VII.-Теория-упругости (1109685), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(24.И) т Отсюда видно, что число С зависит только от отношения сг/сб являющегося некоторой характерной для каждого данного вещества постоянной и зависящего в свою очередь только от коэффициента Пуассона: с~ 1 — 2а с~2 2(1 — а) Величина с должна быть, разумеется, вещественной положительной, пРичем С ( 1 (так, чтобы мг, ЯО были веЩественны). Уравнение (24.13) имеет только один корень, удовлетворшощий этим условиям, так что для каждого данного значения сг/с~ получается всего одно определенное значение С ').
Таким образом, для поверхностных волн, как и для обьемпых, частота пропорциональна волновому вектору. Коэффициент пропорциональности между ними есть скорость распространения волны (24.14) ') При переходе от уравнения (24.11) к (24.13) теряется корень ые = О (м~ = гч = гс), которому отвечает значение с = О, тоже удовлетворяющее условию б ( 1. Из уравнений (24.9), (24.10) видно, однако, что атому корню соответствует равенство а = — 6, и потому полное сл(ешепие и = п~ 4- п~ = О, т.
е. движение вообще отсутствует. 144 упгугик ВОлны 1'Л. Ш Этим определяется скорость распространения поверхностных волн через скорости с( и с( поперечных и продольных объемных волн. Отношение амплитуд поперечной и продольной частей волны опреде- 0,95 ляется по значению ~ формулой а 2 — б2 (24.15) ь 0,90 122 2=(2) (ь — о и22 =:1е и,2 = и,2 = О, Для функции Д(2) имеем уравнение х1 = ( — — й ) -ьх,1=0, (мы увидим ниже, что должно быть х12 > 0), откуда т (2) = В в(В х1 2 + С сов х1 2. На свободной границе пласта (2 = 11) должно быть опэ — — О, т.
е. ди21(1дз = О. На границе же между обеими средами (2 = 0) имеем условия ав21 авэз и„( = и22, Р( = Р2 дз дх (р1, р2 — модули сдвига обеих сред). Из этих условий находим три уравнения для 24, В, С, условие совместности которых даст Р 2 Х2 ГКХ(п = —. Р1Х1 Это уравнение определяет в неявном виде зависимость 22 от 12; оно имеет решения лишь при вещественных х1 и хз, так что всегда сщ > щ('12 > сп. Отсюда видно, что распространение рассматриваемых волн возможно лишь при условии с12 ) сп.
Отношение сг(1с( фактически меняется для различных веществ в пределах от 1/ь(2 до О, что соответствует изменению (г от 0 до 1/2; при этом С меняется от О, 874 до О, 955. На рис. 21 дан график зависимости с от с1. Задача Плоскопараллельный пласт толщины 6 (среда 1) лежит на упругом полупространстве (среда й).
Определить зависимость частоты от волнового вектора для поперечных волн в пласте с направлением колебаний, параллельным границам пласта. Решение. Выберем плоскость раздела межзи пластом и полупространством в качестве плоскости ху, причем упругому полупрострапству соответствуют 2 ( О, а пласту 6 ) 2 ) О. В пласте имеем 2 (2 .— ~12 и.( = в,.1 = О, иэ( = Д(2) е а в среде 2 пишем затухвтощу.ю в глубь нее волну: 145 КОЛВЬАИИЯ СТИРЖПВЙ И ПЛАСТИИОК й 25. Колебания стержней и пластинок (см. ~ 5) с,=Еи, =Š— '.
дн„. Подставляя это в общее уравнение движения дам рй, = дт! ' находим д н, р д и, — — ' =О. дт' Е д11 (25.1) Это есть уравнение продольных колебаний в стержнях. Мы ви- дим, что оно имеет вид обычного волнового уравнения. Скорость распространения продольных волн в стержнях оказывается рав- ной 6)'" (25.2) Сравнив ее с выражением (22.4) для с!! видим, что она меньше скорости распространения продольных волн в неограниченной среде.
Перейдем теперь к продольным волнам в тонких пластинках. Уравнения движения для таких колебаний можно на1тисать сра- Волны, распространяющиеся в топких пластинках и стержнях, существенно отличаются от волн, распространяющихся в среде, неограниченной во всех направлениях. При этом речь идет о волнах, длина которых велика по сравнению с толщиной стержня или пластинки. В обратном предельном случае длин волн, малых по сравнению с этой толщиной, стержень или пластинку можно было бы вообще рассматривать как неограниченные во всех направлениях, и мы получили бы снова соотношения, имевшие место в неограниченных средах. Необходимо различать волны, в которых колебания происходят параллельно оси стержня или плоскости пластинки, от волн с перпендикулярными колебаниями. Начнем с изучения продольных волн в стержнях.
Продольная деформация стержня (однородная вдоль его сечения), на боковую поверхность которого не действуют никакие внешние силы, представляет собой простое растяжение или сжатие. Таким образом, продольные волны в стержне представляют собой распространяющиеся вдоль его длины простые растяжения или сжатия. Но при простом растяжении отлична от нуля только компонента !т„тензора напряжений (ось х вдоль длины стержня), связанная с тензором деформации соотношением 146 1'Л. П1 УПРУГИЕ ВОЛНЫ зу, подставив в уравнениях равновесия (13.4) — р6 ' и — р6 д2и, д2и2 д1' д12 вместо Р, и Р: 1 д2и 1 д2и, 1 дги,„ 1 — 122 дх2 2(1Ч-и) ду2 2(1 — ГГ) дхду 1 дги„ 1 дгиу 1 02и 1 — П2 ду1 2(1+ и) дх2 2(1 — 12) дхду Е д12 рди, Е д12 (25.3) Рассмотрим плоскую волну, распространяю1цуюся вдоль оси:г, т. е. волну, в которой деформация зависит только от координа- ты х, но пе от у. Тогда уравнения (25.3) сильно упрощаются и принимают вид д2 — " = О.
(25.4) д12 2р(1+ ~) дхг Е аги. О а12 р(1 — ) ахг Мы получаем, таким образом, опять простые волновые уравнения. Стоящие в них коэффициенты различны для и, и и„. Скорость распространения волны с колебаниями, параллельными направлению распространения (и ), равна р(1 — 2) (25.5) (25.6) (Ь вЂ” двумерный оператор Лапласа). Скорость же волны (и ) с колебаниями, перпендикулярными направлению распространения (но по-прежнему лежащими в плоскости пластинки), равна скорости с1 поперечных волн в неограниченной среде. Мы видим, таким образом, что продольные волны в стержнях и пластинках облада,ют таким же характером, как и волны в неограниченной среде, отличаясь лишь величиной своей скорости, по-прежнему не зависящей от частоты.
Совсем иные соотношения получаются для волн изгиба в пластинках и стержнях, при которых колебания происходят в направлении, перпендикулярном к оси стержня или плоскости пластинки, т. е. сопровождаются их изгибом. Уравнения свободных колебаний пластинки можно написать непосредственно на основании уравнения равновесия (12.5). Для этого надо заменить в нем — Р произведением ускорения 1', па массу р6, приходящуюся на единицу площади поверхности пластинки. Таким образом, получаем 147 КОЛЕВАНИЯ СТЬРЖПЕЙ И ПЛАСТИНОК Рассмотрим монохроматическую упругую волну, соответственно чему будем искать решение уравнения (25.6) в виде ~ = сопв1 ЕП ' (25.7) (волновой вектор )с имеет, конечно, всего две компоненты Й.
и )су). Подстановка в (25.6) приводит к уравнению — роз + — й =О. 2 АУ 4 й Отсюда получаем следующее соотношение между частотой и волновым вектором волны: со = й2 — = й2 . (25.8) Таким образом, частота оказывается пропорциональной квадрату абсолютной величины волнового вектора, в то время как в волнах в неограниченной среде она пропорциональна первой ее степени. Зная закон дисперсии волн, можно найти скорость их распространения согласно формуле (23.4).
В данном случае находим (25.9) зр11 ) Таким образом, скорость распространения волн изгиба по пластинке пропорциональна волновому вектору, а пе постоянна, как для волн в неограниченной трехмерной среде ). Аналогичные результаты справедливы и для волн изгиба тонких стержней; колебания изгиба предполагакзтся малыми. Уравнения движения получим, заменив в уравнениях равновесия слабо изогнутого стержня (20.4) силы — Л;., — Кя произведениями ускорений Х, )' на массу рЯ единицы длины стержня (Я площадь его сечения). Таким образом, АХ = Е1э —, АУ = ЕХŠ—.
(25.10) Решение этих уравнений снова ищем в виде У=сопв$ е'~ ' ") Х = сопв1 ец ™) 1 ) Волновой вектор )с = 2я/Л, где Л -- длина волны. Поэтому, согласно (25.9), скорость Г должна была бы неограниченно возрастать при Л э О. Физическая бессмысленность этого результата связшга с том, что формула (25.9) в действительности неприменима к слишком коротким волнам. 148 гл. ш упгугив ВОлны и находим следующий закон дисперсии: ог~~) = —" й2, ог1") = — * й2 (25.11) для колебаний вдоль осей х и у.
Соответствующие скорости рас- пространения: , 1!2 Г~л = 2 ' ) )ч (25,12) 1, р8 Наконец, рассмотрим крутильные колебания стержня. Уравнение движения стержня, подвергаемого деформации кручения, получается приравниванием выражения Сдт)дв (см. 8 16, 18) производной по времени от момента импульса единицы длины стержня.
Этот момент равен р1д1р/дг, где слр,1дг угловая скорость вращения (р угол поворота данного сечения), а гг ~' ( 2+ 2) гг "- момент инерции сечения стержня относительно его центра инерции (при чисто крутильных колебаниях каждое сечение совершает вращательные колебания вокрут оси инерции стержня, остающейся неподвижной). Написав т = ду/дв, находим уравнение движения в виде С '=р1 (25.13) 1) г л1г ' Отсюда видно,что скорость распространения крутильпых колебаний вдоль стержня равна (25.14) Задачи 1. Определить частоты продольных собственных колебаний стержня (длины 1), один из концов которого закреплен, а другой - свободен. Решение. На закрепленном конце 1г = О) должно быть и, = О, а на свободном конце (г = 1) и„= Еи., = О, т. о. ди,/дг = О.
Ищем решение уравнения (25.1) в виде грхпг и, = Л соз Олс+ о) в1В1сг, Й = гг) — ) Е Из условия при г = 1 имеем сов И = О, откуда для собственных частот находим ы = ~ — ) — 12п+ 1) ~,р) 21 1гг -- целые числа). кОлкьлиия Откгркпей и пт!лс'гипОк 2. То же для стержня, оба конца которого свободны нли оба закреплены, Решонио.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
