VII.-Теория-упругости (1109685), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Однако если действующие на оболочку силы достаточно велики, то в оболочке могут возникнуть вьшучивания, существенно меняющие ее форму. Определение деформации в зависимости от приложенных нагрузок требует в этом своеобразном случае специального исследования ). Пусть выпуклая оболочка (с краями, закрепленными так, чтобы гарантировать ее геометрическую несгибаемость) находится под действием большой сосредоточенной силы Г, направленной по внутренней нормали к поверхности. Для простоты будем считать, что оболочка представляет собой часть сферы радиуса Л.
Область вьшучивания будет шаровым сегментом, близким к зеркальному изображению его первоначальной формы (на рис. 9 изображен меридиональный разрез оболочки). Задача состоит в определении размеров выпучи- Н г — вапия в зависимости от величины силы. и 11 Основная часть упругой энергии сконцентрирована в узкой полосе вблизи края области выпучивания! где изгиб ,'и оболочки сравнительно велик (будем называть ее полосой изгиба и обозначим ее ширину через 11). Оценим эту энергию, причем будем предполагать размеры (радиус) области выпучивания г « й; тогда угол гх « 1 (см. рис. 9). При этом г = Рис. 9 = ЛЕ1псг Лсг, а глубина прогиба Н = = 2тт(1 — сове!) Ястз. Обозначим через !', смешение точек оболочки в полосе изгиба.
Точно так же, как это было сделано выше, находим, что энергия изгиба вдоль меридиана и растяжения вдаль параллели ), отнесенные к 1 см ') Излагаемые ниже результаты принадлежат А.П. Поаорелоеу П960). Более точный анализ данного вопроса, а также другие аналогичные задачи, можно найти в его книге «Теория оболочек прн закритических деформациях», — Мс Наука, 1966.
з) На изгибе по меридиану кривизна оболочки в первом приближении не сказывается, так что он происходит, как и при цилиндрическом изгибе плоской пластинки, без общего растяжения по меридиану. 87 ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК 62Е2 Н 224 Р 2 (15.7) ' ) Более точное вычисление дает для постоянного ковффнпиента значение сонес = 1,2П вЂ” нз) поверхности, по порядку величины равны соответственно Е14'Сз Еьсз и 424 йз Порядок величины смещения 2, определяется в данном случае геометрически: направление меридиана меняется на ширине сз на угол сг, и потому ~ с242 гс124Л.
Умножив также на площадь полосы изгиба ( гд), гголучим энергии Еазгз зт6,12„2 и й244 йз Из условия минимальности их суммы снова найдем 44 (6Л) 2 а полная упругая энергия при этом Егз(ЦЛ)з7е или, иначе '), сопв$ . Е6~2~ —. (15.4) Л В произведенном выводе подразумевалось, что 44 « г; поэтому формула (15.4) справедлива при условии — « 1. (15.5) При образовании выпучивания внешние слои шарового сегмента становятся внутренними и соответственно сжимаются, а внутренние внешними и растягиваются.
Относительное растяжение (или сжатие) Ь/Л, так что связанная с ним полная энергия в области выпучивания Е(6,1Л)26гз. При условии (15.5) она действительно мала по сравнению с энергией в полосе изгиба (15.4). Искомая зависимость между глубиной прогиба Н и приложенной силой 1 получится приравнивапием 7 к производной от энергии (15.4) по Н. Таким образом, найдем Н 72Д2 (15.6) ЕЧР Обратим внимание на нелинейный характер этой зависимости.
Наконец, пусть деформация (выпучивание) оболочки происходит под действием равномерного внешнего давления р. Работа внешних сил в таком случае равна рЬ1', где ЬГ Нг Н Л— 2 2 изменение ограничиваемого оболочкой объема при выпучивании. Приравняв нулю производную по Н от полной свободной энергии (т. е. упрутой энергии (15.4) за вычетом указанной работы), получим 88 Рлвновкс!ив стерн(нкй и пвглсвти!!Ок !'л и Обратный характер зависимости (увеличение Н при уменыпении р) указывает на неустойчивость выпученного состояния в этом случае.
Определя!.мое формулой (15.7) значение Н отвечает неустойчивому равновесию при заданном рс выпучивания с большими значениями Н самопроизвольно растут, а с меньшими уменьшаются (легко проверить! что (15.7) отвечает максимуму, а не минимуму полной свободной энергии).
Существует такое критическое значение внешней нагрузки р = ркр, за которым самопроизвольно возрастают уже малые изменения формы оболочки. Его можно оценить как то значение р, при котором формула (15.7) дает Н 6; Еле Ркр (15 8) Мы ограничимся в теории оболочек изложенными краткими сведениями и некоторыми простыми примерами, приведенными в задачах к этому параграфу. й Л вЂ” '( -ь' )=Р' Это уравнение в точности аналогично известному уравнению Лапласа, определяющему разность давлений двух сред, связанную с действующим в поверхности их раздела поверхностным напряжением. Пусть, далее, Я.
(В) есть направленная вдоль полярной оси 1оси с) равнодействующая всех внешних сил, действующих на часть оболочки, расположенную над парю!лельным кругом В = соней Эта сила дш!жна компенсироваться проекцией на ось х напряжений 2кВэ1пВбпвв, действующих на сечение 2хЛбе1п В оболочки по указанной окружносги. Отсюда 2хК1! вш! Вовв = Я-(В).
<2) Уравнениями (1) и 12) определяется распределение напряжений, после чего тензор деформации находится по формулам 1 1 ивв = — !пвв — !пррр), ирр = — (прр — опвв), ивр = О., (3) Е Е а затем вектор смещения с помощью уравнений ивв = — ( — -!- и,.), 1 ир„= — '!ив с!к В -ь и,).
Л Задачи 1. Вывести уравнения равновесия для сферической оболочки (рав!иуса 21), деформируемой симметрично относительно оси, проходящей через ее центр. Р е ш е н и е. В качестве двумерных координат на поверхности обшючки пользуемся углами В, зв сферической системы координат с начшюы в центре сферы и полярной осью по оси симметрии деформировашюй оболочки. Пусть Р„- отнесенная к единице поверхности оболочки радиальная внешняя сила. Эта сила должна компенсироваться радиальной равнодействующей сил внутренних напряжений, действующих на элемент оболочки в тангепциальных к нему направлениях.
Соответствук)щее условие гласит: ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК 2. Определить деформапию под влиянием собственного веса полусферической оболочки, расположенной куполом вверх; края купола свободно перемещаются по горизонтальной опоре (рис. 10). Решение. Имеем Р, = — ряЬсоБВ, л,2л = — 2ялл(1 — совд)ряЬ Я„- есть полный вос оболочки над окружностью д = совке). Из (1) и (2) находим овв = —, и„= — Йрб ~ — сов д~ .
1 Ч- сов д 1 Ф сов В По формулам (3) вычисляем ив и ивв, поело чего из уравнений (4) вычисляем ив и и, (постоянная, возникающая при интегрировании первого из этих уравнений, определяется так, чтобы при В = т)2 было ив = О). В результате пОлучим корд~1 + и) ~ с в 0 ив =, ~ Ч-1п11-~соед)1 Б1пд, Е 1щсоед В~р0~1 Ф и) ~ 2 ч- и и„= 1 — — соа  — сел В 1п (1 т соа 0)~ . Е 1+и Значение и, при В = х/2 дает горизонгвльное смещение опоры. Рис, 10 Рис.
11 3. Определить деформацию полусферической оболочки с закрепленными краями, расположенной куполом вниз и наполненной жидклютью (рис. 1Ц; весом самой оболочки можно пренебречь по сравнению с весом гкидкости. Решение. Имеем Р =ройЕсозд, Рв =0 в алло, = 2х12 ~ Р, соаВ БплВМВ = (1 — сое 0) 2 Г . 2хйвроа з 3 о (ро — плотность жидкости). Далее, по формулам (1) и (2) находим 21 род 1 — совл д К роя ( — 1+ 3 сов 0 — 2совз 0) пвв = ш„, 3Ь Б1во 0 3Ь 20 Оо РЛВНОВВСИВ С'ГЕРЖНВЙ И ПЛАСТИНОК гл. и Для смещений получается В' роВ(1 ~- гг) . 1 соя В ив = — сйп В ~ 4'- 1и 11 + соя В) ~, ЗЕЬ 1+ соя В В род~1+а) ) ЗсояВ1 и, = ( соя В 1п 11 4- соя В) — 1 -Р ЗЕЬ 1 + гг При В = хгг2 и„остается конечным, а не обращается в нуль, как должно было быть.
Это значит, что в действительности вблизи линии закрепления оболочки происходит настолько сильный ее изгиб, что полученное решение становится неприменимым. 4. Оболочка в виде шарового согмента опираотся своими свободными краями на неподвижную опору 1рис. 12). Определить величину- ее прогиба под действием собственного веса Я. Р е ш е н и е. Основная деформация происходит вблизи краев, отгибающихся в сторону 4штриховая линия на рис. 12). При этом смещение ив мало по сравнению с радиальным смещением и,: — (. Поскольку ( быстро убывает по Г мере удаления от линии опоры, то возникающуго Яа 'В деформацию можно рассматривать как дефор- '~Р' мацию плоской длинной 1длины 2яЛяп1о) пластинки. Эта деформация складывается из изгиба и растяжения пластинки.
Относительное Рис. 12 удлинение пластинки в каждой ее точке равно (ггЛ 1 — радиус оболочки), и потому энергия растяжения 1на единицу объема) есть Е(,42ЛЯ. Вводя в качестве независимой переменной расстояние х от линии опоры, имеем для полной энергии растяжения ЬЕ Егпл —— 2ХЛсйпо — ) ( 41Х. 2Лг Энергия же изгиба есть Ь'Е Г ггВэ('У Егпл = 211Вя!п о' / ~ — ) ггх. 2411 — ов) ./ 4тг) Варьируя сумму Епл = Ггпл -Р Егпл по (, получим уравнение лг( 12~1 г) дх4 Ь'ЛЯ При х — 1 оо ( должно стремиться к нулю, а при х = О должны выполняться граничные условия равенства пулю момента сил, (гг = О, н условие равенства развивающейся при изгибе силы нормальной к поверхности оболочки компоненте силы тяжести: ЬВЕ 2хЛяшп ( = Осояп.
1211 — аг) Удовлетворяющее этим условиям решение есть ( = Ае 'соя нх, где гг= ~, А= З(1 — аэ)1 Осси и ) ЗВг(1 — а~) ~ Ь Л ~ ' ЕЬ ~ Зяйз Величина прогиба оболочки есть 11 = (10) соя о = А соя 0. 91 кгмчвинв ствгжнвй 8 16. Кручение стержней Перейдем теперь к изучению деформаций тонких стержней. Этот случай отличается от всех ранее рассматривавшихся тем, что вектор сме|цеиия и может быть большим даже при слабой деформации, т. е. при малом тепзоре и,ь '). Так, при слабом сгибаиии тонкого длинного стержня его концы могут значительно переместиться в пространстве, даже если относительные смещения соседних точек в стержне маны. Существует два типа деформаций стержней, могущих сопровождаться большим смещением отдельных частей стержня.
Одним из яих является изгиб стержня, а вторым — его кручение. С рассмотрения этого второго случая мы и начнем. Деформация кручения заключается в том, что в стержне, остаюгцемся при этом прямым, каждое поперечное сечение поворачивается относительно ниже лежащих па некоторый угол. Если стержень длинный, то при слабом кручении достаточно удаленные друг от друга сечения могут повернуться иа большой угол. Образующие боковой поверхности стержня, параллельные сто оси, приобретают при кручении винтовую форму. Рассмотрим тонкий прямой стержень произвольного сечения. Выберем систему координат с осью г вдоль оси стержня и началом координат где-нибудь внутри него. Введем угол кручения т как утоп поворота, отнесенный к единице длины стержня.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
