VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Для вычисления последних можно, следовательно, писать о;ь в виде 166 ЗЛЕКТРОСТАТИКА ДИЗЛВКТРИКОВ гл. и о'Я = — ~ РЫЛ', где бС = к.(г + и) — к.(г) = (п17)к. есть изменение поля к. по отношению к заданной точке тела. Поскольку и = сонз1 и го1 к = О, имеем Р(п~7)~ = (Р~7)(пС) = п(Р~7)С, д.иг = — и ~ (Р17)к.дг'. так что С другой стороны, оЯ = — пР, и мы приходим к следующей формуле для искомой силы ): (16.10) Аналогичным образом можно определить полный момент сил, действующих на тело.
Не останавливаясь на соответствующих вычислениях, укажем результат: К = / [РС[(ЛГ+ / [г (Р~7)С[сЛ~. (16.11) ы ) Подчеркнем, однако, что подывтегральиое выражение в этом иитеграле нельзя интерпретировать как объемную плотность сил. Дело в том,что местные силы в диэлектрике связаны ие только с полем к, во и с собствеивыми внутренними полями в вем, которые, в силу закона сохранения импульса, ие дают никакого вклада в полную силу, во влияют ва распределение сил по объему тела. по любой замкнутой поверхности, охватывающей рассматриваемое тело (но, разумеется, не заключающей в себе заряженных тел, являющихся источниками поля). К вопросу о вычислении полной силы, действующей на диэлектрик в электрическом поле (в пустоте), можно подойти и с другой точки зрения, выражая се не через фактически существующее поле, а через то поле к., которое создавалось бы заданными источниками в отсутствие диэлектрика: это есть то «внешнее поле», в которое вносится тело.
При этом предполагается, что распределение зарядов, создающих поле, не меняется при внесении тела в поле. Это условие может фактически не выполняться, например, если заряды распределены по поверхности протяженного проводника и диэлектрик подносится на конечное расстояние к нему. При виртуальном параллельном переносе тела как целого на бесконечно малое расстояние и полная свободная энергия тела изменится согласно (11.3) на 107 ЭЛЕКТРИЧЕСКИВ СИЛЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ В квазиоднородном поле, которое можно считать постоянным на протяжении размеров тела, формула (16.10) в первом приближении дает Р = (~ Р ()"(7) Е = (9 С )Е, (16.12) где ЕЯ --- полный дипольный момент поляризованного диэлектрика, что, разумеется, можно было бы получить и прямым дифференцированием Я из (11.8).
В формуле (16.11) в первом приближении вообще пренебрегаем вторым членом по сравнению с первым и приходим к естественному результату: К = (,9вк.1. Задачи 1. Диэлектрический шар (радиуса а), находящийся во внешнем однородном поле к, разрезан на две половины плоскостью., перпендикулярной к направлению поля, Определить силу притяжения меж,пу полушариями. Р е ш е н и с. Представляем себе полушария разделенными бесконечно тонкой щелью и определяем силу по формуле (16.8) (с е = 1), производя в ней интегрирование по поверхности полушария, причем Е -- напряженность поля в пустоте у поверхности. Согласно (8.2) поле внутри шара однородно и равно ЕП1 = ЗЕУ(2+ е) (е — диэлектрическая проницаемость шара).
Поле в щели перпендикулярно к поверхности и равно Е = Па1 = 15. 2+е На внешней же поверхности шара Е,=Р16= Фсоэд, Ев=Е 1= — кэшд, 1 Зе 1 3 в 2+е 2+е где 6 — угол между радиус-вектором и направлением к.. Вычисление интеграла приводит к силе притяжения, равной ) 9(е — 1) э э ак. 16(е т 2)э 2. Определить изменение формы диэлектрического шара во внешнем однородном электрическом поле.
Р е ш е н и е вполне аналогично решению задачи 4 3 5. При определении изменения формы предполагаем объем шара неизменным ). Для упругой части свободной энергии имеем то же выражение, что и в задаче 4 8 5. Электрическая часть дастся выражением — — ЯС = —— 2 8Е 1+ н(ем1 — 1) 11 ) Совпадение предела этого выражения при е -э оо с результатом задачи 3 8 5 для проводящего шара случайно (в действительности даже знак этих сил различен).
Физическая незквивалентность обоих случаев ясна из того, что в щели между двумя проводящими полушариями (находящимися прн одинаковом вотенцнале) нет поля, а в данной задаче -- есть. ) Изменение объема определяется в задаче 1 Э 12. 108 ЗЛЕКТРОСТАТНКА ДНЗЛЕКТРНКОВ гл.
и (см. (8.9))., причем диэлектрическая проннцаемость вдоль ося х согласно (16.1) м) 2а1 2а1 а — Ь е * = ее+ а,и, = ео+ — (и„— иг„) = ео+ — —. Из условия минимума полной свободной знергнн найдем (с учетом малости искомой величины); а — 6 9к~ (ео — 1) + ба1/2 Л 40хд (ео + 2)о Прн ео о со это выражение переходит в результат для проводящего шара. 3. Определить объемные силы в нзотропном твердом днэлектрнке прн наличии в нем сторонннх зарядов;тело предполагается однородным. Р е ш с н н е. Предполагая ео, ам ао постоянными я используя уравнения гооЕ = О, г)1ТВ ее41РЕ = 4кр,, получим нз (16.4) д щ) дЕ 8 17.
Пьезозлектрики Внутренние напряжения, появляющиеся в изотропном диэлектрике в электрическом поле, представляют собой эффект, квадратичный по полю. Такой же эффект имеет место и в кристаллах, относящихся к ряду кристаллографнческих классов. Но при определенных типах симметрии электрострикционные свойства кристаллов имеют существенно иной характер. Внутренние напряжения, возникающие в электрическом поле, .в этих телах (пьезозлектрпках) пропорциональны первой степени поля. Соответственно имеет место и обратный эффект дсформирование пьезозлектрика сопровождается появлением в нем поля, пропорционального величине деформации. Интересуясь в пьеэоэлсктрике лишь основным, линейным эффектом, мы можем пренебречь в общей формуле (16.5) квадратичными по полю членами. Тогда ) дР1 п)Ь = г'б,й+ ~ ) ди„те Ниже в этом параграфе мы будем пользоваться термодинамическими величинами, отнесенными к количеству вещества, заключенному в единице объема недеформированного тела (см. примеч.
на с. 103). Понимая г' в этом смысле, будем иметь 109 пькзоэлвктгики Соответственно термодинамическое соотношение для дифференциала йР будет г1 Р = — Я йТ + о;жди,ь — — О дЕ. (17.2) 4х По поводу последнего члена надо сделать следующее замечание: в таком виде этот член (перенесенный сюда из (10.9)) относится, строго говоря, к единице объема деформированного тела.
Не учитывая этого, мы допускаем ошибку, которая, однако, в данном случае (для пьсзоэлектрика) является величиной более высокого порядка малости, чем остальные члены в (17.2). В (17.2) роль независимых переменных играют компоненты тензора и;ы Иногда бывает удобно пользоваться в качестве таковых компонентами п,ъ. Для этого надо ввести термодинамический потенциал, определяемый как Ф = Р— и;ьа,ъ. (17.3) Для дифференциала этой величины будем иметь 4Ф = — 5 гП' — игъдо1ь — — В 4Е.
(17.4) 4х Подчеркнем, что введение в электродинамике термодинамического потенциала Ф согласно формулам (17.3) и (17.4) связано со справедливостью соотношения (17.1) и потому возможно лишь для пьезоэлектрических тел. Определив таким образом нужные нам термодинамические величины, перейдем к описанию пьезоэлектрических свойств кристаллов.
Выбрав величины о;ь и Еь в качестве независимых переменных, мы должны рассматривать индукцию П как их функцию, а в разложении этой функции надо сохранить члены первого порядка по ним. Линейные члены разложения компонент вектора по степеням компонент тензора второго ранга в наиболее общем случае могут быть написаны в виде 4х у, ыоы, где совокупность постоянных у,ы составляет тензор третьего ранга (множитель 4х введен для удобства). Поскольку тензор пы симметричен по своим индексам, то ясно, что и тензор у, ы можно считать симметричным по соответствующим двум индексам: (17.5) Уьы Ъйь~ для наглядности мы отделяем запятой симметричную пару индексов к1 от третьего индекса.
Будем называть тензор у; ы пьезоэлектрическим. Его заданием полностью определяются пьезоэлектрические свойства кристалла. Добавив пьезоэлектрические члены к выражению (13.1) для электрической индукции в кристалле, напишем Оь' = Пю + егьЕь + йя'и ыпы. (17.6) ЗЛЕКТРОСТАТИКА ДИЗЛЕКТРИКОВ гл. и Вид последних трех членов определяется тем, что производные от Ф по Е; (при заданных внутренних напряжениях и температуре) согласно формуле 111 = — 4рг— дФ дЕ, должны дать выражения (17.6). Зная Ф, можно получить согласно (17.4) формулу, выражаю- ЩУЮ тСНЗОР ДЕфОРМаЦИИ ЧЕРЕЗ НаПРЯжЕНИЯ аеь И ПОЛЕ Е: /дФ'1 и1Ь = — ~ у) = 1г и 1а1 + У1лйЕ1 (17. 8) да*. т е СлеДУет отметить, что смысл величин )Агй1 и Е1ь как УпРУгих постоянных и диэлектрической проницаемости в пьезозлектрике в определенном смысле условен. При выбранном нами определении они дают соответственно зависимость деформации от ) Тевзор д,ы определяет связь между напряжениями и деформацией согласно дФ и,ь = — — =~,ы а~ дам * В У11, з 1О мы писали обратную зависимость ам=Лы и~ Ясно, что все свойства симметрии теизора д,ы полностью совпадают со свойствами симметрии тевзора Леы В свободную энергию г' упругая зиергия входит со знаком плюс 1 Х„,р — -Л,ыми;,и„,.
2 Термодииамический же потенциал получается потому 1 Ф р —— Е „р — а,эи,ь = — — Л;и и,эи~ 2 из Р вычитаиием а1ьи,ь, и 1 = — — д,вь„а Аа~ 2 Соответствующие дополнительные члены появятся и в термодинамических величинах. У непьезозлектричсского кристалла в отсутствие поля термодинамический потенциал 1 Ф=Ф=Ф0 — — )Тем оьа1 2 где Фе относится к недеформированному телу, а второй член представляет собой обычную упругую энергию, определяющуюся тензором упругих постоянных )Аеы ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
