VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В результате такого усреднения значение гзо окажется равным нулю в любом непирозлектрическом конечном кристалле и не зависящим от огранки— в пирозлектрическом. ю ) В задачах 2 — 6 диэлектрическая анизотропная среда предполагается непироэлектрической. 92 ЭЛВКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ гл. и Путем введения новых переменных согласно х = х'ч7*~, у = у'чу~, я = я'ъ'Э Т оно приводится к виду ,язпз~ который формально отличается от уравнения для поля в пустоте лишь заменой е на е' = е~я~*~я~э~я~'~] . Поэтому е е ~х у У -> В тензорных обозначениях, не предрешающих выбор системы координат, е У= ~я~я ь х~хь где ~я~ — определитель тензора яны 3. Определить емкость проводящего шара (радиуса а), погруженного в анизотропвую диэлектрическую среду.
Р е ш с н и с. Путем преобразования (1) определение поля шара с зарядом е в анизотропной среде сводится к определению поля в пустоте, создаваемого зарядом е', распределенным по поверхности зллипсоида ямх';хь = я~*~ х' + я~ "~у' + яуй хи = а . Воспользовавшись формулой (4А4) для потенциала поля зллипсоида, получим для искомой емкости: 4. Определить поле в плоскопараллельной анизотропной пластинке,находящейся во внешнем однородном полек..
Р е ш е н и е. Из условия непрерывности касательной составляющей напряженности следует, что Е = С+Ап, где Š— напряженность однородного поля внутри пластинки, п — единичный вектор нормали к ее поверхности и А — постоянная, Последняя определяется из условия непрерывности нормальной компоненты индукции: ИЬЭ = пк или и я АЕА = п,ягьбь + Аяип,пь = й,п,. Отсюда А=— я~ п~п В частности, если внешнее поле направлено по нормали к пластинке (ось я), то кП вЂ” я ) я,„ Если поле параллельно пластинке и направлено по оси х: 3 14 положи гнльность дизлк«тгичвской воспгиимчнности 93 5.
Определить момент сил, действующих на анизотропный диэлектрический шар, находящийся (в пустоте) во внеп1нем однородном поле Е. Р е ш е н и е. Согласно (8.2) имеем для напряженности поля внутри шара Е,= 3 2-~- ено (и аналогично для Е„, Е,), причем оси х, у, я выбраны вдоль главных осей тензора е,ы Отсюда лля компонент дипольного момента шара (радиуса а) 4яее — 1з лз,= — а Р,= а~к,.
3 сов+2 Компонента же действующего на шар момента сил 1*) Ь1 К, = (ЛгС'„= За С кх (е1 ' + 2)(е1э1 + 2) и аналогично лля К, Кх. 6. В неограниченной анизотропной среде имеется сферическая полость. Выразить поле в полости через однородное поле ЕМ1 в среде вдали от поло- сти. Р е ш е н и е. Преобразованием (1) задачи 2 уравнение для потенциала поля в среде приводится к уравнению Лапласа дэя поля в пустоте. Уравне- ние же для потенциала поля в полости, напротив, превращается в уравнение для потенциала в среде с диэлектрическими проницаемостями 1/ела*1, 1/ео1, 1/е~'~. Кроме того, шар (радиуса а) превращается в эллипсоид с полуосями а/ъ'я7*>, а/БАЗЫ, а/Ю*>.
Пусть пм1, пш1, пм1 — коэффициенты деполяри- зации такого эллипсоида (определяемые по формулам (4.25)). Применяя к полю этого зллипсоида формулу (8.2), получим соотношение 1 1 ду1е псе д1г1е д1се1 (1 — '*1) + дх' е1х1 дх' дх' (и аналогичные — вдоль осей у и х~). Возвращаясь к прежним координатам, имеем — — lе~*~ = — Е /еи1, дэ дэ дя' дя так что для поля в полости получаем окончательно ене — п1 1(сне — 1) 3 14. Положительность дизлектрической восприимчивости Для выяснения характера зависимости термодинамических величин диэлектрика в поле от его диэлектрической проницаемости рассмотрим формальную задачу об изменении электрической части полной свободной энергии тела при бесконечно малом изменении е.
ГЛ. П ЗЛЕКТРОСТАТИКА ДИЗЛЕКТРИКОВ Для изотропного (но не обязательно однородного) диэлектрика имеем согласно (10.20) ~ в' .й'-~о =/ — Л.. ./ 8КЕ При изменении е изменяется также и индукция поля. Поэтому рассматриваемая вариация свободной энергии равна ,/ 8ке .1 8кег Первый член в правой части равенства совпадает с выражением (10.2) для работы, совершаемой при бесконечно малом изменении источников поля (зарядов проводников). Но в данном случае мы рассматриваем изменение поля при неизменных его источниках; поэтому этот член обращается в нуль, и мы получаем (14.1) / Е28К / 8к Из этой формулы следует, что всякое увеличение диэлектрической проницаемости среды хотя бы в некотором ее участке (при неизменных источниках поля), приводит к уменьшению ее полной свободной энергии.
В частности, можно утверждать, что свободная энергия всегда уменьшается при внесении в диэлектрическую среду незаряженных проводников, поскольку последние могут рассматриваться (в электростатике) как тела с бесконечно большой е. Это утверждение обобщает высказанную в 8 2 теорему об уменыпении энергии электростатического поля в пустоте при внесении в него незаряженного проводника. Полная свободная энергия уменыпается и когда какой-либо заряд подносится к диэлектрическому телу из бесконечности (что можно воспринимать как увеличение е в некотором объеме поля вокруг заряда).
Чтобы сделать отсюда заключение о том, что всякий заряд притягивается к диэлектрику, надо было бы, строго говоря, доказать еще, что Я не может достигнуть минимума ни при каком конечном расстоянии между зарядом и телом. Мы не станем останавливаться здесь на доказательстве этого утверждения, тем более, что появление сил притяжения между зарядом и диэлектриком можно рассматривать как довольно очевидный результат взаимодействия этого заряда с дипольным моментом поляризуемого им диэлектрика. Непосредственно из формулы (14.1) можно сделать заключение о направлении движения диэлектрического тела в квази- однородном поле, т, е, в поле, которое можно считать постоянным на протяжении размеров тела. В этом случае Е~ выносится из-под знака интеграла и разность Я вЂ” Яо есть отрицательная величина, пропорциональная Е~.
Стремясь занять положение, в 1 Ш положитнльностьдиэлвктгичвской воопгиимчивости 95 котором его свободная энергия минимальна, тело будет, следовательно, перемещаться в направлении увеличения Е. Независимо от формулы (14.1) можно показать, что полное изменение свободной энергии диэлектрического тела при внесении его в электрическое поле отрицательно ). Это можно сделать с помощью термодинамической теории возмущений, рассматривая изменение свободной энергии тела как результат возмущения его квантовых уровней энергии внешним электрическим полем.
Согласно этой теории имеем й; У Р 1 ГС-'~Р'-~'( -- -) 1~1 Р з ца~ <с) 2з Я Е (14.2) (см. Ъ', (32.6)). Здесь ń— невозмущенныс уровни, И „— мат1о) ричные элементы возмущающей энергии, а черта обозначает статистическое усреднение с помощью распределения Гиббса .тс — Е ~о) и„= ехр у Член Го„в формуле (14.2), линейный по полю, отличен от нуля только в пироэлектрических средах. Интересующее же нас квадратичное по полю изменение свободной энергии дается остальными членами этой формулы; их отрицательность очевидна.
С другой стороны, из самого вывода формулы (14.2) ясно, что полная свободная энергия и должна пониматься в ней в указанном в 8 11 смысле из нее исключена энергия поля, которое существовало бы в отсутствие тела. Поэтому разность Я— —,т'о дастся термодинамической формулой (11.7). Рассмотрим тело в виде длинного цилиндра, расположенного вдоль однородного внешнего поля й.. Тогда поле внутри цилиндра совпадает с к, а его поляризация Р = (е — 1)С/(4п), так что ,У вЂ” ~о = — — 1гю . 8х Отсюда следует, что разность Я вЂ”,Уо будет отрицательна, только если е > 1.
Мы приходим к упомянутому в 8 7 и использованному уже ранее утверждению, что диэлектрическая проницаемость всякого тела больше единицы, т. е. его диэлектрическая восприимчивость зг = (е — 1)/(4л.) положительна. Таким же образом доказываются неравенства ей) > 1 для главных значений тензора е;ь анизотропной диэлектрической среды. Для этого достаточно рассмотреть энергию поля, направленного вдоль каждой из трех главных осей.
') Имеется в виду изменение, пропорциональное квадрату поля. Напомним, что в пнроэлектрических телах изменение свободной энергии содержит также и линейный по полю член, который нас здесь не интересует. 96 Гл. и ЭЛВКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ й 15. Электрические силы в жидком диэлектрике Вопрос о вычислении сил (их называют пондеромоторными)., действующих на диэлектрик в произвольном неоднородном электрическом поле, довольно сложен и требует раздельного рассмотрения для жидких (или газообразных) и твердых тел.
Мы начнем с более простого случая жидких диэлектриков. Будем обозначать через ГдЪ' силу, действующую на элемент объема среды а'Р', вектор Г можно назвать объемной плотностью сил. Как известно, силы, действующие на какой-либо конечный объем тела, могут быть сведены к силам, приложенным к поверхности этого объема (см. УИ, 9 2). Это обстоятельство является следствием закона сохранения импульса. Сила, действующая на вещество в объеме Л", представляет собой изменение его импульса в единицу времени.
Это изменение должно быть равно количеству импульса, втекающего в течение того же времени в этот объем через его поверхность. Если обозначить тензор потока импульса через — о;Ъ, то 1 Л Л' = 1 пъ 41ы (15.1) где интегрирование в правой части равенства производится по поверхности объема Ъ'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
