VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 19
Текст из файла (страница 19)
(10.19)). В частности, условие механического равновесия Г = 0 при постоянной температуре гласит: ~ = чро — — ~ — '1 = сонет (15.17) 8Е 7 др/т в согласии с общим термодинамическим условием равновесия. Обычно зто условие может быть написано в еще более простом виде. Изменение плотности среды под влиянием поля само пропорционально Я~. Поэтому, если в отсутствие поля среда однородна по своей плотности, то и при наличии поля в последних двух членах в (15.15) следует полагать р = сопе1; учет изменения р в формулах, предполагающих линейную связь В = КЕ, был бы превышением их точности.
Тогда, приравнивая нулю Г из (15.15), получим при постоянной температуре условие равновесия в виде 102 ЗЛЕКТРОСТАТИКА ЛВЗЛЕКТРИКОВ ГЛ. В связанного с изменением плотности вещества в точке г: как известно (см. 'Ч11, 8 1), г11Р и есть относительное изменение элемента объема и потому изменение плотности есть бр = — р 61Р и. Таким образом, вариация свободной энергии: (первый член вариация свободной энергии в отсутствие поля). Проинтегрировав в (15.19) члены с с11гп по частям н сравнив результат с выражением б,Р = — 1 пГЖ" вариации свободной энергии через работу сил Г, получим (15.12). 8 16. Электрические силы в твердых телах Диэлектрические свойства твердого тела меняются не только при изменении его плотности (как у жидкости), но и при деформациях, не меняющих плотности (сдвигах).
Мы рассмотрим сначала тела, которые в отсутствие поля изотропны. Деформация нарушает, вообще говоря, изотропию тела; в результате становятся анизотропными также и его диэлектрические свойства, и скалярная диэлектрическая проницаемость е заменяется диэлектрическим тензором е;Ы Состояние слабо деформированного тела описывается, как известно, тензором деформации где п(х, у, е) . вектор смещения точек тела. Ввиду малости этих величин в изменении компонент е,ъ достаточно ограничиться лишь членами первого порядка по и;и Соответственно этому представим диэлектрический тензор деформированного тела в виде е;ь = зоб,ь + а1и;ь + агииб;и Здесь ео диэлектрическая проницаемость недеформированного тела, а последние два члена (с двумя скалярными постоянными аы аэ) представляют собой наиболее общий вид тензора второго ранга, который можно составить линейным образом из компонент тензора и;ы Посмотрим теперь, в каком пункте должен быть изменен вывод, изложенный в предыдущем параграфе.
Поскольку в твердом теле г' зависит от всех компонент тензора деформации, 163 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СИЛЫ Е ТНЕРДЫХ ТЕЛАХ то вместо (15.4) надо писать бЕ = — — ОбЕ + би;ы 4т ди,ь При рассматриваемом виртуальном смещении вектор н дается формулой (15.5), так что тензор деформации 1 игв = — багга + был;). 26 Подставив это в бГ и учитывая симметрию тензора и,ь (а потому И ПрОИЗВОдНЫХ дЕ/диггй), ПОЛУЧИМ бГ = — — ПбЕ + — ~гпь. (16 2) 41г 6 ди,в Теперь ясно, что для тензора напряжений мы получим вместо (15.7) следующее выражение '): ( дуг ') В,В„ ~,ди*ь)2 В 4т (16.3) Формула (16.3) применима при любой зависимости О от Е. Для непиро- (и непьезо-) электрического тела, в котором .0; = = е,ьЕь, Е дается формулой (13.4), и для нужных нам производных получаем — = — — — (а1ЕгЕА + а2Е бгь).
дР дйо 1 2 ди,в ди,в 8я' После этого везде в (16.3) полагаем е;ь = еоб,ь и находим следующую формулу для тевзора напряжений: 16) + 2'" ог Е Ей ее+ оз Еэб „(16,4) 8т 81г есть тензор напряжений в отсутствие электрического поля, 16) определяющийся через тензор деформации и модули сдвига и сжатия по обычным формулам теории упругости. 11 ) Величина г' в этой формуле, как и везде выше, есть свободная знергия, отнесенная к единице объема тела. В теории упругости, однако, обычно принимается несколько иное определение: термодинамические величины относят к количеству вещества, заключенноьгу в единице объема недеформированного тела, которое после деформирования может занять несколько иной объем. Переход от одного определения к другому легко произвести, выажая относительное изменение объема при деформации через тензор и,ь ввиду наличия в П6,3) производной по и,г зто надо сделать с точностью до членов второго порядка), В результате оба первых члена в П6,3) сведутся к одному члену вида дгеггдигь, в согласии с обычной формулой теории упругости.
ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДНЭЛЕКТРИХОВ Гл. и Перейдем теперь к аналогичным вычислениям для анизотропных твердых тел 1). Изменения, которые должны быть при этом внесены в изложенный выше вывод, заключаются в следующем. При виртуальной деформации слоя вещества его кристаллографические оси испытывают поворот, в результате чего меняется их ориентация по отношению к электрическому полю. Ввиду анизотропии диэлектрических свойств кристалла это обстоятельство приводит к дополнительному изменению Р, нс учтенному в (16.2).
При вычислении этого изменения безразлично считать, оси ли кристалла поворачиваются на некоторый угол б<р относительно поля Е или поле поворачивается относительно осей на угол — б~р; второй способ более удобен. Таким образом, к вариации поля (15.6), рассматривавшейся нами ранее, надо прибавить изменение Е при повороте на угол — б~р: бЕ = — 1п(Е4) — [б Е[.
Угол б~р связан с вектором смещения и при деформации посредством бср = (1/2) го1 и (это равенство легко получить, заметив, что при повороте тела на угол бу его точки смещаются на и = = [б~р г,'). Подставив сюда и из (15.5), получим б(р = — [ь7е с) = — [пС[, 26 26 а затем бЕ = — -п(ЕР) + — [Е[пф[ = — — (п(Ес) + с(пЕ)). Первый член в (16.2) принимает вид — — ПбЕ = [(п1Э)(РЕ) + (с1Э)(пЕ)) = Отсюда видно, что в (16.3) произведение Е;Бь должно быть за- менено стоящей здесь в скобках полусуммой: а;ь = Еб,ь + + — (Е,Г)ь+ ЕА1),).
(16.5) ди,ь зх Отметим, что полученное выражение автоматически оказывает- ся, как и должно быть, симметричным по индексам г' и и. ') Мы увидим в З 17, что явление злектрострикции в кристаллах может при определенных типах симметрии весьма существенно отличаться от злектрострикции изотропных тел. Такис кристаллы называют пьезозлектрическими. Здесь же будет идти речь об злектрострикции в непьезозлектрических кристаллах. 105 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СИЛЫ Е ТЕЕРДЫХ ТЕЛАХ огь = — (Е,Ь'ь — — 5;ь), (16.7) где Е . поле в жидкости, а е -- ее диэлектрическая проницаемость. Это выражение отличается от максвелловского тевзора напряжений электрического поля в пустоте лишь множителем е.
Таким образом: Р = — '~(Е[,Е[ — -'А',) И, к = — - 1[ ([.И[[ Е[ — -'Е'[. [) А[. (16.8) (16.9) Отметим также, что поскольку жидкость находится в равновесии, то в этих формулах можно производить интегрирование Что касается диэлектрического тензора деформированного кристалла, то вместо выражения (16.1) с двумя скалярными постоянными мы будем иметь в общем случае выражение вида Е1Е = Е А + ИТЬ[тпа[тп~ 66 (16.6) где а,ы постоянный тснзор четвертого ранга, симметричный по парам индексов г, Й и 1, т (но ве симметричный по отношению к перестановке пары г, Й с парой 1, т).
Число отличных от нуля независимых компонент этого тевзора зависит от симметрии кристалла, а именно от его кристаллического класса. Мы не станем выписывать здесь формулы для тензора напряжений (аналогичной (16.4)), получающейся при использовании (16.6). Полученные формулы определяют напряжения внутри твердого диэлектрика. Ови, однако, ве нужны, если мы хотим определить полную силу е' или полный момевт сил К, действующие на тело со стороны внешнего поля.
Рассмотрим тело, погруженное в жидкую (или газообразную) среду и удерживаемое в ней неподвижно. Полная действующая ва него сила равна ивтегралу у о;ьпь [11, взятому по его поверхности. В силу вспрерыввости сил [т,ьпь безразлично, вычисляется ли этот интеграл по значениям оьь из (16.4), или из формулы (15.9), относящейся к окружающей тело среде. Предположим, что эта среда находится в механическом и тепловом равновесии. Тогда вычисление еще более упрощается, ее[и учесть условие равновесия (15.18). В силу этого условия часть тевзора напряжений (15.9) оказывается постоянным вдоль среды равномерным сжимающим (или растягивающим) давлением, не дающим никакого вклада в полные действующие на тело силу е' и момент сил К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
