VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Для пьезоэлектрика 11 же будем иметь 1 1 1 Ф = ФΠ— Р1ыпраейа1ир — — ееЬЕьЕЬ вЂ” — Е1.010 — "~г,а1Ееам (17.7) пьвэоэлвктгяки упругих напряжений при заданной напряженности поля и зависимость индукции от напряженности при заданных напряжениях. Если же деформирование происходит при заданной индукции поля или же мы рассматриваем зависимость индукции от напряженности при заданной деформации, то роль упругих коэффициентов н диэлектрической проницаемости будут играть другие величины, которые могут быть выражены (хотя и довольно сложным образом) через компоненты тензоров д, е и у.
Определение поля в пьезоэлектрическом теле должно производиться одновременно с определением его деформации и представляет собой совместную задачу электростатики и теории упругости. Именно, следует искать совместное решение электростатических уравнений (17.9) с11ч В = О, го1 Е = 0 с В из (17.6) и уравнений упругого равновесия (17.10) с соответствующими граничными условиями на поверхности тела и с учетом связи между п,ь и деформацией, даваемой формулами (17.8). В общем случае такая постановка задачи весьма сложна.
Задача очень упрощается для тела эллипсоидальной формы со свободной поверхностью (т. е. к которой не приложены никакие внешние механические силы). В этом случае Я 8) поле внутри тела, а потому и его деформация однородны, а все упругие напряжения огь = О. Наконец, займемся вопросом о том, какие типы кристаллической симметрии допускают существование пьезоэлектричества. Другими словами, надо рассмотреть ограничения, накладываемые условиями симметрии на компоненты тензора 7; ы.
В общем случае этот тснзор (симметричный по индексам й и 1) имеет 18 отличных от нуля независимых компонент, фактически же число независимых компонент обычно значительно меньше. При всех преобразованиях симметрии данного кристалла все компоненты его тензора ~; ы должны оставаться неизменными по величине. Отсюда сразу следует, что во всяком случае не может быть пьезоэлектриком тело, обладающее центром симметрии (в том числе, конечно, изотропное тело). Действительно, при отражении в центре (изменение знака всех трех координат) меняют знак все компоненты тензора третьего ранга. Из 32-х кристаллических классов допускают пьезозлектричество всего 20. Сюда относятся, прежде всего, 10 перечисленных в З 13 классов, допускающих пироэлектричество (все пироэлек- 112 ЗЛНКТРОСТАТИКА ДИЗЛВКТРИКОВ Гл.
и трики являются в то же время и пьезоэлектриками). Кроме того, пьезоэлектрическими являются кристаллы следующих 10 классов: ромбическая система; .0э, тетрагональная система: 04,.024, Я~, ромбоэдрическая система: Юз,. гексагональная система: Ое, Сзь, Рзь, кубичЕСкая СиСтЕма: Т, Тн. Перечисление отличных от нуля компонент пьезоэлектрического тензора для всех классов дано в задачах к этому параграфу. Упомянем здесь еще о родственном пьезоэлектричеству явлении, возникающем при едеформировании» жидкого кристалла; при этом мы будем иметь в виду нематические кристаллы. Напомним (см.
У, 8 140), что эти жидкие среды характеризуются существованием некоторого выделенного направления преимущественной ориентации молекул. Это направление задается в каждой точке среды единичным вектором с1 .- директором кристалла. В недсформированном жидком кристалле направление д постоянно вдоль всего его объема, в деформированном— функция координат. Разложению (17.6) соответствует в жидком кристалле выражение индукции в виде Ве = ЕеьЕ» + 44ге1г11 с)1н с1 + 4пез(го1 с1 с11,, (17.11) где е1, еэ. -- скалярные коэффициенты (Л.В. Меуег, 1969) '). Два последних члена, описывающие рассматриваемый эффект, представляют собой наиболее общий полярный вектор, который можно составить из вектора д и его первых производных по координатам.
Отметим, что выражение (17.11) автоматически оказывается инвариантным относительно изменения знака с1. Что касается тензора диэлектрической проницаемости нематического кристалла, то по своей симметрии он совпадает с таковым для одноосных кристаллов, причем роль оси симметрии играет местное (в каждой точке среды) направление директора. Тензор егй может быть представлен в виде егй = еООеь+е г41с1м (17.12) с двумя независимыми постоянными ес и е„.
Задачи 1. Определить отличные от нуля компоненгы у; ы для непироэлектрических кристаллических классов, допускающих пьезоэлектричество. Р е щ е н и е. Класс Рз содержит три взаимно перпендикулярные оси симметрии второго порядка, которые выбираем в качестве осей х, у, х. Повороты на 180' вокруг этих осей меняют знаки каждых двух из трех координат. Поскольку компоненты зьы преобразуются как произведения х,хьхь ) Пироэлектричество в нематических кристаллах фактически неизвестно, поэтому полагаем Ве = О. пькзозлкктгики то отличными от нуля могут быть только те из них, все три индекса которых различны: 7*,У 7,*Р| 7Р, *~ остальные отличные от нуля компоненты равны этим в силу свойства 7, м = = 7ьы. Соответсгвенно пьезоэлектрическая часть термодинамического потенциала ы Ф„„„= — 2(7,,»,Е,пэ, -~- 7Р,„Еуо„-~- 7,, Е,п,у). (1) Класс 22ээ получается добавлением к осям класса 4»Р еще двух плоскостей симметрии, проходящих через одну из осей (пусть ось х) и делящих пополам углы между осями х и у.
Отражение в одной из этих плоскостей означает преобразование х — » у, у 4 х, х — » ж Поэтому компоненты 7ьы, отличающиеся перестановкой индексон х и у, должны быть одинаковыми, так что из трех коэффициентов в (1) остаются независимыми лишь два: 7,*» 7*,» = 7Р,* Класс Т получается из класса 22г путем добавления четырех диагональных осей симметрии третьего порядка, повороты нокруг которых осуществляют циклическую перестановку осей х, у, э, например: Х вЂ” » х, у » х, я — » у. Поэтому становятся равными все три коэффициента в (1); Такой же результат получается для кубического класса Тэ.
Класс Ю4 содержит ось симметрии 4-го порядка (ось э) и четыре осн 2- го порядка, лежащие в плоскости ху. В дополнение к элементам симметрии класса 22г достаточно рассмотреть здесь поворот на 90' вокруг осн э, т. е. преобразование х -4 у, у -» -х, х -» ж В силу этого преобразования один из коэффициентов в (1) обращается в нуль (7,, „= — 7,, „= — 7,, „, откуда 7...Р = О), а два других отличаются только знаком; Такой же результат получается для класса 224.
Класс Я4 содержит преобразования х — » у, у 4 — х, х — » — х и х — » — х, у э — у, х -э ю Отличны от нуля компоненты 7,*У17,» =7»,. ~ 7, = 7:РР 7*, » уь Р Соответствующим выбором направлений осей х, у одна нз этих величин может быть обращена в нуль. Класс 22э содержит ось симметрии 3-го порядка (ось х) и три оси симметрии 2-го порядка в плоскости ху, одна из которых пусть будет направлена по оси х. Для выяснения ограничений, налагаемых наличием оси третьего порядка, удобно произвести формальное преобразование, вводя комплексные »координаты» б=х+»у, п=х — »у; ') Во избежание недоразумений напомним, что если вычислять компоненты тензора деформации и,у непосредственным дифференцированием конкретного выражения для Ф по а,ю то производные по компонентам ш» с 4 ~ (4 дадут удвоенные значения соответствующих компонент и»у.
Это связано с тем, что выражения и,у = — дФ/дщь имеют по существу смысл лишь как выражающие тот факт, что дФ = — и»У Ишь; но в сумму и»Р дп У члены с дифференциалами недиагональных компонент симметричного тензора ьчу входят дважды. Гл. и ЗЛИКТРОСТАТИКА ДИЗЛВКТРИКОВ координату х оставляем без изменений. К этим новым координатам преобразуем также и тензор усы.
В его компонентах индексы пробегают теперь значения б,уу,ж При повороте на 120' вокруг оси з зги координаты подвергаются преобразованию При этом остаются неизменными и потому могут быть отличными от нуля лишь слеДУюЩие компоненты тензоРа Уьы: 'У,шю 'Уч, Ш 'Уб, Убсс, 'Уж чь„, ПовоРот же на У80' вокРУг оси х есть пРеобРазование х — ~ х, У вЂ” У вЂ” у — у, з — у — х, т. с.
б — у тб у -э б, х — у — ж При этом уьчс и у, „., Изменяют знак и потому должны обратиться в нуль, а остальные из перечисленных вып|е компонент попарно переходят друг в друга, что приводит к равенствам 'уч, Е = уб ю 'убсс = 'уч,„ч. Для того чтобы написать выражение для Ф„„,, надо составить сумму — уьыЕ,аы, в которой индексы пробегают значения б, 6 ж Ф„„о = — 2 уч,с(Еча,Š— Ееа,ч) — ус ЕЕ(ЕЕасс Ф Е„ачч). Здесь надо сщс выразить компоненты Е, и аш в координатах б, ТЬ з через компоненты в исходных координатах х, у, ю Это легко сделать, воспользовавшись тем, что компоненты тензора преобразуются как произведения соответствующих координат. Поэтому, например, из Я = хх — уу + 21ху следует, что асс = а„— а„„+ 2га,ю В результате получим Ф„„„, = 2а(Е„а, — Е а,э) + Ь[2Е„а э — Е (а — аээ)1, (2) где а = 21 ужми Ь = 2 ус ее — вещественные постоянные.
Соотношения между компонентами Зьы в координатах х, у, х гласят, как зто видно из (2) '): уж„— — — у...„= — а, уэ,,„—— — у,,„= у,,„„= — Ь. Класс 22эь получается добавлением к классу Вз плоскости симметрии, перпендикулярной к оси третьего порядка (плоскость ху). Отражение в этой плоскости есть изменение знака х, а потому и уж,е = О, так что в (2) остается только член с одним коэффициентом Ь.
Класс Сзь содержит, помимо оси третьего порядка, перпендикулярную к ней плоскость симметрии. Отражение в последней есть изменение знака х, а потому должны быть равными нулю все компоненты у, ы, в индексах которых х встречается нечетное число раз. Учитывая также рассмотренные выше ограничения, налагаемые осью симметрии третьего порядка, найдем, что отличны от нуля только две компоненты уч ч„и ус ее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
