VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 11
Текст из файла (страница 11)
На границе между диэлектриком и проводником Ее = О, а условие для нормальной компоненты получается из (6.8): (6.11) Р„= 4пстстч Ес=О, где п„плотность зарядов на поверхности проводника (ср. (1.8), (1.9)). й 7. Диэлектрическая проницаемость Для того чтобы уравнения (6.1) и (6.6) составляли полную систему уравнений, определяющих электростатическое поле, к ним надо еще присоединить соотношение, связывающее индукцию 11 и напряженность поля Е. В огромном болыпинстве случаев зту зависимость можно считать линейной. Она соответствует первым членам разложения 11 по степеням Е и связана с малостью внешних электрических полей по сравнению с внутренними молекулярными полями. Линейная зависимость 1) от Е приобретает особенно простой вид в важнейшем случае изотропных диэлектриков.
Очевидно, что в изотропном диэлектрике векторы П и Е должны иметь ') Т. е. по составу соприкасающихся тел, температуре и т. п. Если диэлектрик является кристаллом, то поверхность должна быть кристаллической плоскостью, 62 ЗЛЕКТРОСТАТИКА ДИЗЛЕКТРИКОВ гл. и одинаковое направление. Позтому их линейная зависимость сво- дится к простой пропорциональности ); (7.1) 12 г вЕ. Р=ягЕьз Е. 4гг (7.2) Величина и называется козффициентом поляризуемости вещества (или его диэлектрической восприимчивостью). Ниже Я 14) будет показано, что диэлектрическая проницаемость всегда больше единицы; поляризуемостгч соответственно, всегда положительна.
Поляризуемость разреженной среды (газ) можно считать пропорциональной ее плотности. Граничные условия (6.9) и (6.10) на поверхности раздела двух изотропных диэлектриков принимают вид (7.3) Еи = Ег2, е1Еп1 = Е2Еп2 Таким образом, нормальная составляющая напряженности поля испытывает скачок, меняясь обратно пропорционально диэлектрическим проницаемостям соответствующих сред. В однородном диэлектрике е = сопв$, и тогда из уравнения йч О = 0 следует, что и йт Р = О.
Ввиду определения (6.3) зто значит, что обьемная плотность зарядов в таком теле отсутствует (поверхностная же плотность (6.4), вообще говоря, отлична от нуля). Напротив, если диэлектрик не однороден, то имеем отличную от нуля объемную плотность г — 1 В е — 1 Е р = — йтР = — йтг О = — — Егас) = — — 17е. 4хе 4гг е 4гге Если ввести потенциал электрического поля согласно Е = = — Егаг) гр, то уравнение (6.1) удовлетворяется автоматически, а уравнение йч 1э = йт ЕЕ = 0 дает йн(Лггр) = О. (7.4) ') Такая зависимость, предполагающая обращение В в нуль одновременно с Е, справедлива, строго говоря, лишь н однородных по своим физическим свойствам (составу, температуре и т.
п.) диэлектриках. В неоднородных телах 1з может иметь отличные от нуля значения н при Е = О, определяясь при атом градиентами меняющихся вдоль тела термодинамических величин. Эти члены, однако, весьма малы и мы будем пользоваться в дальнейшем соотношением (7.1) и в неоднородных телах, Козффициевт е называется диэлектрической проницаемостью вещества и является функцией его термодинамического состояния. Вместе с индукцией пропорциональна полю также и поляризация: диэлектРическля пРоницаемссть Это уравнение переходит в обычное уравнение Лапласа лишь в однородной диэлектрической среде. Граничные условия (7.3) можно переписать в виде следующих условий для потенциала: 1г"1 = тч2, Е1 — = Е2— ду1 д1дя (7.5) д д Дп= — — =4 дф дп (7.6) Отсюда видно, что решение задачи о поле заряженного проводника в пустоте переходит в решение той же задачи в диэлектрической среде путем формальной замены потенциалов и зарядов: либо 1р -+ Е1р, .е -+ е, либо 1р — ) 1д, е -+ е/е.
При заданных зарядах проводников потенциал и напряженность поля убывают в е раз по сравнению с их значениями для поля в пустоте; это ослабление поля может быть наглядно истолковано как результат частичной экранировки заряда проводника поверхностными зарядами прилегающего к нему поляризованного диэлектрика. Если же поддерживаются постоянными потенциалы проводников, то поле остается неизменным, но увеличиваются в е раз заряды проводников ).
Наконец, отметим, что в электростатике можно формально рассматривать проводник (незаряженный) как тело с бесконеч- 11 ) Отсюда следует, в частности, что при заполнении конденсатора диэлектриком, его емкость увеличивается в е раз. (условие непрерывности тангенциальных производных потенциала эквивалентно условию непрерывности самого 1р).
В кусочно-однородной диэлектрической среде уравнение (7.4) сводится в каждом однородном участке к уравнению Лапласа Ьу = О, так что диэлектрические проницаемости входят в решение задачи только через посредство условий (7.5). Но эти условия содержат лишь отно1пение диэлектрических проницасмостей двух соприкасающихся сред. Поэтому, в частности, решение электростатической задачи для диэлектрического тела с проницаемостью Е2, окруженного средой с проницасмостью Е1, сводится к такой же задаче для тела с проницаемостью Е2/Е1, находящегося в пустоте. Рассмотрим вопрос о том, как меняются полученные в предыдущих параграфах результаты для электростатического поля проводников, если последние находятся не в пустоте, а погружены в однородную и изотропную диэлектрическую среду. В обоих случаях распределение потенциала описывается уравнением Ьу = О с граничным условием постоянства у на поверхности проводника, и все отличие заключается в том, что вместо связи Е„= — д1р/дп = 4х11 с поверхностной плотностью зарядов теперь будет; ЭЛВКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ гл.
и ной диэлектрической проницаемостью —. в том смысле, что влияние, оказываемое им на внешнее электрическое поле, такое же, какое оказывал бы диэлектрик (той же формы) с е — + Оо. Действительно, в силу конечности граничного условия для индукции Р она должна оставаться конечной внутри тела и при е — + ОО; но это означает, что в таком поле будет Е = О, в соответствии со свойствами проводника. Задачи е е' Э22 = — + —,, е2т с~т где т., т' расстояния точки наблюдения соответ- О' ственно от О н О . Поле же в среде Я ищем в виде поля, создаваемого фиктивным зарядом е", находящнмся в точке О: е О е" Фг = егт Рис.
11 На граничной плоскости (т = т') должны выполняться условия (7.5), нз которых получаем уравнения Л е+е е е — е =е, Е2 Ег отсюда 2ег е =е Е2+Ег Е! Е2 е =е Ег +Е2 Прн ег -+ сю имеем е' = — е, юг = О, т. е. мы возвращаемся к результату, полученному в 3 3 для поля точечного заряда вблизи проводящей плоскости.
Сила, действующая на заряд е (сила изображеннл), равна 2 ее / е 1 ег — ег (26)ге2 (, 26 / Ег(ег -1- Ег) Г ) О соответствует отталкнванию, 2. То же для бесконечной прямой заряженной нити, расположенной параллельно плоскости раздела на расстоянии Ь от нее. Р е ш е н н е вполне аналогично решению предыдущей задачи, стой лишь разницей, что потенциалы поля в обеих средах: 2е 2е', 2ел 222 = — — 1пт — — !пт', уг = — — 1пт, Е2 Е2 Ег где е, е', ел — заряды на единице длины нити и ее «изображений», а т, т' 1. Определять поле, создаваемое точечным зарядом е, расположенным на расстоянии Ь от плоской границы раздела двух различных днзлектрнческнх сред. Р е ш е н н е.
Назовем точку, в которой находится заряд е в среде 1, точкой О., а сс зеркальное отображение па другую сторону плоскости раздела (в среде 2) — точкой О' (рис. 11), Будем искать поле в среде 1 как поле, создаваемое днумя точечными зарядами, — зарядом е н фиктивным зарядом е' в точке О' (ср. метод изображений, 3 3): дизлектгичкскля !!Роницлнмость расстояния в плоскости, перпендикулярной к нитям. Для е, е', е" получаются те же выражения (1), а сила, действующая на едннипу длины нити, 2ее' е (я! — яг) 26я! Ьяг(я! + яг) 3. Определить поле, создаваемое бесконечной прямой заряженной нитью, расположенной (в среде с диэлектрической проницаемостью я!) параллельно цилиндру (с я = яг) радиуса а на расстоянии Ь (Ь ) а) от его осн ).
г! Р е ш е н и е, Поле в среде ! будем искать как поле, которое создавалось бы в однородном диэлектрике я! реальной заряженной нитью (проходящсй через точку О, рис. 12) с зарядом е на единице длины и двумя ОО' фиктивными нитями с зарядами е и -е,проходящими соответственно через точки А н О'. Гочка А расположена на расстоянии АО' = г а г!Ь от центра окружности; тогда для всех точек окружности расстояния т и т соответственно до точек О н А находятся в постоянном отношения т )т = аг!Ь, в результате чего окажется возможным удовлетворить граничным условиям на этой окружно- Рнс. 12 сти.
Поле же в среде 2 будем искать как поле, которое создавали бы в однородной среде яг фиктивные заряды е" на нити, проходящей через О. Граничные условия на поверхности раздела удобно сформулировать с помощью потенциала гг (Е = — йга!! !д) н векторого потенциала А (ср. 3 3), определенного нз В = го!А (в согласии с уравнением Жч13 = 0); в плоской задаче вектор А направлен вдоль оси г (псрпенднкулярно к плоскости рисунка).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
