VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Тензор пъ называют тензороАА напряжений. Очевидно, что пп, дЯ, = о;ьпь Й( есты-я компонента силы, действующей на элемент поверхности ф (и единичный вектор нормали к поверхности, внешней по отношению к данному объему). Аналогичным образом сводится к интегралу по поверхности также и полный момент сил, действующих на данный объем, чем обеспечивается выполнение закона сохранения момента импульса. Как известно, возможность этого сведения связана с симметричностью тензора напряжений (аъ = пм); последняя является, таким образом, выражением закона сохранения момента импульса. Преобразуя интеграл по поверхности в (15.1) в интеграл по объему, получим и отсюда, ввиду произвольности объема интегрирования, д (15. 2) Это —.
известная формула, выражающая объемные силы через тензор напряжений. 97 1 ?5 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СИЛЫ Н?КИДКОМ ДИЭЛЕКТРИКЕ Приступим теперь к вычислению тензора напряжений. Ка?кдый малый участок поверхности можно рассматривать как плоский, а тело и злектрическое поле вблизи него как однородные. Позтому для упрощения вывода мы можем, без всякого ограничения общности, рассмотреть однородный (по составу, плотности и температуре) плоскопараллельный слой вещества (толщины Ь)1 находящийся в однородном злектрическом поле ).
Это поле можно представлять себе как создаваемое приложенными к поверхности слоя проводящими плоскостями (обкладками конденсатора). Следуя общему методу определения сил,подвергнем одну из обкладок («верхнююа) параллельному виртуальному смещению на бесконечно малую величину ~; направление ( произвольно и не обязательно совпадает с направлением нормали и. Будем считать, что потенциал проводника (в каждой его точке) остается при смещении неизменным, а вызываемая зтим смещением однородная деформация слоя дизлектрика - .
изотермична. На единицу площади поверхности действует со стороны самого тела (слоя) сила — амьпы При виртуальном смещении зта сила производит работу — а4ьпЯ. С другой стороны, работа, производимая при изотермической деформации и постоянных потенциалах проводников, равна убыли величины ) Р 111' или (на единицу площади поверхности слоя) величины ЬР. Таким образом, а,Япь = б(ЬР) = ЬбР+ РбЬ.
(15.3) Термодинамические величины жидкости зависят (при данных температуре и напряженности поля) только от се плотности; деформации, не меняющие плотности (деформации сдвига), не отражаются на термодинамическом состоянии. Поэтому для изотермической вариации СР в жидкости пишем 5Г = — дЕ+ — бр = — + — др. (15.4) Изменение плотности слоя вещества связано с изменением его толщины соотношением др = — рбЬ??Ь. Вариация же поля вычисляется следующим образом. В данную точку пространства (с радиус-вектором г) попадает при смещении вещество из точки г — и, где и — вектор смещения 11 ) "Гем самым мы отбрасываем в тензоре напряжений члены, которые могли бы зависеть от градиентов температуры, поля и т.
в, Эти члены, однако, исчезающе малы по сравнени?о с членами, не содержащими производных, в том же смысле, как малы члены с производными, которые могли бы присутствовать в зависимости В от Е. 4 Л. Д. Ландау н Е.м. Лифшиц, том !?!!! 98 ЭЛККТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОН РЛ. П частиц в объеме слоя. Поскольку в рассматриваемых условиях (однородная деформация и постоянство потенциала на обкладках) каждая частица вещества перемещается вместе со своим значением потенциала, то изменение последнего в данной точке пространства есть бу = ез(г — и) — у(г) = — пз7у = пЕ, где Š— однородное поле внутри недеформированного слоя.
Но ввиду однородности деформации имеем и = — г„ л (15.5) где з расстояние от нижней поверхности. Поэтому вариация напряженности поля (15.6) бЕ = — -п(Е(). Подставляя все полученные выражения в (15.4) и учитывая также, что бЬ = с, = гп, получим он~;пь = — (пВ) (РЕ) — (гп) р — + (~п) Р = 4к др (Е,В, дР— — р — беь + Рбрл ~,пы 4к др Отсюда окончательно находим следующее выражение для тензора напряжений: оеь = Р— р — бъ+ (15. 7) В изотропных средах, которые здесь и рассматриваются, направления Е и В совпадают.
Поэтому Е,РА = ЕАР; и тензор (15.7), как и должно быть, симметричен ~). При линейной связи В = КЕ имеем (15.8) Г=ЫР А) 8т (см. (10.17)); Ее есть свободная энергия единицы объема вещества в отсутствие поля. Согласно известному термодинамическому соотношению, производная от свободной энергии 1 г вещества ') Тот факт, что н изложенном выводе направление Е совпадает с и, несущестнен, так как заранее очевидно, что п,з может зависеть лишь от напранленин Е, но не и. 99 1 15 злектРические силы и гкидком дизлектРике по удельному объему есть давление: Ре = Ре(р, Т) есть то давление, которое имелось бы в среде в отсутствие поля при данных значениях р и Р.
Позтому при под- становке (15.8) в (15.7) получим дг огнь = — Ро(К7")Кь — — е — Р) — 1, 52ъ+ ' ~ (15 9) В пустоте зто выражение переходит в известный максвелловский тензор напряжений злсктрического поля ). Силы, с которыми действуют на поверхность раздела две соприкасающиеся различные среды, должны быть равны и противоположны: огьпь = — о,'ьпы где величины со штрихом и без него относятся к двум средам. Векторы нормали и и и' имеют взаимно противоположные направления, так что можно написать I оиьпь = о,ьпы (15.10) На границе двух изотропных сред равенство тангенциальных составляющих сил соблюдается тождественно. Действительно, подставив (15.7) в (15.10) и взяв тангенциальную компоненту, получим Е211„= Е',гг1„'.
Ег Учитывая граничные условия Е2 = Е,', .0„= ЕЕ„= В„' = Е„', перепишем зто равенство в виде РО(Р~ 'г ) Ратм = ( ) (ЕЕп + Ег ). (15.11) ') См. примеч, иа с. 5К Но зто равенство удовлетворяется уже в силу граничных условий непрерывности Е2 и О„. Условие же равенства нормальных составляющих сил дает нетривиальное условие, налагаемое на разность давлений в обеих средах. Рассмотрим, например, границу между жидкостью и атмосферой (для последней можно положить е = 1). Отмечая штрихом величины, относящиеся к атмосфере, и пользуясь для о;ь формулой (15.9), получим ЗЛЕКТРОСТАТИКА ДВЗЛЕКТРИКОВ гл. и Это соотношение надо понимать как уравнение, определяющее плотность р жидкости вблизи ее поверхности по напряженности электрического поля в ней.
Определим теперь действующие в диэлектрической среде объемные силы. Дифференцируя согласно (15.2) выражение (15.9), получим дх, ~ 8х ~др т~ 8хдх, + — ' ~--' — Ея+ (Е,В„)~ . 4х ~ 2дх; дхА При учете уравнения йч 1А = дОА/дхь = 0 выражение в скобках в последнем члене сводится к сумме дЕА дЕ, 7дЬА дЕ,1 — ЗЕА — + 11ь — ' = — Т1ь ~ — — — '), дх; дхА ~ дх; дхА) ' обращающейся в нуль ввиду того, что го1 Е = О. Таким образом, получаем Г = — игас1Ре(р, Т) + — кгас1 ~Ехр( — ) 1 — — игас1е (15.12) 8к ~ др т1 8к (Н. Не1тйо11е, 1881).
Если в диэлектрике имеются сторонние заряды с объемной плотностью р„, то к силе 4' добавится еще член Ег11РАА/(4х); поскольку 41Р П = 4хр,т, то этот член равен (15.13) р, Е; не следует, однако, думать, что этот результат самоочевиден (ср. задачу 3 8 16). В газе, как уже было указано в 8 7, можно считать разность е — 1 пропорциональной его плотности. Тогда рде/др = е — 1 и формула ~15.12) принимает более простой вид: (15.14) 4' = — '~Ро + игам Е . 8х Формула (15.12) справедлива для сред как однородных, так и неоднородных по своему составу. В неоднородной среде е является функцией нс только р и 1*, но и меняющейся вдоль среды концентрации смеси. В однородной же по составу среде е есть функция только р, Т, и игабе можно раскрыть как 101 1 15 ЗЛЕКТРИЧЕСКИЕ СИЛЫ В 7КИДКСМ ДИЗЛВКТРИКЕ Тогда (15.12) приобретает вид: 7=-РРКрт7...ЛР(Ек(~ ) ~ — р (~) Рт.
(777р) Если и температура постоянна вдоль тела, то третий член обра- щается в нуль, а в первом можно заменить тр7Ро на р~7~о (согласно известному термодинамическому соотношению для химического потенциала в отсутствие поля: р <Ц~ = г1Ро — Яо 71Т) и 7= — р'7 (Р— — ( — ') ~ = — р'7С (15.16) Ро(р, Т) — ~ — 1 = сопзФ, рЕ' 7'де~ 8к ( др)т (15.18) отличающемся от (15.17) тем, что вместо 7,"о в нем стоит Ро)р. В заключение этого параграфа покажем, каким образом можно вывести непосредственно выражение для силы (15.12) из формулы (14.1), если не ставить себе целью вычисление тензора напряжений. Рассмотрим неограниченную неоднородную диэлектрическую среду, подвергаемую изотермической малой деформации, обращающейся в нуль на бесконечности.
Вариация бе складывается из двух частей: 1) из изменения е(г — и) — е(г) = — н~уе, связанного с тем, что в результате деформации в заданную точку г приходит частица вещества из точки г — и, и 2) из изменения — ( — ) рг11Р и, др т где 7', химический потенциал вещества в электрическом поле (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
