VII.-Теория-упругости (1109685), страница 15
Текст из файла (страница 15)
е. функцию ~(х. у)) и возникающее в результате изгиба растяжение. Уравнения (14.4) и (14.5) могут быть несколько упрощены посредством введения в них функции Х, связанной с п„у соотношениями (13.7). После подстановки (13.7) в уравнение (14.4) оно приводится к виду Т1~2~ 1)д хд 4+ д'хд'~ 2 д'х д'~ ') Р (145) Хду> дх'" дх> ду> дхду дхду/ Что касается уравнений (14.5), то выражениями (13.7) они удовлетворяются автоматически. Поэтому необходимо вывести еще одно уравнение, которое может быть получено исключением и„ из соотношений (13.7) и (13.2). Для этого поступаем следующим образом.
Выражаем и у через а у. Из (13.2) получаем 1 1 1 -ь о ихх = — (с>хх — о пуу), иуу — — — (с уу — похх), иху —— с ху. Е Е Е Подставляя сюда для и,„п выра>кение (14.Ц, а для с у — выражения (13.7), находим равенства ди дхы д4 д~ 2(1 -Ь и) д>Х д ду д ду Е дхду Применим к первому равенству операцию д2/дуз, ко второму д2/дх2, к третьему д2/дхду, после чего сложим первое равенство со вторым и вычтем третье.
Тогда члены, содержащие и и иу, взаимно сокращаются, и мы получаем уравнение 83 сильный изгив пластинок Уравнения (14.6) и (14.7) представляют собой полную систему уравнений сильного изгиба тонких пластинок (А. Рорр1, 1907). Эти уравнения весьма сложны и не могут быть решены точно даже в простейших случаях. Обращаем внимание на то, что опи нелинейны. Упомянем коротко об особом случае деформаций тонких пластинок .—.
о так называемых мембранах. Меллбранод называют тонкую пластинку, подвергнутую сильному растяжению приложенными к ее краям внешними растягивающими силами. В таком случае можно пренебречь дополнительными продольными натяжениями, возникающими при изгибе пластинки, и соответственно этому можно считать, что компоненты тензора сг й равны просто постоянным внешним растягивающим напряжениям. В уравнении (14.4) можно теперь пренебречь первым членом по сравнению со вторым, и мы получаем уравнение равновесия Ьсг 1л + Р = О (14.8) Оя. аия с граничным условием ~ = О на контуре края мембраны. Это уравнение линейно.
В особенности прост случай изотропного растяжения, когда натяжение мембраны одинаково по всем направлениям. Пусть Т есть абсолютная величина приложенной к краю п.ластипки растягивающей силы, отнесенной к единице длины этого края. Тогда 6лт ч = Тб л, и мы получаем уравнение равновесия в виде ТЬл',+Р=О. (14.9) Задачи 1. Определить зависимость величины прогиба пластинки от действующей на нее силы при изгибе настолько сильном, что С » 6.
Решение. Оценка членов уравнения 114.7) показывает, что у ЕС'. При С » й первый член в (14.6) мал по сравнению со вторым, который имеет порядок величины ЬСХ/1~ Е1лС~)1~ Π— размеры пластинки). Сравнивая с внешпл.й силой Р, получаем Отсюда, в частности, видно, что С пропорционально кубическому корню из силы. 2. Определить деформацию круглой мембраны Лрадиуса Рь), расположенной горизонтально в поле тяжести. Решение. Имеем Р=рбй; в полярных координатах 1149) принимает вид Решение, конечное при г = О и удовлетворяющее условию ( = О при г = Л., есть Рай(йв 4Т РАВНОВКСИК СТКРИТНКЙ И ПЛАСТИНОК 1'Л Н й 15.
Деформации оболочек Говоря до сих пор о деформациях тонких пластинок, мы всегда подразумевали, что в недеформированном состоянии пластинка является плоской. Между тем деформации пластинок, обладающих в своем естественном состоянии искривленной формой (такие пластинки называют оболочками), обнаруживают особенности, принципиально отличающие их от деформаций плоских пластинок.
Растяжение, сопровождающее изгиб плоской пластинк1л, является эффектом второго порядка малости по сравпению с величиной самого прогиба. Это проявляется, например, в том, что тензор деформации (14.1), определяющий такое растяжение, квадратичен по 1',. Совершеппо иное положение имеет место при деформациях оболочек: здесь растяжение есть эффект первого порядка и 1ютому играет существенную роль даже при слабом изгибе. Проще всего это свойство видно у.ке. из самого простого примера равномерного растяжения сферической оболочки. Если все ее точки подвергаются одинаковому радиальному смещению 1л то увеличение длипы экватора равно 2я1,'. Относительное растяжение 2я~/(21РЛ) = (/Л, а потому и тензор деформации пропорционален первой степени с. Этот эффект стремится к нулю при Л вЂ” ~ со, т. е.
при стремлении кривизны к пул1о, и является, такил1 образом, специфическим свойством, связанным с кривизной оболочки. Пусть Л есть порядок величины радиуса кривизны оболочки, совпадающей обычно с порядком величины ее размеров. Тогда тензор деформации растяжения, сопровождающего изгиб, порядка 1„1'Л, соответствующий тензор напряжений ЕГ(Л, а энергия деформации (отнесенная к единице площади), согласно (14.2), Е6(~/Л)к. Энергия же чистого изгиба по-прежнему Е6' 1, 11Л .
Мы видим, что отношение первой ко второй (Л/6)к, т. е. очень велико. Подчеркнем, что это имеет место независимо от соотношения между величиной 1, изгиба и толщиной 6, в то время как при изгибе плоских пластинок растяжение начинало играть роль только при 1" ,6. В некоторых случаях может существовать особый тип изгиба оболочек, при котором никакого растяжения не происходит вовсе. Так, например, цилиндрическая оболочка (с открытыми обоил1и концами цилиндра) может быть деформирована без растяжения, если все образующие цилиндра остаются при изгибе параллельными друг другу (т.
е. оболочка как бы вдавливается по какой-нибудь из образующих). Такие деформации без растяжения геометрически возможны, если оболочка имеет свободные края (т. е. но замкнута) или же если оболочка замкнута, но ее кривизна в разных местах имеет разный знак. Например, за- дкФОРмлции оволочьк 85 мкнутая сферическая оболочка не может быть изогнута без растяжения, если же в ней прорезано отверстие (причем его края не закреплены), то такие деформации становятся возможными. Поскольку энергия чистого изгиба мала по сравнению с энергией растяжения., то ясно, что если данная оболочка допускает деформации без растяжения, то именно такие деформации и будут, вообще говоря, реально осуществляться при воздействии на нее произвольных внешних сил. Требованлле отсутствия растяжения при изгибе накладывает существенные ограничения на возможные смещения и„.
Эти условия являются чисто геометрическими и могут быть выражены в виде дифференциальных уравнений, которые должны содержаться в полной системе у.равнений равновесия для таких деформаций. Мы не будем здесь останавливаться на этом вопросе. Если же деформация оболочки сопровождается растяжением, то напряжения растяжения, вообще говоря, .велики по сравнению с напряжениями изгиба и последнилли можно пренебречь (основанную на таком пренебрежении теорию оболочек называют мембранной). Энергия растяжения оболочки может быть вычишлена как интеграл ~пл — ~ ноааая Ф: (15.1) 2 взятый по ее поверхности. Здесь и,„д есть двумерный (а, = 1, 2) тензор деформации в соответствующих криволинейных координатах, а тензор напряжений а в связан с и д формулами (13.2), которые могут быть написаны в двумерных тснзорных обозначениях как а„э =, ((1 — а)и„Э + ад„ди,,).
(15.2) Особого рассмотрения требует случай, когда оболочка подвержена воздействию сосредоточенных сил в поперечном к оболочке направлении. Такими силами могут являться, в частности, силы реакции, действующие на оболочку со стороны опор в точках (или линиях) закрепления. Сосредоточенные силы производят изгиб оболочки в неболыпой области вокруг точек их приложения. Пусть порядок величины этой области для приложенной в точке силы 1 есть 4 (так что ее площадь п2).
Поскольку изгиб ~ сильно меняется на протяжении расстояний й, то энергия изгиба (на единицу площади) — порядка величины Ь62~2/п14, а полная энергия изгиба (на площади сР) Е6з2/д2. Тензор же деформации растяжения по-прежнему Ц~В, и полная энергия вызванного сосредоточенной силой растяжения - Е6©Л) 1 . Поскольку энергия изгиба растет, а энергия растяжения падает с уменьшением д, то ясно, что при определении деформации вбли- РЛВНОВЕС!ИЕ СТЕРН(НЕЙ И ПЛАСТИНОК !'л н зи места приложения сосредоточенных сил должны быть учтены обе эти энергии. Величина области изгиба д определится по порядку величины из условия минимума суммы этих энергий, откуда (15.3) При этом энергия Е11~!',~)Я. Варьируя ее по 1, и приравнивая работе силы у, найдем величину прогиба 1, уЦЕ)1Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
