VII.-Теория-упругости (1109685), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Решение. Ввиду большой величины жесткости ЕХ! по сравнению с ЕХ! !и с жесткостью на кручение С) ) неустойчивость по отношению к сильному боковому изгибу возникает в то время, когда изгиб в плоскости тл остается еще слабым. Для определения момента наступления неустойчивости надо составить уравнения слабого бокового изгиба стержня, сохраняя в них члены, пропорциональные произведениям действующей в плоскости яз силы Х на малые смещения. Поскольку сосредоточенная сила приложена лишь к свободному концу стержня, то вдоль всей его длины Е = Х, а иа свободном конце 1з = 1) момент М = О; по формуле 119.б) находим компоненты момента относительно закрепленной системы координат х, у, гб ЛХ* = О, ЛХэ = 11 — а)Х, ЛХ = 1У вЂ” Уо)Х; ЛХ! =~р(1 — л)Х, М„= 71 — с)Х, ЛХС = 11 х)Х Э 71У вЂ” 1о), !1У г7х где !э — полный угол поворота сечения стержня при его закручивании 1угол кручения т = г7зэ!!!7 здесь не постоянен вдоль длины стержня).
С другой стороны, согласно 118.8) и 118.9) имеем при слабом изгибе ЛХс — — — ЕХ!У', М„= ЕХзХ", ЛХ, = С!э ') Так, для узкого прямоугольного сечения имеем 66з ЕХ! = — Е, 12 с шириной 6 и высотой 6 » 6 66з С = — 'р. 3 где Уо = У11). Проецируем эти моменты на связанные в каждой точке со стержнем оси координат б, !7! Г, с точностью до членов первого порядка по смЕщениям получим 129 уст'ОйчнВОсть упгугих скот'ьм и, сравнивая эти выражения, получим уравнения равновесия Е11Л = (( — д)1, Е1;Ул = — 1р(1 — в)~, Су' = (И вЂ” я)~У -У (И вЂ” Ие)У. Первое из этих уравнений определяет основной изгиб стержня в плоскости т;требуется найти значение у,при котором появляется отличное от нуля ре1пение у второго и третьего уравнений.
Исключая из них 4',найдем 1р -Р к~(1 — с)~~р = О, ке = Е11 С Общий интеграл этого уравнения есть /й 2~ /й,\ ~ = оЛ вЂ” 111 (-(4 — ) ) -Р ЬЛ вЂ” яг — 24 (-(4 — ) ) . 1,2 4 1,2 На заделанном конце (я = 0) должно быть 41 = О, а на свободном крутящий момент С4Р' = О. Из второго условия имеем а = О, а первое дает 1 114(И'/2) = = О.
Наименьший корень этого уравнения: К~/2 = 2, 006, откуда 5 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том УН ГЛАВА Н1 УПР'УГИЕ ВОЛНЫ й 22.Упругие волны в изотропной среде Ешзи в деформируелюм теле происходит движение, то температура тела, вообще говоря, отнюдь не постоянна, а меняется как со временем, так и от точки к точке вдоль тела. Это обстоятельство сильно усложняет точные уравнения движения в общем гулучас произвольных движений. Обычно, однако, положение упрощается благодаря тому, что передача тепла из одного участка тела в другой (посредством простой теплопроводпости) происходит очень медленно. Если теплообмен практически не происходит в течение промежутков времени порядка периода колебательных движений в теле, то можно рассматривать каждый участок тела как теплоизолированный, т.
е. движение будет адиабатическим. Но при адиабатических деформациях зт,ь выражается через и»ъ по формулам обычного вида с той лишь разницей, что вместо обычных (изотермических) значений величин Е, сг надо брать их адиабатическис значения (см. з 6). Ниже мы будем считать это условие выполненным, и соответственно этому под Е и зт в этой главе будут подразу.меваться их адиабатические значения. Для того чтобы получить уравнения движения упрутой среды, надо приравнять силу внутренних напряжений дсгеь/дхь произведению ускорения й» на массу единицы объема тела., т. е.
на его плотность р: (22.1) дя» зз ) зПодразумевается, что скорость зз точек среды совпадает с производной и от ее смещения. Подчеркнем, однако, что отождествление этих двух величин отнзодь но является чем-то само собой разумеющимся. В кригталлах вектор и представляет собой смещение узлов решетки; скорость же т определяется в механике сплошных сред как импульс единицы массы вещества. Равенство т = и справедливо, строго говоря, лишь для идеальных кристаллов, где в каждом узле решетки (и только в них) находится по атому. Если же кристалл содержит дефекты (незаполненнью ухчы — вакансии, или же, напротив, лишние атомы в междоузлиях), то перенос массы относительно решетки (т. е.
отличный от нуля импульс) может существовать и в недеормированной решетке — за счет диффузии дефектов зсквозь решетку». тождествление я и и подразумевает пренебрежение этими эффскталзи— в связи с медленностью диффузии или малой концентрацией дефектов.
131 хпекгив волны в изотеошкзй сеиде Это общий вид уравнений движения. В частности, уравнения движения изотропной упругой среды можно написать непосредственно по аналогии с уравнением равновесия (7.2). Имеем рй = сап+ Е Е ягасс с)1л и. (22.2) 211-Ь и) 211 -~-п)С1 — 2п) Поскольку все деформации предполагаются малыми, то рассматриваемые в теории упругости движения представляют собой малые упругие колебания или волны. Начнем с рассмотрения плоской у.пругой волны в неограниченной изотропной среде, т. е.
волны, в которой деформация и является функцией только от одной из координат, скажем, от х (и от времени). Все производные по у и г уравнениях (22.2) исчезают, и мы получаем для отдельных компонент вектора и следующие уравнения: — — = О,," — —,," = О (22.3) длв се дсз длв с,'- дсз (уравнение для и, такое же, как для из), где введены обозначе- н ия ): 1/2 1/2 рС1-еп)С1 — 2н))' ~2рС14-а)) Уравнения 122.3) представляют собой обычные волновые уравнения в одном измерении, и входящие в них величины сс и сс являются скоростями распространения волны.
ййы видим, что скорость распространения волны оказывается различной для компоненты и„., с одной стороны, и компонент и,, и, с другой. Таким образом, упругая волна представляет собой по существу две независимо распространяющиеся волны. В одной из них (и ) смещение направлено вдоль распространения самой волны; такую волну называют продольной, она распространяется со скоРостью сс. В ДРУтой сии, и,) смеЩение напРавлено в плоскости, перпендикулярной направлению распространения; такую волну называют поперечнойо она распространяется со скоростью сы Как видно из (22.4), скорость сс всегда больше скорости сс 2): сс > 14/3)~сгстн (22.5) ы ) Дадим также выражения скоростей П и сс через коэффициенты сжатия и сдвига и через козффициенты Лама: (ЗК+ 4р)" (Л+ 2д)" (р) "' з) При фактическом изменении и в пределах от 0 до 1/2 Сом. примеч.
на с. 2б) имеет место и более сильное неравенство сс ) осчс2. 132 1'Л. Н! упгугив ВОлны й = с~Ли + (сз — с~) йгас1111уп. Представим вектор и в виде суммы двух частей: (22.6) (22.7) и=и1+пп из которых одна удовлетворяет условию (22.8) 111уп1 = О., а другая -- условию гоСп1 = О. (22.9) Из векторного анализа известно, что такое представление всегда возможно (это есть представление вектора в виде суммы ротора некоторого вектора и градиента некоторого скаляра). При подстановке и = п1 + п1 в (22.6) получаем й1 + й1 = с1 Ь(и1 + п1) + (с~~ — с~~) раг1Жупи (22.10) Применим к обеим частям этого уравнения операцию 111у.
Г1оскольку 111уп1 = О, мы получим 111уй1 = с~~Ьс11уп~ + (с~ — с~~)Ь111у пб 111у(й~ — с~~Ьи1) = О. С другой стороны, гоФ стоящего в скобках выражения тоже равен нулю в силу (22.9) . Но если го$ и г11у некоторого вектора исчезают во всем пространстве, то этот вектор тождественно равен нулю. Таким образом, дкп1 з д11 ' — с~ Ьи~ = О. (22.11) Скорости с1 и с1 называют продолыюй и поперечной скоростями звука. Мы знаем, что изменение объема при деформации определяется суммой диагональных членов тензора деформации, т.
е. величиной и,, = с11у п. В поперечной волне имеются только компоненты и„, п„и поскольку. они не зависят пи от у, ни от з, для такой волны йу п = О. Таким образом, поперечные волны не связаны с изменением объема отдельных участков тела. Напротив, для продольных волн йу п ~ О; эти волны сопровождаются сжатиями и расширениями в теле. Разделение волны на две независимо распространяющиеся с разными скоростями части можно произвести и в общем случае произвольной (ие плоской) упругой волны в неограниченном пространстве.
Перепишем уравнение (22.2), введя в него скорости с1 и с~.. 133 в нгягии волны в изотношюй сввдв Аналогично применяя к уравнению С22.10) операцию гоС и помня, что гоСпс = 0 и что гоС всякого градиента равен нулю, находим гоС(йс — ссЬпс) = О.
Поскольку с11г стоящего в скобках выражения тоже равна нулю, мы приходим опять к уравнению того же вида, как и (22.11): д'ис я дсв — с,лп,=0. (22.12) Уравнения 122.11) и (22.12) представляют собой обычные волновые уравнения Св трех измерениях). Каждое из них соответствует распространению упругой волны со скоростью соответственно с~ или сь Одна из этих волн (пс) не связана с изменением обьема (в силу с11г пс = О), а другая (п~) сопровождается объемными сжатиями и расширениями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
