VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Позтому получаем (11.7) В частности, в однородном внешнем поле Я вЂ” М,~У, т) = —,-'Е,У. (11.8) Последнее равенство можно было бы получить и путем непосредственного интегрирования соотношения (11.3), если заметить, что в силу линейности всех уравнений поля (при Х) = КЕ) злектрический момент,У должен быть линейной функцией к..
Линейную зависимость между компонентами,У и к. можно написать в виде (11.9) ,У; = ~'сцъ~ы Тогда У вЂ” УО = — — У к'л~, (11.10) 2 где интеграл берется по объему тела. В однородном поле дипольный момент У = Р'Атк., а свободная знергия .Р' — ~а = — — ~ . мЪ' 2 2 (11 11) В общем случае произвольной зависимости О от Е простые формулы (11.7) и (11.8) не имеют места.
Для вычисления Я здесь может быть полезной формула подобно тому, как зто было сделано нами для проводников Я 2). В отличие от проводников, однако, «поляризуемость» дизлектрического тела зависит не только от его формы, но и от его дизлектрической постоянной. Симметричность тензора о;ъ (упомянутая уже в ~ 2) непосредственно следует из соотношения (11.6); достаточно заметить, что вторая производная д~Я дУ, — * = — Ъ'а;ь дСА да, не зависит от порядка дифференцирования.
Формула (11.7) еще более упрощается в важном случае, когда е близко к 1, т. е. дизлектрическая восприимчивость Ат = = (е — 1)/(4~г) мала. В атом случае при вычислении знергии можно пренебречь вызываемым наличием тела искажением поля, т. е. положить 83 1 12 злнктРОстРикция изОтРОпных дизлнктРикОВ вывод которой после произведенных выше вычислений очевиден. Действительно, подынтегральныс выражения в обоих интегралах отличаются на величину — — — — + — = — — 111 — к.)(Е+ Й); Е11 ~Р ко 8к 2 8я 8х после подстановки Е = — ~у, к.
= — 17до и интегрирования по всему пространству это выражение обращается в нуль. Обратим внимание на то, что в (11.12) (как и в (11.7)) подынтегральное выражение (во втором интеграле) обращается в нуль вне тела ( йг где Р = О, г' = — ), так что интегрирование производится 8к только по его объему. Задача Получить формулу, заменяюшую 111.7), для тела, находящегося не я пустоте, а н среде с диэлектрической проницаемостью еы1. Р е ш е н и е. Повторяя для этого случая нроизяеденные и тексте преобразоиания,получим У вЂ”.Ро = — — ) Е(в — е™Е) юг. 1 8я 8 12. Электрострикция изотропиых диэлектриков Для твердого диэлектрика в электрическом поле нельзя ввести понятие давления так, как это делается для изотропного тола в отсутствие поля, потому что действующие в таком диэлектрике силы 1они будут определены в 8 15, 16) меняются вдоль тела и анизотропны, даже если тело само по себе изотропно.
Точное определение деформации (элекшрострпкцпп) такого тела требует решения сложной задачи теории упругости. Дело обстоит, однако, гораздо проще, если нас интересует только изменение полного объема тела. Как уже было указано в 8 5, при этом можно считать форму тела неизменной, т. с.
рассматривать деформацию как равномерное всестороннее сжатие или растяжение. Будем пренебрегать диэлектрическими свойствами внешней среды (например, атмосферы), в которой находится рассматриваемое тело, т. е. будем считать, что ее е = 1. Роль среды сводится только к созданию равномерного давления, действующего на поверхность тела. Именно зто внешнее давление мы будем обозначать ниже буквой Р. Если Р' полная свободная энергия тела, то согласно известному термодинамическому соотношению ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ Гл.
и и соответственно в выражении для дифференциала йЯ должен быть добавлен член — РйЪ'. Так, в однородном внешнем поле имеем вместо (11.5) йЯ = —.У' йТ вЂ” Р йЪт — Я й ~Е. Ф = Фо — -~У 2 (12.3) для термодинамического потенциала тела во внешнем однородном поле. Здесь Фо относится к телу в отсутствие поля при заданных значениях Р, Т (в то время как Яо в (11.8) есть свободная энергия тела в отсутствие поля при заданных значениях Ъ' иТ. ыразив в явном виде зависимость дипольного момента от Ъ" и к. согласно (11.9), перепишем (12.3) в виде ФО(1 ~Т) 1' ~чъ~з~ы (12.4) причем поправочный член должен быть выражен в функции от температуры и давления согласно уравнению состояния тела в отсутствие поля.
Эта формула особенно упрощается в случае малой диэлектрической восприимчивости вещества: Ф = Фа(Р,Т) — — к. (12.5) 2 (ср. (11.11)). Искомое изменение объема Ъ' — Ъе во внешнем поле можно получить теперь непосредственно путем дифференцирования Ф по давлению (при постоянных Т и е.). Так, из (12.5) найдем 1 (д(яЪ ) ) ~2 2 дР 2' (12.6) Введем полный термодинамический потенциал тела согласно обычному термодинамическому определению: Ф = Я+ РЪ'. (12.1) Для дифференциала этой величины (в однородном внешнем поле) имеем соотношение йФ = —,УйТ+ Ъ'йР—,9вйк..
(12. 2) Изменение термодинамических величин во внешнем электрическом поле является обычно относительно малой величиной. Согласно теореме о малых добавках (см. У, (15.12)), малое изменение свободной энергии (при заданных Т и Ъ') и малое изменение термодинамического потенциала (при заданных Т и Р) равны друг другу. Поэтому наряду с (11.8) можно написать аналогичное соотношение 85 112 злкктРООтРикция изОтРОпных дизлнктРикОВ Эта величина может быть как положительной, так и отрицательной (в противоположность злектрострикции проводников, объем которых в поле всегда возрастает).
Аналогичным образом можно вычислить также и количество тепла Я, поглощаемое в дизлектрике при изотермическом включении внешнего злектрического поля (причем внешнее давление поддерживается постоянным) ). Дифференцирование Ф вЂ” Фе по температуре даст изменение знтропии тела, а умножив его на Т, получим искомое количество тепла. Так, из (12.5) получается т (а( у)) (12.7) Положительныс значения Я соответствуют поглощению тепла. Задачи 1.
Определить изменение объема и злектрокалорический аффект для дизлектричсского зллипсоида в однородном злектрическом поле, параллельном одной из его осей. Р е ш е н и е. Согласно формулам (12.3) и (8,10) имеем е — 1 г гр= Фе —— 82г и- + 1 — п Для изменения объема находим ): 22 У вЂ” Уе бг ( е — 1 1 ('де') У 82г 1(не+1 — п)К (не+1 — п)2 (,дР)21 а для злектрокалорического зффекта; ТУе. ) О(е 1) 1 ( де 8 (ж Ч- 1 — (пе -~- 1 — ) (,дТ) Р1 1 1 ГдУ'1 1 /аУ'1 где — = — — ( — ) — коэффициент сжимаемоств тела, а О = — ( — ) К У 1дР)т, у ~ат) козффициент теплового расширения. В частности, для плоскопараллельной пластинки в перпендикулярном к ней поле п = 1, так что — — 1(а)1 ТУаг ~О(е — 1) 1 (де) ') Если же тело теплоизолировано, то наложение поля приведет к изменению температуры, равному Ьт = — Ягор, где ер теплоемкость тела при постоянном давлении.
) Положив е — г оо,получим для изменения объема проводящего зллипсоида (1' — Уе)ггУ = б~Д8кКп). Для шара п = 123, и мы возвращаемся к результату задачи 4 3 5. 87 ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙС"ГВА КРИСТАЛЛОВ 11З откуда искомая емкость а ег(ег — ег) С = Се ч-— пг 8 13. Дизлектрические свойства кристаллов В аиизотропиой диэлектрической среде (мовокристалл) ливейвая связь между ивдукцией и напряженностью электрического поля имеет более сложный вид, ве сводящийся к простой пропорциональности.
Наиболее общий вид такой зависимости дается выражением )-' )-)Ог + егйЕЫ (13.1) где 1эе постоянный вектор, а совокупность величии ееь составляет тевзор второго ранга —. тенэор диэлектрической проницаемости (или, короче, диэлектрический тенэор). Свободный член Ое в соотвошевии (13.1) существует, однако, ве во всяком кристалле. Большинство типов кристаллографической симметрии ве допускает существования постоянного вектора (см.
ниже), и тогда имеем соотношение (13.2) .01 = ееьЕы Тевзор е,ь симметричсв: сгй — саг. (13.3) Р е ш е н и е. При неизменном объеме (а потому и толщине) пластин- ки дифференцирование при постоянной разности потенциалов эквивалентно диф еренцированию прн постоянной напряженности РЛ помощью полученной в задаче 3 формулы для знтропии находим т~ В' (де)' т~ б' (а~)' 5.
Конденсатор состоит из двух проводящих поверхностей, находящихся на расстоянии л друг от друга, малом по сравнению с размерами обклвдок; пространство между обкладками заполнено веществом с диэлектрической проницаемостью ег. В конденсатор вводится шарик радиуса а « й с ди- электрической проннцаемостью ег. Определить изменение емкости конден- сатора. Р е ш е н и е.
Пусть шарик вводится в конденсатор так, что разность потенциалов 1г между его обкладками остается неизменной. Роль свободной знергин при постоянных потенциалах проводников играет Я. В отсутствие шарика Я = -Сер /2, где Сс — первоначальная емкость конденсатора. г Ввиду малых размеров шарика можно считать, что он вводится в однородное поле с напряженностью е = у/6, а изменение У малб. Малое изменение и. при постоянных потенциалах равно малому изменению Р' при постоянных зарядах источников поля. С помощью формулы, полученной н задаче з 11, и формулы (8.2) находим — 1 г а у ег(ег — ег) Я = — -Сеег — —, 2 21гг 2ег + ег 88 ЭЛЕКТРООТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ ГЛ. П Чтобы убедиться в зтом, достаточно воспользоваться термодинамическим соотношением (10.10) и заметить, что вторая производная азЕ дП вЂ” 4х = =ей дЕАдЕ; дЕА не зависит от порядка дифференцирования.
Для самой величины Р' имеем (при выполнении (13.2)) выражение Р Ро . Е. ( 3.4) 8к Свободная энергия Р равна Р Р+ Е к Р + е*еап и 4К 8К (13.5) ) Это название связано с оптическими свойствами кристаллов — см. 8 98, 99. Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор е;А путем надлежащего выбора осей координат может быть приведен к диагональному виду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
