VII.-Теория-упругости (1109685), страница 10
Текст из файла (страница 10)
61) п,ь = =Л,ы и! дГ 110.3) ди!. г ~ ™ ') В литературе используются также обозначения, в которых компоненты тензора 4-го ранга записываются как Л з с двумя индексами, пробегающими значения 1, 2, 3, 4, о, 6, которым отвечают соответственно пары индексов ятг уу, ххг уз, х, ту. ОСПОВИЫВ УРЛВПВИИЯ Т'ЕОРИИ УПРУГОСТИ 12! ! Наличие той или иной симметрии кристалла приводит к появлению зависимостей между различными компонентами тензора Л,ыип так что число его независимых компонент оказывается меньшим, чем 21. Рассмотрим эти соотношения для всех возможных типов макроскопической симметрии кристаллов, т. е. для всех кристаллических классов, распределив их по соответствующим кристаллическим системам (см.
ЛГ, Э 130, 131). 1. Триклинная система. Триклинная симметрия (классы С! и С,) не накладывает никаких ограничений на компоненты тензора Л;ы!В, а выбор системы координат с точки зрения симметрии вполне произволен. При этом отличны от нуля и независимы все 21 модуль упругости. Произвольность выбора системы координат позволяет, однако, наложить на компоненты тензора Л,ы дополнительные условия.
Поскольку ориентация системы координат относительно тела определяется тремя величинами (утлами поворота), то таких условий может быть три; можно, например, три из компонент считать равными нулю. Тогда независимыми величинами, характеризующими упругие свойства кристалла, будут 18 отличных от нуля модулей и 3 угла, определяющих ориентацию осей в кристалле. 2. Моноклинная система. Рассмотрим класс С,; выбираем систему координат с плоскостью лу, совпадающей с плоскостью симметрии. При отражении в этой плоскости координаты подвергаются преобразованию: л — > л, у — > у, я -> — я. Компоненты тензора преобразуются как произведения соответствующих координат. Поэтому ясно, что при указанном преобразовании все компоненты Л!у!~, среди индексов которых индекс з содейжнтся нечетное (1 или 3) число раз, переменят свой знак, а остальные компоненты останутся неизменными.
С другой стороны, в силу симметрии кристалла все характеризующие его свойства величины (в том чиш>е и все компоненты ЛРЬ!„„) Должны остатьсЯ неизменными при отражении в плоскости симметрии. Поэтому ясно., что все компоненты с нечетным числом индексов я должны быть равными нулю. Соответственно этому общее выражение для свободной упругой энергии кристалла моноклинной системы есть ! 2 1 2 ! 2 Р = -Л и„т+ -Л „уи„+ -Л„„и„+ Л ууи иуу+ 2 ' 2 2 2 2 2 +Л „и и„+Лу,„и,уи„+2Л „, уи „+2Л,,и,+2Л„у.и,,+ + 2Л,у>1,:и,.у + 2Лууутиуупу, + 2Л,у„ц уи., + 4Л„у,ии,иу,.
(10.4) В этом выражении 13 независимых коэффициентов. Такое же выражение получается для класса С2, а также и класса С2ь! содержащего оба элемента симметрии (С2 и пл) вместе. В изложен- УИРУГИВ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ 55 ных рассуждениях, однако, соображения симметрии фиксируют выбор направления лишь одной из осей координат (х), направления же осей х, у в перпендикулярной плоскости остаются произвольными. Этим произволом можно воспользоваться для того, чтобы надлежащим выбором осей обратить в нуль одну из компонент, скажем Л „„.
Тогда 13 величинами, характеризующими упругие свойства кристалла, будут 12 отличных от нуля модулей и один угол, определяющий ориентацию осей в плоскости ху. 3. Ромбическая система. Во всех классах этой системы (Сзх, П2, 122А) выбор осей координат однозначно диктуется симметрией и для свободной энергии получается выражение одинакового вида.
Рассмотрим, например, класс ХИВА и выберем плоскости координат в трех плоскостях симметрии этого класса. Отражения в каждой из этих плоскостей представляют собой преобразования, при которых одна из координат меняет знак, а две другие не меняются. Очевидно, поэтому, что из всех компонент Л,1,1,„отличными от пуля останутся только те, среди индексов которых каждое из их значений х, у и В встречается четное число раз; все остальные компоненты должны были бы менять знак при отражении в какой-нибудь из плоскостей симметрии. Таким образом, общее выражение для свободной энергии имеет в ромбической системе вид 2 1 2 1 2 Р: Лххххихх + Лррррирр + Л,х,и„+ Лххррих,ирр + 2 ' 2 2 2 2 2 +Лх .Ви и„+Л „„ир„и„+2Л „, и, +2Л,,и,+2Лр,р,ир,.
(10.5) Оно содержит всего девять модулей упругости. 4. Тетрагональная система. Рассмотрим класс СА,. Выбираем координаты с осью в по оси С4, а оси х, у перпендикулярными к двум из вертикальных плоскостей симметрии. Отражения в этих двух плоскостях означают соответственно преобразования х — 1 — х, у — 1 у, В -+ в и х — 1 х, у — 1 — у, В -э В; в силу э~о~о ис Геза1от все компоненты Л;ы~ с не Гетным числом одинаковых индексов.
Далее, поворот на угол я/4 вокруг оси СА представляет собой преобразование х — + у, у — 1 — х, х — 1 В. Отсюда вытекают соотношения Л „=ЛР„„1 Л,„,=Л„Р„, Лх..=ЛР,Р,. Остальные преобразования, входящие в класс САВ, ничего не добавляют к этим условиям. Таким образом, выражение для свободной энергии кристаллов тетрагональной системы имеет вид 1 2 2 1 2 Лхххх(ихх + ирр) + Лхххгихх + ЛххххМххихг + ирригх) + +Л хр,и.ир +2Лхр и +2Л хх(и +и ) (10.О) Оно содержит шесть модулей упругости.
ОСПОВИЫВ УРЛВПВИИЯ Т'ЕОРИИ УПРУГОСТИ 1'Л ! Такой жс результат получится и для других классов тетрагональной системы, в которых естественный выбор осей координат диктУетсЯ симметРией (1Лзя! Пя, П«Г,). Н классах же С«, О4, С4Г, однозначен выбор лишь одной оси (г) вдоль оси С4 или О4. При этохл требования симметрии допускают существование (помимо фигурирующих в (10.6)) еще и компонент л,,„= — л„„„. Надлежащим выбором направлений осей х, у эти компоненты могут быть обращены в нуль, и тогда Г снова приведется к тому же виду (10.6). 5.
Ромбоэдричсская система. Рассмотрим класс Сз„ и выберем систему координат с осью В вдоль оси третьего порядка и осью у, перпендикулярной к одной из вертикальных плоскостей симметрии. Для выяснения ограничений, налагаемых на компоненты тензора Л,ы наличием оси Сз, удобно произвести форхлальное преобразование, введя комплексные «координатыа Е, Г! согласно определению (=т,+!у! !1=х — г1г, (10.7) координату же В оставляем без изменений.
К этим новым координатам преобразуем также и тензор Л;ы„б в его компонентах индексы пробегают теперь значения (, !1, я. Легко видеть, что при повороте на 120' вокруг оси В новые переменные подвергаются преобразованию ~ — > без /з, à — Р 0е з,!з Отличными от нуля могут быть в силу симметрии кристалла только те из компонент Лгь! ! котоРые не менЯютсЯ пРи этом преобразовании.
Очевидно, что этим свойством обладают те компоненты, среди индексов которых три раза повторяются б или !1 (обращаем внимание на то, что (е~"!Ув)з = е~ ' = 1), или индекс ~ содержится столько же раз, сколько !1 (поскольку е 'д е = 1); таковыми являются компоненты Далее, отражение в плоскости симметрии, перпендикулярной к оси у, есть преобразование х — + т, у — ! — у, г — ~ Я, или для величин ~, Гр ( — Р и, 1! — ~ 6. Поскольку при этом преобразовании ЛРР~, переходит в Л„„„,, то эти две компоненты должны быть равны друг другу. Таким образом, кристаллы ромбоэдрической системы обладают всего шестью модулями упругости. Для того чтобы написать выражение для свободной энергии, надо составить сумму ЛГВ! и!Иа!Я1, в которой индексы пробегают значения Г, гй я; поскольку нам надо выразить Г через компоненты тензора деформации в координатах х, р, г, то мы должны выразить через 57 1 ГО УИРУГИВ СВОЙС"ГВА КРИС'ГАЛЛОВ них компоненты в «координатах» (, г1, в.
Это легко сделать, воспользовавшись тем, что компоненты тензора игу преобразуются как произведения соответствующих двух координат. Так,из Я = (х + »у) = х — гГ + 2»ху следует, что игг = и, — иуу+ 2ии у. В результате находим для г" следующее выражение: Р = -Л„„и + 2ЛГ„еу(игг»+иуу) + Лггуу[[иг㻠— иуу) +4»ГГу]+ 2 2 2 2 2 + 2ЛГВ„(и»В + иуу)игг + 4ЛГ,»г(икг + иу,) + 2 2 + 4ЛШ»[(иВ~ игу)и» 2и»уиуг) ° (10 ° 8) Оно содержит 6 независимых коэффициентов.
Такой же результат получится для классов Оз и Темзу. В классах же Сз и Яо, в которых выбор осей х, р остается произвольным, требования симметрии допускают также и отличную от нуля разность л„,, — л„„,. Она, однако, может быть обращена в нуль надлежагцим выбором осей х, у. 6. Гексагональная система. Рассмотрим класс Со и выберем систему координат с осью 2 по оси 6-го порядка. Введем снова координаты (10.7).
При повороте на угол 2»гггб вокруг оси В они подвергаются преобразованию 2ггг,ггг — 2ггггг6 Отсюда видно, что отличны от нуля только тс компоненты Л,ы„„ среди индексов которых индексы Г и г1 встречаются одинаковое число раз. Таковыми являются Лггггг Лбубггг Лебггуг Лгтгггг Л»гггг. Другие возможные элементы симметрии гексагонольной системы ничего не добавляют к этим ограничениям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
