VII.-Теория-упругости (1109685), страница 23
Текст из файла (страница 23)
е. при изгибе на него действует сила К = — о~о пропорциональная прогибу. Оггрегзеггить форму, принимаемую стержнем при действии на него сосредоточенной силы 7'. Решение. Выбираем начало координат в точке приложения силы 7. Везде, кроме точки я = О, имеет место уравнение Е1г," ' = — оф Решение должно удовлетворять условиям С = 0 при о = хос, а при я = 0 должны быть непрерывны ~', С'; разность же зна гений перерезывающей силы Р = — Е1С"о при - ч +О и л — г — 0 должна быть равна 1.
Такое решение есть е ' )сов73ф -> з1пгЗ~х(], 88зЕ1 1,0ЕТ( 8. Вывести уравнение равновесия для слабого изгиба тонкого стержня (кругового сечения), имеющего в своем естественном состоянии форму дуги окружности и изгибаемого в своей плоскости приложенными к наму радиальными силами. Р е ш е н и е, Выбирая начало полярных координат г, гго в пентре окружности, напишем уравнение деформированной линии стержня в виде я = а ~- + Д1о), где о — радиус дуги, а С вЂ” малые радиальные смещения при изгибе. Воспользовавшись известным выражением для радиуса кривизны в полярных координатах, найдем с точностью до членов первого порядка по С 1 гг — ггл -~- 2г" 1 С -~- Со Д (гг'+ ггв)з7г а аг (штрих означает дифференцирование по гг). Согласно (18.11) находим упругую энергию изгиба: то 2 о Е1 Г /1 1'1 Е1 Г Ест — — — ~ ~ — — -( ог1уг= — ~ ((-~-Сл)'г)уг l ~л (ггоо центральный угол дуги).
Уравнение равновесия получается из вариационного принципа, то бЕст — ) БСК,ог1уо = 0 о 1ʄ— отнесенная к единице длины внешняя радиальная сила) с дополнительным условием го о выражающим собой в рассматриваемом приближении условие неизменности общей длины периметра стержня, т. е. условие отсутствия общего его 124 РАВКОВксив сткРокньй и пллстинОк гл. и растяжения. Следуя методу Лагранжа, приравниваем нулю сумму ео Ро Ист — ) аК,о«14зо+ ао )'6С11зо = О, а о где о — постоянная.
Производя варьирование в подынтегральном выражении в Ест и интегрируя член с бе о дважды по частям, получим ~ — « -Р 2бо -Р Соо) — аК, 4- аа~ гГГС141д-Р ~(" 1 оо -~ — '« -~ Сл) 4~' — —.«' ~- ~"') 4~ оо аз Отсюда находим уравнение равновесия — «"' ->24 +Д) — К,+а=О, а" выражение для перерезывающей силы Е = — "«'+(л') а,о и выражение для изгибающего момента - =~.~«- Сл) ао (ср. конец з 20). Постоянная о определяется условием отсутствия общего растяжения стержня.
9. Определить деформацию кругового кольца, изгибаемого двумя сосредоточенными силами Г, действующими вдоль диаметра (рис. 18~. Р е ш е н и е. нтегрируя уравнение (Ц по всей длине кольца, найдем, что 2яоо = / К,иг1уо = 2~. ВезДе, кРоме точек гго = 0 и 1го = Я, имеем уравнение (Ц с К = 0: гоо 11 -Р 2к -~- С -Р = О. ;1Е1 Рис. 18 Искомая деформация кольца симметрична относительно диаметров АВ и СЕ, в силу чего в точках А, В, С> Р должно быть С' = О. Разность значений перерезывающей силы ори оо — 1 хО должна быть равна 1. Удовлетворяю1цее этим условиям решение уравнения равновесия есть 1 б = — ~ — + -оо сов уо — — соз го — — гйп оо, 0 < уо < ог.
Е1 'хх 4 8 4 В частности, точки А и В взаимно сближаются на величину «~О) -~ С~я)~ = — ~- - -(. 1а г'ог 2'1 Е1 1,4 х( 125 1 21 УСТОЙЧИВОСГЬ УНРУГИХ СИСТВМ й 21. Устойчивость упругих систем Поведение стержня, подверженного воздействию продольных сжимающих сил, представляет простейший пример важного явления упругой неустойчивости, впервые, обнаруженного Л. Эйлером. Г1ри отсутствии поперечных изгибающих внешних сил Кт, К, уравнения равновесия сжатого стержня (20.14) имеют очевидное решение Х = У = О, соответствующее стержню, остающемуся при воздействии продольной силы Т прямолинейным.
Это решение, однако, соответствует устойчивому равновесию стержня лишь до тех пор, пока сжимающая сила ~Т~ остается мсныпе некотоРого кРитического значениЯ Ткр, ПРи ~Т~ ( Ткр п1зилсолинейная форма стержня устойчива по отношению к произвольному малому возмущению. Другими словалси, если под взплянием какого-либо малого воздействия стержень подвергается слабому изгибу, то по прекращении этого воздействия стержень будет стремиться вернуться в исходное состояние.
Напротив, при ~Т~ ) Т р прямолинейная форма отвечает неустойчивому равновесию. Достаточно уже бесконечно малого воздействия (изгиба) для того, чтобы равновесие нарушилось, в результате чего произойдет сильный изгиб стержня. Ясно, что в этих условиях сжатый стержень вообще не сможет реально существовать в неизогнутом виде. Поведение стержня после потери им устойчивости должно описываться уравнениями сильного изгиба. Однако самое значение критической нагрузки Т,р может быть получено с помощью уравнений слабого изгиба. При ~Т~ = Т „прямолинейная форма стержня соответствует некоторому безразличному равновесию.
Это значит, что наряду с решением Х = У = 0 должны существовать еще и состояния слабого изгиба, которые тоже являются равновеснылси. Поэтому критическое значение Ткр можно определить как то значение ~Т~, при котором у уравнений Е12Хш'+ ~Т~Хл = О, Е11Улл+ )Т)Ул = 0 (21.1) появляется отличное от нуля решение. Само же это решение определяет характер деформации, которой подвергнется стержень непосредственно после потери им устойчивости.
В задачах этого параграфа приведен ряд типичных случаев потери устойчивости различными упругими системами. Задачи 1. Определить критическую сжимающую силу для стержня с шарнирно закрепленными концами. Решение. Поскольку нас интересует наименьшее значение ~Т~, при котором появляется отличное от нуля решение уравнений (21.1), то достаточно рассмотреть лишь то из этих двух уравнений, которое содержит мень- 126 Равновесна ствгжпвй и пластинок гл. и шее из 1н 1г; пусть 1г < 1ь Ищем решение уравнения Е1СХ -~ ~Т~Ха = О в виде Х = А-> Вг+ Ссйпйг-~-17совйг, С = Г~ТЦЕ1г)П .
Отличное от нуля решение, удовлетворяющее усэовиям Х = О, Ха = О пря г = О и г = 1, есть Х = Ссйп /сг, причем должно бып вГп И = О, Отсюда находим искомую критическую силу Ткр = к Е1гД . После потери устойчивости стержень примет форму, изображенную на рис. 19 а. 2. То же для стержня с заделанными концами Грис.
19 б). Решение. Ткр = 4я~ Е1г)1 . 3. То же для стержня, один из концов которого заделан, а другой свободен (рис. 19 в). Решение. Тгр = ССЕ1г/41 4. Определить критическую сжимающую силу для стержня Гкругового сечения) с шарнирно закрепленными концами, лежащего на упругом основании Гсм. задачу 7 э 20). Р е ш е н и е. Вместо уравнений Г21.1) здесь надо рассмотреть уравнопие ЕТхаа+~)Т~Х" -Г ох = О. Аналогичное исследование приводит к решению пт СЕТ /, о14 Х=Аэш — г, Ткр= ~п -> .
ясЕ1,' причем для п должно быть взято то из целых значений, для которого получается наименьшее значение Ткр При досгаточно болывих значениях о получается и > 1, т. е. после потери устойчивости стержень принимает форму с несколькими пучностями. б.
Стержень кругового сечения подвергнут кручению, и его концы заделаны. Определить критическую величину кручения, после которой прямолинейная форма стержня делается неустойчивой. Р е ш е н и е. Критическое значение угла кручения определяется появлением отличных от нуля решений уравнений слабого изгиба закрученного стержня Дтя вывода этих уравнений потста вляем выражение Г19.7): М = Е1 ~Ф вЂ” ~ + Стс Г сСС1 1 411 Гт — постоянный угол кручения)в урав- нение Г19.3); это даат ЕТ ~С ~+С, [РС) =О.
бгС) АС ,~г ~ ',СС Рис. 19 Дифференцируем это уравнение; поскольку изгиб слабый, то при дифференцировании первого и третьего членов можно считать С постоянным, равным воктору Сэ, направленному по оси стержня (оси т). Помня также, что ав'/Ж = О Гвнешние силы по длине 127 устОйчивОсть унгугих сиот'вм стержня отсутствуют), получаем 4'с! Е1 ~га — ~ 4- Ст — = О, ,дэ ~ щ2 или в компонентах: где к = Ст7ГЕ1). Введя в качестве неизвесгной функцию ( = Х 4-11', полу- чим уравнение Ищем решение, удовлетворяющее условиям С = О, ( = 0 при 2 = О, 1 в виде б = а Г1 -~- гкх — е' ) 4- 62, и находим в качестве условия совместности для получающихся для а и Ь уравнений соотношение 2-6 гк1 е' 2 — гк1 к1 к1 — = 18 —.
2 2 Наименыпий корень этого уравнения: к1 212 = 4, 49, так что 8, 98Е1 ткр = С1 О. То же для стержня с шарнирно закрепленными концачи. Решение. Здесь получается к б = а (1 — е' ' — — 2 ) + 62, 2 причем к определяется из е'1 = 1, т. е, к1 = 21г.
Поэтому искомый крити- ческий угол кручения 2ггЕ1 ткр = С1 7. Определить предел устойчивости вертикального стержня, находяще- гося под действием собственного веса; нижний конец стержня заделан. Р е ш е н и е. Если продольное натяжение Ег = Т меняется вдоль длины 14Е. стержня, то в первом члене в (20.1) ' ~ 0 и вместо уравнений Г20.14) ой получается 12ЕХвгг — (ТХ~) — К = О, 1» ЕИ"" — (Т1')' — Кг — — О. В даннолг случае попоречные изгибающие силы отсутствугот па всей длине стержня, а Т = — д(1 — 2), где 9 - - вес единицы длины стержня, а - отсчи- тывается от его нижнего конца. Предполагая, что 12 ( 11, рассматриваем уравнение и = гГ ~ )аЛ гр(0) + 611~2 Щ, 12ЕХ'" = ТХ' = — 9(1 — я)Х' (при 2 = 1 автоматически имеем Х"' = 0).
Общий интеграл этого уравнения для функции и = Х' есть 128 Рявновхсиь с'гвгзкпкй и плкстииок гл. и где З(ЕХ,~ ) ) Граничные условия Х~ = О при х = О и Хл = О при с = 1 дают для функции и!О) условия 2 13 ="=-.-( Л,) в'О 'з = О при О = О. и=О при Для того чтобы удовлетворить этим условиям, надо положить 6 = О, при- чем,1 !7! !г1е) = О. Наименьший корень этого уравнения г1о = 1,87, откуда находим критическую „.дину стержня 1кр = 1, 98 ( — ) 8.
Стержень обладает вытянутой формой поперечного сечения, так что Хз » 1!. Один конец стержня заделан, а к свободному концу приложена сила Х, изгибающая его в главной плоскости яз 1в которой жесткость на изгиб есть ЕХ!). Определить критическое значение Хкр, после которого плоская форма изгиба становится неустойчивой и стержень отгибается в боковую сторону 1в плоскости уя), одновременно испытывая кручение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
