VII.-Теория-упругости (1109685), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Из формул (17.4) видно, что точк1л, расположенные в поперечном сечении х = сопво = хо, после изгиба заполняют поверхность х = хо + и, = во 1+— В/ Мы видим, что в рассматриваемом приближении сечения остаются при изгибе плоскими, лишь поворачиваясь на некоторый 1 17 изгив ствгжпвй + и ~ [ 2 + ( у ) Свободная энергия единицы объема стержня: в ги г о,-и,. Ев 2 2 2УУ Интегрируя по всему поперечному сечению стержня, имеем Е У 2о,, (17.5) Это есть свободная энергия единицы длины изогнутого стержня.
Радиус кривизны Л определен здесь как х~ радиус кривизны нейтральной поверхности. ь Но в силу тонкости стержня здесь с той же точностью Л можно считать просто радиусом кривизны самого изогнутого стержня, рассматриваемого как не имеющая толщи- У ны линия (об этой линии часто говорят как об упругой линии). В выражении (17.5) удобно ввести понятие момента инерции площади поперечноРис.
14 го сечения стержня. Именно, определим момент инерции се гения относительно проходящей через ого плоскость оси у как интеграл: 1в — — ) х ф, (17.б) т. е. аналогично обычному понятию момента инерции с той толь- ко разницей, что вместо элемента массы стоит просто элемент по- верхности ф. Тогда свободная энергия единицы длины стержня запишется в виде 7ю (17.7) Определим еще момент сил внутренних напряжений., дей- ствующих в данном сечении стержня (этот момент называют из- гибающим), К элементу ф' поверхности сечения приложена сила угол относительно своего первоначального положения.
Форма же сечения меняется: так при изгибе стержня прямоугольного сечения (со сторонами а и Ь) боковые стороны контура сечения у = ~Ь/2 после изгиба занимают положения у=~ — +и =~ — ~1 — — ), Ь Ь/ пх~ 2 2 Я т. е. становятся наклонными, оставаясь прямыми. Верхняя же и нижняя стороны т = ~а/2 изгибаются в параболические кривые (рис. 14): 102 РАВПОВксиь сткРжпкй и плАстинОк гл. »! с»„»17' = — Ес»1, направленная вдоль оси г. Ео момент относий тельно оси у есть хс»„ф. Поэтому полный момент сил относительно этой оси есть к»с~ 4 (17.11) й 18.
Энергия деформированного стержня В предыдущем параграфе мы рассматривали только неболь»ную область вдоль длины изогнутого стержня. Переходя теперь к исследованию деформации во всем стержне, необходимо начать с выбора подходящего способа описания такой деформации. Существенно, что при сильном ) изгибе стержня в нем одновременно возникает, вообще говоря, также и некоторая деформация кручения, так что результирующая деформация есть комбинация чистого изгиба и кручения. ') Напоыиим, что под сильной мы понимаем здось такую деформапию, при которой вектор и ие мал, теизор же деформации по-прежиему является малым.
М, = — ) т~»11 = (17. 8) Таким образом, кривизна 1»»Л упругой линии пропорциональна действующему в данном сечении изгибающему моменту. Величина 1 зависит от того, как направлена ось 9 в плоскости сечения. Удобно, как это принято в механике, выражать 1и через два так называемых главных момента инерции. Если й есть угол между осью у и одной из главных осей инерции сечения стержня, то, как известно, 1и — — 1» сои 0 + 12 иш и', (17. 9) где 1», 12 главные моменты инерции. Плоскости, проходящие через ось я и главные оси инерции сечения стержня, называют главными плоскостями изгиба.
Если, например, сечение стержня является прямоугольником »со сторонами а и б), то его центр инерции находится в центре прямоугольника, а главные оси инерции параллельны его сторонал». Главные моменты инерц»ли равны 1»= —, 12= —. (17.10) 12 12 При круговом сечении 1с радиусом 17) центр инерции находится в центре круга, а направление главных осей инерции произвольно. Момент инерц»ли вокруг любой оси, проходящей в плоскости сечения через его центр, равен ЭНЕРГИЯ ДВФОРМИРОВАННОГО СТЕР1КНЯ Й= — "', гд (18.1) определяющий «скорость» поворота осей координат вдоль длины стержня. Если деформация является чистым кручением, то поворот последовательных систем координат происходит только вокруг оси стержня, т.
е. вокруг осей ~. В этом случае, следовательно, вектор Й направлен вдоль оси стержня и представляет собой не что иное, как угол кручения т, которым мы пользовались в З 16. Соответственно этому и в общем случае произвольной деформации компоненту Й~ вектора Й можно назвать углом кручения. При чистом же изгибе стержня в одной плоскости вектор Й не имеет компоненты Й~, .т. е, лежит в каждой точке целиком в плоскости ~11. Если при этом выбрать плоскость, в которой происходит изгиб, в качестве плоскости ~~1 то поворот происходит в каждой точке вокруг оси и, т. е.
Й параллелен оси гр Введем едини иный вектор С, направ,ленный по касательной к стержню, рассматриваемому здесь просто как упругая линия. Производная сгь,11Ж называется вектором кривизны линии; сто абсолютная величина равна 11В, где В радиус кривизны 1), а его направление называется направлением главной нормали ) Напомним, что всякая кривая в пространстве характери'зуется в каждой точке своими так называемыми кривизной и кручением. Это кручение (нам не придется пользоваться им) не следует смешивать с тем, что мы называем здесь дефорл1ацией кручения, прсдставля1ощей собой закручивание стержня вокруг его оси.
Для описания деформации удобно поступить следующим образом. Разделим весь стержень на ряд бесконечно малых элементов, каждый из которых вырезается из стержня двумя бесконечно близкими поперечными сечениями. В каждом таком элементе введем свою систему координат (, ц, 1'„направления осей выберем таким образом, чтобы в недеформированном стержне все эти системы были параллельны друг другу, причем все оси 1', направлены параллельно оси стержня. При изгибании стержня в каждом элементе система координат поворачивается, причем в различных элементах, вообще говоря, различным образом.
Каждые две бесконечно близкие системы оказыва1отся при этом повернутыми друг относительно друга на некоторый бесконечно малый угол. Пусть д1р -- вектор угла относительного поворота двух систем, находящихся на расстоянии 111 вдоль длины стержня (как известно, бесконечно малый угол поворота можно рассматривать как вектор, направленный вдоль оси поворота; его составляющие представляют собою углы поворота вокруг каждой из трех осей координат).
Для описания деформации мы введем вектор 104 РАВЛОВисиь с'ГВР1кпвй и илАстииок ГЛ И кривой. Изменение вектора при бесконечно малом повороте равно векторному произведению вектора угла поворота на сам рассматриваемый вектор. Поэтому для разности векторов С в двух бесконечно близких точках упругой линии можно написать: 1С = ( Ьр С1, или, разделив на й — = (ЙС1.
(18.2) Умножив это равенство с обеих сторон векторно на С, получаем Й = ~С вЂ” ~ + С(СЙ). (18.3) Направление вектора касательной в каждой точке совпадает с направлением оси 1', в этой же точке. Поэтому (СЙ) = й. Введя единичный вектор и главнолл нормаллл так, что ГЛС/111 = и/Ли можно, следовательно, написать: Й = — [Сп1 + Сй. (18.4) Л Первый член справа представляет собой вектор с двумя компонентами йР, й„. Единичный вектор (Сп] называется, как известно, единичным вектором бипормали. Таким образом, компоненты ЙР, йл образуют вектор, направленный по бинормвли к стержню и по абсолютной величине равный его кривизне 1/Л.
Введя, таким образом, вектор Й, характеризу.ющий деформацию, и выяснив его свойства, мы можем вывести выражение для упругой свободной энергии изогнутого стержня. Упругая энергия (отнесенная к единице длины стержня) является квадратичной функцией деформации, т. е. в данном юлу чае квадратичной функцией компонент вектора Й. Легко видеть, что в этой квадратичной форме должны отсутствовать члены, пропорциональные й~йС или йийС. Действительно, поскольку стержень однороден вдоль всей своей длины, то все величины, в частности и энергия, не должны меняться при изменении направления положительного отсчета координаты с, т.
е. при замене 1, на — 1',; указанные жс произведения при такой замене переменили бы свой знак. Что касается члена с квадратом й -, то надо помпитли что при 2 йе = йл — — 0 мы имеем дело с чистым кручением, и тогда выражение для энергии должно совпасть с выражением, полученным в 2 16. Таким образом, соответствующий член в свободной энергии имеет вид -Сй'с 1 2 2 Наконец, члены, квадратичные по ЙС, й„, можно написатти исходя из выражения (17.7) для энергии слабо изогнутого ЭПКРГИЯ ДКФОР88ИРОВАННОГО СТЕРЖНЯ 105 небольпюго участка стержня. Предположим, что стержень подвергается лишь слабому изгибу.
Плоскость (8, выберем в плоскости изгиба так, что компонента ЙР исчезает; кручение также отсутствует при слабом изгибе. Выражение для энергии должно в этом случае совпадать с (17.7): — '81 Но мы видели, что 1/Л~ является как раз квадратом плоского вектора (й~, й ). Поэтому энергия должна иметь вид ~1 йв 2 При произвольном выборе осей (8 ц это выражение напишется, как известно из механики, в виде йг+21 й й +1 йз) где 1„„, 1ВР, 188 — ком8тоненты тензора инерции сечения стержня. Удобно выбрать оси (, ц так, чтобы они совпали с главными осями инерции сечения стержня. Тогда мы будем иметь просто (11Й~ + 12ЙУ~) 8 где 1м 12 главные моменты инерции сечения.
Поскольку коэффициенты при й и й„постоянные, то полученноо выражение 2 2 должно иметь место и при сильном изгибе. Наконец, интегрируя по всей длине стержня, получим окончательно слодуюшее выражение для свободной упругой энергии изогнутого стержня; Р,,=) ~ ' В88 ' В',;- — В8)88. (88.8) Далее, выразим через Й момент сил, действующих на сечение стержня. Это легко сделать, используя опять результаты, полученные ранее для чистого кручения и слабого чистого изгиба. При чистом кручении момент сил относительно оси стержня равен Ст. Поэтому заключаем, что в общем случае момент МГ относительно оси 8', должон быть равен МГ = СЙС.
Далес, при слабом изгибе в плоскости (8', момент относительно оси ц есть Е1з/В. Но при таком изгибе вектор Й направлен по оси и, так что 188Л есть просто его абсолютная величина и Е1г(Л. = Е1зй. Поэтому заключаем, что в общем случае должно быть МР = Е11ЙР8 Мя — — Е1зйя (оси (, ц выбраны по главным осям инерции сечения). Таким образом, компоненты вектора М момента сил равны МР = Е1~ЙР8 М = Е1гйш МГ = СЙГ. (18.6) 106 РАВИОВЯСИЬ СТИР1КВВЙ И ИЛАСТИИОК ГЛ. И Упругая энергия (18.5), выраженная через момент сил, имеет вид Важным случаем изгиба стержней является ю1абый изгиб, при котором на всем протяжении стержня отклонение его от первоначального положения мало по сравнению с длиной стержня. В этом случае кручение можно считать отсутствующим, так что можно положить йс = 0 и из (18.4) имеем просто й = — ~Сп) = ~С вЂ” ~ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
