VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (1109686), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Р е ш е н н е. Согласно общим свойствам зллипсондальных тел в однородном внешнем поле (8 8), усредненные по доменной структуре нндукция В и напряженность Й = Н связаны с о соотношением пВ, + (1 — п)Н, = й„— В, + — Н, = Уз„ 1 †и†1+и 2 2 где п -- коэффициент размагничивания вдоль главной оси зллипсоида (ось 2). Положив Н„= О и используя формулы (41.7), получим Н,= й* — й.
В, = — '(4я Мз — — *. Н2 1+ 22(1 — п))),9' и д2 Исключив отсюда Н, найдем искомое неравенство 2 2 "1 + 1* М2 (4ли)2 ()8+ 2х(1 — и))2 определяющее область существования доменной структуры. 2. Для поликристаллического тела в сильном (Н » 4яМ) магнитном поле определить усредненную по кристаллитам намагниченностьл кристаллиты обладают одноосной симметрией. Р е ш е н и е. Пусть в пределах одного кристаллита д и 7)7 — углы между его направлением легкого вамагничения и соответственно векторами М и Н.
Заранее очевидно, что в сильном поле направление М будет близким к направлению Н, т, е, угтп) д = 0 — д мал. Написав в (41.2) МН = МН соз (д— — 7д) и приравняв нулю производную дФ,)дд, получим дМ д зшд = — з)пдсозд. Н 218 ГЛ. Ч ФеРРомлгнетизм и АнтиФеРРОмАГиетизм Средняя намагниченность направлена, очевидно, вдоль Н и равна М = Мсов4З = М ( 1 — — 9Р) = М [1 — е1п У соез 0], 2 4) 1 2Н2 где черта означает усреднение по крнсталлитам. Г!редполагая все направления оси легкого намагничения криствллнтов равновероятными,получим м=м( — б~,). Таким образом, средняя намагниченность приближается к насыщению по закону М вЂ” МсзН 3. То же при кубической симметрии кристаллитов. Р е ю е н и е.
Условия минимальности ныражения — — (М.'+ М„'+ М,') — (Н.и. + Н„М„+ Н.М,) 4 (в (40.7) положено Н = 1ЗМ~/2) при дополнительном условии М2 З- М2 З+ М„= сопзс гласят: 1ЗМ4 + Н: Лм 1 ~ЗМР + Ня: Лмя Зм2 + Н: Лм где Л вЂ” лагранжев неопределенный множитель, При болыпом Н имеем от- сюда 1З 2 М, — Н,+ — Нз+..., Л Л4 а складывая квадраты этих равенств, найдем М Н (Л, т. е. Л Н(м. Угол 22 между М и Н находим как МН 2 2ие б =.;. б=™~ ="~ С-Н,Н(Н.
Н), где суммирование производится по циклическим перестановкам индексов л, у, 2. Усреднение етого выражения по ориентациям кристаллитов эквивалентно усреднению по направлениям вектора Н. Последнее производится путем интегрирования по сферическим углам, определяющим направление Н, и в результате получается: И =М(1 — -З2) = И(1 — ) 8 42. Магнитострикция ферромагнетиков Изменение намагниченности ферромагветика в магнитном поле приводит к его деформировавию (магиитострик2(ия). Это явление может быть связано как с обменными, так и с релятивистскими взаимодействиями в теле.
Поскольку обмеввая эвергия зависит лишь от абсолютной величины намагниченности, то и ес изменение может быть связано лишь с измсвеиием величивы М в магнитном поле. Хотя последнее, вообще говоря, относительно весьма мало, во, с другой стороны, сама обменная энергия велика по сравнению с эвергией аиизотропии. Поэтому эффекты 219 млгнитостгикция Фегвомхгнетиков магнитострикции, связанные с обоими видами взаимодействий, могут оказаться сравнимыми. Такое положение имеет место в одноосных кристаллах. Заметные деформапни, возникающие от изменения направления М, имеют место в полях Н )зМ; изменение же величины М становится существенным при полях Н 4тсМ.
Если эти области практически совпадают, то при рассмотрении магнитострикции одноосных ферромагнетиков необходимо, вообще говоря, учитывать оба эффекта вместе. Мы не станем останавливаться здесь на получении соответствующих, довольно сложных формул. В кубических кристаллах положение иное в связи с относительной малостью энергии анизотропии (как величины четвертого порядка).
Существенная магнитострикция, связанная с изменением направления М, имеет место уже в сравнительно слабых полях, в которых изменением абсолютной величины М можно еще полностью пренебречь. Рассмотрим эти эффекты. Изменение энергии релятивистских взаимодействий в деформированном теле описывается введением в термодинамический потенциал Ф дополнительных лсагнитоупругих членов, зависящих от компонент тензора упругих напряжений п,й и от направления вектора М (Н.С.
Акулов, 1928). Первые неисчезающие члены такого рода линейны по оей и квадратичны по направляющим косинусам вектора М (последнее — снова в силу симметрии по отношению к изменению знака времени). В общем случае имеем, следовательно, для магнитоупругой энергии выражение вида (42.1) У „= — а ы пеьт~т где п,ы безразмерный тензор четвертого ранга, симметричный по парам индексов 1к и 1тп (но не по отношению к перестановке пары гк' с парой 1т). Вблизи точки Кюри, где разложение по степеням направляющих косинусов вектора М эквивалентно разложению по степеням его компонент, величины а;ы /М 2 стремятся к постоянным пределам.
При подсчете числа независимых компонент тензора а,ы снова следует иметь в виду, что члены в (42.1), содержащие компоненты пз в комбинации т + тп„+ т„не зависят от направ- 2 2 2 ления пз и потому могут быть исключены из магнитоупругой энергии 1). Имея зто в виду, найдем, что у кубического кристалла магнитоупругая энергия содержит два независимых коэффи- ') Возникающий в связи с этим некоторый произвол в выборе а,ы выражает собой условность выбора направления нз,при котором (в отсутствие приложенных извне механических сил) мы считаем кристалл недеформированиым. 220 ФеРРОмлГнетиам и литиФеРРОмлГнетизм ГЛ.
Ч циента; запишем ее в виде Ом у — — — а1(аххт + аууту+ ГГ„т,)— 2 2 2 — 2а2(ахутхту + сех,тхт, + ау,тут,). (42.2) дФ иеь — —— а„' причем в Ф надо включить (с обратным знаком см. примеч. на с. 104) также и обычную упругую знергию. У кубического кристалла последняя содержит три независимых упругих козффициента и может быть представлена, например, в виде 2 — (а +о +а )2+Из(а2 +а2 +а2 ) (423) 2 где ды р2, дз — положительные величины. Для тензора дефор- мации получаем ) и„= (Д1 + Д2)ах + Д2(ауу + а„) + а|т„ 2 (42.4) иху = Язаху + а2ГГГхту и аналогично для остальных компонент.
Эти формулы содержат в себе все магнитострикционные зффекты (в рассматриваемой области полей). В частности, в отсутствие внутренних напряжений формулы 2 и = а1ГП, и„у — — азтхуау, (42.5) определяют изменение деформации при изменении направления намагниченности. Напомним, что абсолютная величина деформации в известном смысле условна ввиду условности выбора того направления гп, для которого деформация принимается отсутствующей. Тензор напряжений, определенный в результате решения конкретной задачи (например, для зажатого кристалла), по порядку величины а а/д, где а и д порядки величины соответственно козффициентов а;ььв и упругих козффициентов.
В атом смысле магнитоупругая знергия (как всегда, на единицу ') При дифференцировании Ф надо иметь в виду замечание, сделанное в примеч, на с. ЫЗ, Тензор деформации получается дифференцированием Ф по соответствующим компонентам а,ь: 221 мАГнитостРикция ФеРРОмагнетикон Ф = —.Ф'9 = — МР'У1, (42.6) где Ф = М1' полный магнитный момент тела, однородно намагниченного в направлении, совпадающем с направлением поля; мы опустили здесь член Фе, не связанный с магнитным полем. Тензор деформации, усредненный по объему тела, определяется формулой 1дР ией = —— 1' дп,г откуда Я д(1гМ) Ъ' дом (42.7) Таким образом, деформация определяется зависимостью намагниченности от внутренних напряжений. При кубической симметрии кристалла всякий характеризующий его свойства симметрический тензор второго ранга сводится ' ) Но и н кубических кристаллах маги итоупругая энергия может оказаться малой по сравнению с энергией анизотропии.
гак, у железа (при комнатной температуре) их отношение 10 — 3 з) Здесь подразумеиастся то определение Ф, о котором шла речь н Э 12. Им нельзя пользоваться для существенно неоднородно деформированных тел. объема) — величина порядка а2/)А. Коэффициенты а величины первого порядка по релятивистскому спин-спиновому взаимодействию, так что магнитоупругая энергия второго порядка по нему. В одноосном кристалле энергия анизотропии . первого порядка по релятивистскому взаимодействию, и потому, .как правило, велика по сравнению с магнитоупругой энергией.
В кубических же кристаллах энергия анизотропии . второго порядка по указанному взаимодействию, .и в этом смысле сравнима, вообще говоря, с магнитоупругой энергией ). В этой связи может возникнуть необходимость одновременного учета обоих видов энергии (например, при исследовании кривой намагннчения), что существенно усложняет задачу. Рассмотрим теперь магнитострикцию магнетика в таких сильных полях (Н» 4ИМ), при которых несущественна энергия анизотропии и доменная структура уже отсутствует, так что направление М можно считать совпадающим с направлением Н. Ввиду пренебрежения энергией анизотропии конкретная симметрия кристалла становится несущественной, так что следующие ниже формулы в равной мере применимы к любому ферромагнетику. Пусть тело находится в однородном внешнем магнитном поле ху.
Его полный термодинамический потенциал Ф2) дается формулой 222 ФеРРомагнетизм и АитиФеРРомАГиетизм к скаляру, из которого он получается умножением на о;ь. Это относится и к тензору д(('М)/до;ь, так что магвитострикционная деформация сводится в этом случае к всестороннему сжатию или растяжению. Если мы интересуемся только изменением й' полного объема тела, то его можно получить просто дифференцированием гр по давлению: д, д Р д(МР) (42.8) дР дР где Р надо понимать как равномерно приложенное к телу всестороннее давление.
Задачи 1. Найти относительное растяжение ферромагнитного кубического кристалла в зависимости от направления намагниченности пз и направления измерения и. Р с ш е н и е. Относительное растяжение в направлении единичного вектора и выражается через тензор деформации формулой б1 — = и,ьи,иы ™ Подставив сюда и,э (в отсутствие внутренних напряжений) из (42.5), получим б1 г з г г з — = а~ (т и + т„п„+ т п„) + аз(т т„п пх + т т,п п, + тэт,пяп,). Напомним, что безусловный смысл имеет не сама зта величина, а лишь разности се значений при различных направлениях гп и и. Так, если т направлено вдоль оси х, то разность значений б1~1 вдоль осей х и у равна а1. Если гп направлено вдоль одной из пространственных диагоналей, то разность значений б1/(в этом жс направлении и вдоль трех других пространственных диагоналей равна 4аз/9.
2. Определить изменение объема при магнитострикции ферромагнитного зллипсоида во внешнем поле У1 4ЕМ, параллельном одной из его осей; ферромагнетик предполагается кубическим '). Р е ш е н и е. При пренебрежении энергией анизотропии область суп1ествования доменной структуры определяется неравенством В < 4хМ при Н = О (черта означает усреднение по объему тела: ср. з 41). В эллипсоиде пВ+ (1 — п)Н = У1, и, положив Н = О, найдем, что доменная структура существует при Уз < 4хиМ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
