VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 14
Текст из файла (страница 14)
(10.5) 4х ') Объем тела предполагается в (10.3), (10.4) постоянным. Следует, .однако, иметь в виду, что в электрическом поле тело становится, вообще говоря, неоднородным, н потому объем не характеризует его состояния, ) Эту величину имеет смысл рассматривать лишь при постоянной вдоль тела тсмпсратурс.
) См. У, 1 24. Вместо плотности массы мы пользовались там числом частиц Аг в единице объема: р = 1г'гп, где пз —. масса молекулы. Химический потенциал С, отнесенный к единице массы, отличается множителем от химического потенциала и, отнесенного к одной частице: ~ = д/т. Обозначение плотности массы вещества той же буквой р, что и плотность зарядов, не может привести к недоразумению, так как эти величины нигде не будут фигурировать вместе.
76 ЭЛВКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ Гл. и 110. 7) Отсюда, в частности, имеем В = — 4к — = — 4х 110.10) Обратим внимание на то, что связь между термодинамическими величинами, которые мы обозначаем буквами со знаком и без него, как раз соответствует той, которая уже была введена в 6 5 для энергии электростатического поля проводников в пустоте. Действительно, интеграл ) ЕВЛАХ можно преобразовать совершенно аналогично тому, как мы это делали в начале 6 2, используя при этом уравнение йт В = 0 в объеме диэлектрика и граничное условие В„= 4ха на поверхности проводников: — ~ ЕВИН'= — — ~ 8габ~р ° В<Л" = — ~~> ) р Б„ф= ~~) ~р,е . 110.11) Для свободной энергии Р = У вЂ” ТЯ единицы объема диэлектрика имеем соответственно йР = — ЯйТ+ ~йр+ — ЕНВ.
110.6) 4л Полученные соотношения представляют собой основу термодинамики диэлектриков. Мы видим, что величины У и Р являются термодинамическими потенциалами соответственно по отношению к переменным Я, р, В и Т, р, В. В частности, можно получить напряженность поля путем дифференцирования этих потенциалов по компонентам вектора В: (дп) (д11) Свободная энергия в этом отношении удобнее, так как ее дифференцирование должно производиться при постоянной температуре, между тем как внутренняя энергия должна прн этом быть выражена через менее удобную величину ..
энтропию. Наряду с У и Р полезно ввести термодинамические потенциалы, в которых роль независимых переменных играют компоненты вектора Е, а не В. Таковыми являются величины ~Г=Ц Р=Р (10.8) 4к 4К для дифференциалов которых имеем пО = ТМЯ+ ~Нр — — ВНЕ, (10.9) йР = — ЯИТ+ ~др — — ВдЕ. 4к 1 Ш тктмодвнамичкскик сООтнОшкния для двэлкктгвков 77 (6Я)т = 6Л = ~ Э2,6е .
(10.13) Для вариации же эГ получим (6У)т = (6У)т — 6~022 е = — ~е 6а2 . (10.14) а а Можно сказать, что величины без знака являются термодивамическими потенциалами по отношению к зарядам проводников, а величины со знаком — по отношению к их потенциалам. Как известно из термодинамики, различные термодинамические потенциалы обладают свойством достигать в состоянии теплового равновесия минимума по отношению к различным изменениям состояния тела. При формулировании этих условий равновесия в электрическом поле необходимо указывать, рассматриваются ли изменения состояния при неизменных зарядах или потенциалах проводвиков — источвиков поля. Так, Я или Я имеют в равновесии минимум по отношению к изменениям состояния, происходящим при постояввой температуре и, соответственно, постоянных зарядах или потенциалах проводников (то же самое для Ю и Ф справедливо при постоянной энтропии тела).
Если в теле могут происходить какие-либо процессы, ве имеющие прямого отношения к электрическому полю (например, химические реакции), то условие равновесия по отношению к этим процессам дается минимумом г' при заданных плотности и температуре тела и индукции П в нем либо минимумом г' при постоянных плотности, температуре и напряженности поля Е. До сих пор мы не делали никаких предположений о зависимости ГА от Е, так что все полученные термодинамические соотношения справедливы при любом характере этой зависимости.
Примевим их теперь к изотропвому диэлектрику с линейной зависимостью В = КЕ. В этом случае интегрирование соотношений (10.5) и (10.6) дает ГГ = ГГо Ф2 р) + —, Е = Ро(Т, р) + —, (10 15) Поэтому1 например, для внутренней эвергии: Ф =Ф вЂ” 1' Я =Ф вЂ” А 0, „010.12) а в соответствии с определением (5.5). Г1олсзно сопоставить также формулы для бесконечно малых изменений этих величин, выраженных через заряды и потенциалы проводников (источников поля). Так, для вариации свободной энергии (при заданной температуре) имеем 78 ГЛ. П ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ где Ус и Ге относятся к диэлектрику в отсутствие поля.
Таким образом, в данном случае величина (10.16) представляет собой связанное с наличием поля изменение внутренней энергии (при заданных значениях энтропии и плотности) или изменение свободной энергии (при заданных температуре и плотности) единицы объема диэлектрической среды. Аналогичные выражения для потенциалов О н г': 57 = 57оФ,Р) — —, Г = ЫТ,Р) — '— . (10,17) Мы видим, что разности У вЂ” 57с и Π— Пс отличаются в этом случае только знаком, как это имело место и для электрического поля в пустоте (8 5).
В диэлектрической среде, однако, такое простое соотношение справедливо только при линейной связи между ВиЕ. Выпишем также для дальнейших справок формулы для плотности энтропии Я и для химического потенциала вещества ~, следующие из (10.15): = — ( —,А = ~а(Т,Р)+ 8, ( — ) = О(А,Р)+ — ( — ) (10.18) — = ~с(Т, Р) — — — . (10.19) Обе зти величины отличны от нуля, разумеется, только внутри диэлектрика. Полная свободная энергия получается интегрированием (10.15) по всему пространству.
Ввиду (10.11) имеем Р-Р,-1 л =-'А',.Р.. ЛоАЕ а Последнее выражение формально совпадает с формулой для энергии электростатического поля проводников в пустоте. К этому же результату можно прийти и непосредственно, исходя из вариации 6,Р (10.13) при бесконечно малом изменении зарядов проводников. В данном случае, при линейной связи В с Е, все уравнения поля и граничные условия к ним тоже линейны. Поэтому потенциалы проводников должны быть (как и для поля в пустоте) линейными функциями их зарядов, и интегрирование равенства (10.13) приводит к (10.20).
Подчеркнем, что в этих рассуждениях отнюдь не предполагалось, что диэлектрик заполняет все пространство вне проводников. Если же последнее имеет место, то можно пойти еще НОлнАя снОВОднАя энеРгия диэлектРическОГО телА 79 дальше и, используя изложенные в конце 8 7 результаты, утверждать следующее. При заданных зарядах проводников введение диэлектрической среды уменьшает в е раз вместе с потенциалами проводников также и энергию поля (по сравнению со значениями этих величин для поля в пустоте). Если же поддерживаются постоянными потенциалы проводников, то энергия поля увеличивается в е раз (вместе с зарядами проводников). Задача Определить высоту 6 поднятия уровня жидкости, втягиваемой в вертикальный плоский конденсатор.
Р ею е н и е. Прн заданных потенциалах обкладок конденсатора должна быть минимальной Р, в которой надо учесть также и энергию дкб~гг2 столба жидкости в поле тяжести. Из этого условия легко получается й = — Е~. 8ггрк 8 11. Полная свободная энергия диэлектрического тела Полная свободная энергия Р (или полная внутренняя энергия 'У)г как она была определена в предыдущем параграфе, включает в себя также и энергию внешнего электрического поля, поляризующего диэлектрик; это поле можно представлять себе как создаваемое определенной совокупностью проводников с заданными полными зарядами на них.
Наряду с этой величиной Рг имеет смысл рассмотреть полную свободную энергию, из которой исключена энергия поля, которое существовало бы во всем пространстве в отсутствие тела. Обозначим напряженность последнего через к.. Тогда «полная» в указанном смысле свободная энергия равна интегралу (11.1) где Г -. плотность свободной энергии. Мы будем здесь обозначать эту величину той же буквой чт, которой в 8 10 обозначался интеграл ) РЖг.
Следует подчеркнуть, что разница между обоими определениями Р сводится к величине, не зависящей от термодинамического состояния и свойств диэлектрика, и потому вообще не отражается на основных термодинамических дифференциальных соотношениях, которые имеют место для этой величины '). ) Отметим, что вычитать из Р величину Е~)8к не имело бы смысла, так как Е есть поле, уже измененное присутствием дизлектрика,и потому разность и — (Е~)8к) отнюдь нельзя было бы рассматривать как плотность свободной энергии диэлектрика как такового.
80 ГЛ. П ЭЛВКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ Вычислим изменение Я в результате бесконечно малого изменения поля, происходящего при постоянной температуре и без нарушения термодинамического равновесия среды. 1 Поскольку бг' = — Е6В, то имеем 4х бЯ = — ~ (Еб — СбС) 41г. Это выражение можно тождественно переписать в виде 6.Р' = — / ( — К.)бС~1'Р'+ + — ) Е(Б — бй) Л' — — ~ ( — Е)бСЫК (11.2) В первом интеграле пишем бС = — ягас1 дус (ро потенциал поля к.) и преобразуем его по частям: ~ агабдуо( — к.) дг'= ф буо( — к.) а1' — ~ блоЫ( — к.) Л' Легко видеть, что оба интеграла в правой части равенства обращаются в нуль. Для объемного интеграла это следует непосредственно из уравнений с11Р В = О и с11Р С = О, которым удовлетворяют соответственно поле в диэлектрике и поле в пустоте.
Первый же интеграл берется по поверхности создающих поле проводников и по бесконечно удаленной поверхности. Последний интеграл обращается, как обычно, в нуль, а на каждом из проводников Буо = сопв$, так что ф ~'Ро( — ~) пг = вуо ф ( — ~) нг. Но поло С, по определению, создается теми же источниками, что и поле Е с индукцией В (т. е. одними и теми же проводниками с заданными полными зарядами е на них).
Поэтому оба интеграла ф В„ф и ф(" ф равны одной и той же величине 4хе, а их разность равна нулю. Аналогичным образом убеждаемся в том, что равен нулю и второй член в (11.2) (для этого подставляем в нем Е = — йгаб ~р и производим такое же преобразование). Окончательно получается Замечательно, что в этом выражении интеграл берется только по объему, .занятому диэлектрической средой, так как вне тела Р = О. 82 ЭЛККТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ ГЛ. П произведя преобразование, .вполне аналогичное произведенному выше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
