: те же, что в С4„, а также Класс Сз».' 7, 7*,* = 7У,Р*~ 7, * = 7*,УУ = 7У,*Р~ 7,** = 7»,РУ. Класс Сз: те же, что в Сз„, а также 7*,Р» = 7Р *»: 1У,» = 1У,УУ = 7*,*У. Класс Се,: 7*, * 7*, =7»,Р 7», » =7,РР. Класс Се: те же, что в Се„, а также 7»,У» = — 7У,* . Соответствующим выбором направления осей л, у, у в классе С» можно обратить в нуль егце три компоненты, а выбором осей х, у в классах С„СР, Сз — одну компоненту (в классах же С4 и Су выражение 7; иЕ,ау» инвариантно относительно поворотов на любой угол вокруг осн у, и потомУ Дальнейшее Уменьшение числа отличных от нУлЯ компонент 7ьы невозможно). 3. Определить модуль Юнга (коэффициент пропорциональности между растягивающим напряжением и относительным удлинением) для плоскопараллельной пластинки непирозлектричсского пьезозлсктрика в следующих случаях: а) пластинка растягивается обкладками закороченного конденсатора; б) пластинка растягивается обкладками незаряженного конденсатора; в) пластинка растягивается параллельно своей плоскости в отсутствие внешнего поля.
Р е ш е н и е. а) В етом случае напряженность поля внутри пластинки Е = О. Единственная отличная от нуля компонента тензора пу1 — растяги- ЗЛЕКТРОСТАТИКА ДИЗЛЕКТРИКОВ Гл. и вающее напряжение п„(ось г перпендикулярна к плоскости пластинки ')). Из (17.8) имеем и», = д„„п,», откуда для модуля Юнга Е: 1 — = д» «».
б) В этом случае в пластинке Е = Е» — — О, 77, = О. Из (17.6) и (17.8) имеем .О = е»»Е» + 4ку л»г«»» = О, и»» = Д,», 1»»» + 7,И Е». Исключая из этих двух равенств Е„найдем 11, = е„Е, + 4х7... и„= О, и», = р„„п„+ 7И„Е». Исключая Е„получим е 4. Получить уравнение, определяющее скорость звука в пьезоэлектрической среде.
Р е ш е н и е. В этой задаче удобнее пользоваться как независимыми переменными величинами иы вместо п»ь. Пишем Е в виде 1 1, 1 Е = Ео + — Лы1 и»и1 — — гы ЕЕ» — — Е Е»а + д .,ыЕ»и»1, откуда дЕ аы = = Л.ы и1 + д1,1»Е1 диы Уравнения движения теории упругости имеют вид дг«ы ди1 дЕ1 ри, = — = Л»ы — + д1, А —, дтг дяь ' дтг (4) где р — плотность среды, и — вектор смещения, связанный с иы соотноше- нием Уравнение Жт ьг = О дает дЕ, диы еы — 41 д».а1 дт» дт, (5) а напряженность поля выражаем через его потенциал; Е,= — —, д»» дт,' чем удовлетворяется уравнение гоаБ = О. ы ) Она не предполагается совпадающей с каким-либо избранным кристаллографическим направлением.
в) В этом случае также Б, = Ея = О, 77, = О, растяжение же пусть происходит вдоль оси аь Имеем 117 1 17 пькзозлектгики В плоской звуковой волне и и у пропорциональны ед"' О, и из написанных уравнений получаем ры и, = Л ы Мь1эи — Д,мйэ?эуг, г егь?с,кэр+ 4кдйий,йьге = О. Исключив отсюда гг, пишем условие совместности получающихся для щ уравнений ,гб Л й й 4 (д~ *~~~ )(дг гь~г~г) бег рш бм — Лиг й~й — 4к е„,й„й, ?Л = — 8кди + еЕ, ?Л = — 8кди, + гЕ„, причем 1 ди, 1 ди, 2 дх ' 2 ду ' Е, = — —, др дх' Е др э ду и для краткости обозначено д,, = дэ,э, — = /3, Л,, = Л„,„,— : Л, е = еээ = е; постоянная пироэлектрическая индукция ?Л, = 11с в уравнения и граничные условия не входит.
Уравнение (5) и г-компонента уравнения (4) дают для области, занятой пьезоэлектрической средой (полупространство у ) 0): 4кдгЛи, + ебгр10 = О, рй, = — дгЛр10 + ЛЬи„ где гЛ = д~/дх~ + д~/ду~;перепишем эти уравнения в виде рй, = ЛЬи„ггг?г = О, (6) где Л = Л+, г?г = и, + р 'ч. дг е е В пустоте же (полупространство у ( 0)потенциал 1ги1 удовлетворяет уравнению бгр1'1 = О. (7) При каждом заданном направлении волнового вектора к зто уравнение определяет три, вообще говоря, различных, фазовых скорости звука ю/й. Характерной для пьезоэлектрической среды особенностью является сложная зависимость скорости от направления волны.
5. Пьезоэлектрический кристалл, относящийся к классу Се„, ограничен плоской поверхностью (плоскость хг), проходящей через ось симметрии (ось г). Найти скорость поверхностных волн, распространяющихся перпендикулярно оси симметрии (вдоль оси х); в волне испытывают колебания смещение и, и потенциал электрического поля х (3.Ь. В1еиэ1егп, 1968; Ю.В. Гуляев, 1969). Р е ш е н и е. В рассматриваемых условиях в системе уравнений (4) и (5) отделяются два уравнения, содержащие только и, н уй эти величины зависят от координат х, у (и от врсмени 1), но нс от г.
Отличные от нуля компоненты тензора напряжений и вектора индукции; а„э = ЕЕ +2Ли, а,э — — ВЕэ + 2Ликю 118 ЗЛЕКТРОСТАТИКА ДИЗЛЕКТРИКОВ гл. и Этн уравненвя должны решаться прн граничных условиях на поверхности среды: а„~) уо) = уа), и,„= О, 1)~*) = — — прн у = О, ду н прн условиях и, †) О прн у †) оо; р -з О прн у †)шоо вдали от поверхности. Ищем решснне в виде  — Аз )А* — ) О) С ьз Из*в т~= е е, ~р =Се е п,=Ае е' — з ЦА* — и причем )хл~ = Т(йз — м~). (9) Уравнения (6), (1) в условия на бесконечности уже удовлетворены, а условия (8) дают трв лвнсйных однородных уравнения для А, В, С, услонне разрешимости которых приводит к соотношению =)с = Лй.
4 дг = Ле()+е) = Наконец, подставив в (9), найдем фвзовую скорость волн пз — = [-(1-Л')] 9 18. Термодинамические неравенства По формулам 8 10 полная свободная энергия представляется в виде интеграла Я= / г(Т,р,В)Лг, (18.1) взятого по всему пространству. Будем рассматривать входящую в подынтегральное выражение функцию В(г) как удовлетворяю- шую только уравнению (18.2) г((т В = О внутри диэлектрика и условию ф В)11 = 4пе (18.3) на поверхности проводника, несущего заданный заряд: этими равенствами устанавливается связь поля с его источниками.
В остальном же функцию В(г) считаем произвольной, в частности, не требуем заранее чтобы она удовлетворяла второму уравнению поля го(Е = О (где Е = 4хдГ,)дВ) и граничному условию (о = сопв1 на поверхности проводников. Покажем, что эти Поверхностное распространение зтвх волн специфично для пьезозлектрн- ческой среды. Прн д — ) О глубина проникновения 1)м — > со, т. е. волна становится объемной.
119 ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА недостающие уравнения могут тогда быть получены из условия минимальности интеграла (18.1) по отношению к изменениям функции В(г), удовлетворяющим уравнениям (18.2) и (18.3). Подчеркнем, что возможность такого вывода а рг1ог1 не очевидна, так как конкурирующие при определении минимума интеграла (18.1) распределения поля не соответствуют физически возможным состояниям (поскольку для них не удовлетворяются все уравнения поля); в термодинамическом же условии минимальности свободной ввергни сравниваются друг с другом лишь различные физически возможные состояния. Задача о нахождении минимума интеграла (18.1) при дополнительных условиях (18.2) и (18.3) решается методом множителей Лагранжа. Следуя этому методу, умножим вариацию условия (18.2) на некоторую, пока неопределенную функцию координат (обозначим ее через — ш/4п), а вариацию условия (18.3) на неопределенный постоянный множитель (обозначим его как уе/4зг), после чего приравниваем нулю сумму вариаций: ~ бГс)Р' — — ~~рЖл бВ Л'+ ~" ~ дВ с)г' = О.
В первом члене пишем ) ог =1 — 1 6В= — ЕдВ, ~ао~т,, йх а второй преобразуем по частям: ~ ~рс))РЙВей' = ~ убВ~К вЂ” / БВ8гас) ~ойК В результате получаем ~ (Е+ 8гас) сз) БВС11г+ ~ (~ре — ~о) бВ~К = О. Отсюда делаем вывод, что во всем объеме должно быть Е = — 8гад 9з (и потому го1 Е = О), а на поверхности проводника ~Р = Уе = сопе1. Это пРавильные УРавнениЯ ДлЯ напРЯженности поля, причем лагранжев множитель д оказывается его потенциалом. ') Свободная знсргия имеет минимум при заданной температуре.
Варьирование должно производиться по двум независимым величинам: П и р. Нас интересует здесь лишь результат варьирования по П. Варьирование же интеграла (18.1) по плотности (при дополнительном условии постоянства полной массы тела) дает одно из обычных условий теплового равновесия— постоянство химического потенциала Ь. 120 ЗЛЕКТРОСТАТНКА ДНЗЛЕКТРИКОВ Гл. и Аналогичным образом можно показать, что уравнения для электрической индукции получаются из условия максимальности интеграла У= ~Р(Т,р,Е)~', в котором варьируется функция Е(г) при дополнительных условиях, что Е = — йгас(сз, а р = сопе1 на поверхности проводника ). Действительно, имеем бЯ = / — бЕсЛг = — ~ В'(7б(осй' = дЕ 4к = — ~ ЖрВ сК вЂ” — ~ Жр с((у В сЛг = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
