VII.-Теория-упругости (1109685), страница 14
Текст из файла (страница 14)
е. как раз те значения, которые компенсируются приложенной в начале координат внешней силой. Формулы (1) определяют искомое распределение напряжений. Оно оказывается чисто радиальным: на всякую площадку, перпендикулярную к радиусу, действует только радиальная сжимающая сила. Линиями равных напряжений являются окружности г = гг' сов у, проходящие через начало координат и имщощие центры на прямой, вдоль которой действует сила Е 1рис. 6).
Компоненты тензора деформации гг и = — — а У и„, и,„= —, и„= О. Е Отсюда интегрированием (с помощью выражений (1.8) для компонент и,э в полярных координатах) можно найти вектор смещения: 2Е г (1 — а)Е и, = — — сову!н —— уяп у, яЕ а яЕ 2аЕ . 2Е г . (1 — а)Е ит = япу-1- — 1и — вшу+ (яп у — у соэ у).
яЕ ггЕ а хЕ Постоянные интегрирования выбраны здесь таким образом, чтобы исклю- чить перомещенио (перенос или поворот) пластинки как целого; именно, предполагается несмещенной некоторая условно выбрашшя точка, находя- щаяся на расстоянии а от начала координат на линии действия силы. С помощью полученного решения можно построить решение для про- извольного распределения сил, действующих на край пластинки (ср.
2 8). Само по себе оно, разумеется, неприменимо в непосредственной окрестности начала коордннат. 3. Определить деформацию бесконечной клиновидной пластинки (с уг- лом 2о при вершине) под влиянием силы, приложенной к ее вершине. Р е ш е н и е.
Распределение напряжений определяется формулами, от- личающимися от полученных в предыдущей задаче лишь нормировкой. Ес- ли сила действует вдоль средней линии клина (сигга Ег на рис. 7), то имеем Ег сов у а„, =— ,,=а„=О. г(а -~ (1гг2) яп 2а) ' Если же сила действует в перпендикулярном направлении (Ее па рис. 7), то Ее сов у г(а — (1/2) яп 2о) В каждом из этих двух случаев угол у отсчитывается от соответствующего направления действия силы. дает для Ду) решения вида вш у, сову, уяв у, усову. Из ннх первые два фиктивны, так как приводят к тождественнО равным нулЮ напряжениям. Решение, дающее правильное значение приложенной в начале координат силы.
Е 2Е сосу = ага —— О % гг я г 77 ЦРОДОЛ1 ныв двгьОРмлции П7!лстинОК 4. Определить деформацию круглого диска Градиуса й), сжатого двумя равными и противоположными силами г'л, приложенными к двум концам диаметра Грис. 8). Рис. 7 Рис. 8 Р е ш е н и е. Решение задачи получается путем наложения трех распределений внутренних напряжений.
Два распределения: <17 2Е соз Грг Гы 717 о„„= —— н„„г =гг„„„=О, 7Г 7'1 2Р' соз 7772 ОО О22— о 2Р2 =оФ Р2 =О 7Г Г2 где гг, 721 и г2, 772 — полярные координаты произвольной точки Р с началами соответственно в точках А н В (зто есть напряжения, которые возникли бы от нормальной силы Е, приложенной к точке на границе полуплоскосги, см. задачу 2). Третье распределение о,„= — д,ь ОО 7ГВ представляет собой равномерное растяжение определенной интенсивности. Действительно, если точка Р лежит на окружности края диска, то для нее гг = 2Ясов 7771, гг = 2Всов 772, так что 1 1 2 2 7Г1 1 Поскольку направления гг и гз в этой точке взаимно перпендикулярны, то мы видим, что первые две системы напряжений приводят на краю диска к равномерному сжатию; эти силы как раз компенсируются равномерным растяжением третьей системы, так что край диска оказывается, как и следовало, свободным от напряжений.
5. Определить распределение напряжений в неограниченной пластинке с круглым отверстием (радиуса гг), подвергаемой равномерному растяжению. Р е ш е н и е. Равномерному растяжонию сплошной пластинки соответствуют напряжения 17 „= Т, 172, — — 17,„= О, где Т -- растягивающая сита. 78 РАвноввсив стеРжнпй и пльстинок Гл. и Им отвечает функция напряжений х = — у = — г в!и 1Р = — Тг 11 — сов 2у11. тз тз 2 2 4 При наличии крутлого отверстия 1с центром в начало полярных координат г, З11 ищем функцию напряжений в виде х = х~ 1+ х1 ~ х~ 1 = ПР1+ ЕЖ е2~. Не зависящий от 1р интеграл бигармонического уравнения имеет вид Пг1 = аг 1пг+ Ьгз+ с!пг, а в интеграле, пропорциональном сов 2се: ГЯ = 11РР -Ь ег~ ч 1З Входящие сюда постоянные определяются условиями п~ьц = О при г = сю и о„= и, = О при г = В.
В результате получим ~ — 1п1 + (1 — — ) сов 2у1], и распределение напряжений определяется так: и„= — (1 — — ) ~1-Р (1 — — ) сов 21р~, и = — ~1+ — — (1+ — ) сое21р~, Т ~ 221~ ЗЯ~! 1т„е = — — 11 -1- — — — ~ е1п2Ух 2 ~ гз г" В частности, на границе отверстия о Р = Т11 — 2 соз 21Р1, а при у1 = хх/2 пег = зт, т. е. в трн раза превосходит напряжения на бесконечности 1ср. задачу 12 ~ 7). 8 14.
Сильный изгиб пластинок Изложенная в 8 11 13 теория изгиба тонких пластинок применима лишь к достаточно слабым изгибам. Забегая вперед, укажем уже здесь, что условием применимости этой теории является малость прогиба С по сравнению с толщиной Ь пластинки. Теперь мы перейдем к выводу уравнений равновесия сильно изогнутой пластинки. Прогиб 1, при этом уже не предполагается малым по сравнению с 6.
Подчеркиваем, однако., что самая деформация по-прежнему должна быть мала в том смысле, что тензор деформации должен быть ман. Практически это обычно означает требование 1, « 1, т. е. прогиб должен быть мал по сравнению с размерами 1 пластинки. сильный изгив пластинок Изгиб пластинки сопровождается, вообще говоря, ее общим растяжением ). В случае глабого изгиба этим растяжением можно пренебречь. При сильном же изгибе этого уже отнюдь нельзя сделать; в сильно изогнутой пластинке не существует поэтому никакой «нейтральной поверхности». Наличие растяжения, сопровождающего изгиб, является специфической особенностью пластинок, отличающей их от тонких стержней, которые могут быть подвергнуты сильному изгибу, не испытывая при этом общего растяжения. Это свойство пластинок является чисто геометрическим.
Пусть, например, плоская круглая пластинка изгибается в поверхность шарового сегмента. Если произвести изгиб так, чтобы длина окружности осталась неизменной, то должен растянуться ее диаметр. Если же диаметр пластинки не растягивается, то должна сжаться ее окружность. Вычисленная в ~ 11 энергия (11.6), которую можно назвать энергией чистого изгиба, представляет собой лишь ту часть полной энергии, которая обусловлена неравномерностью растяжения и сжатия вдоль толщины пластинки при отсутствии какого- либо полного ее растяжения. Наряду с этой энергией в полную энергию входит еще часть, обусловленная как раз наличием этого общего растяжения; ее можно назвать энергией растяжения. Деформации чистого изгиба и чистого растяжения были рассмотрены соответственно в ~ 11, 12 и 13. Поэтому теперь мы можем непосредственно воспользоваться полученными там результатами.
При этом отпадает необходимость в рассмотрении структуры пластинки по се толщине, и мы можем сразу рассматривать пластинку как двумерную поверхность, не обладающую толщиной. Предварительно выведем выражение для тензора деформации, определяющего растяжение пластинки (рассматриваемой как поверхность), подвергнутой одновременному изгибу и растяжению в своей плоскости. Пусть и есть двумерный вектор смещения (с компонентами и, и,) при чистом растяжении: ~ по-прежнему обозначает поперечное смещение при изгибе. Тогда элемент длины с11 = с1х +с1у недеформированной пластинки перейдет после деформации в элемент Й, квадрат которого равен Ж = 1с1х+ди,) + (с1у+ Йи„) +с1~ .
ди, ди, Написав здесь с1п = — *сох + — *ду и аналоги п1о для сии и сзС, дт ' ду ' получим с точностью до членов более высокого порядка й'~ = й~ + 2п, вс1х с1хя, ') Исключением является, например, изгиб плоской пластинки в цилиндрическую поверхность. 80 РЛВНОВКС'ИВ СТПРЖНВЙ И НЛЛСТИНОК ГЛ Н где двумерный тензор деформации определяется как дя. днэ ~ д4 д4 и д =— 2 для дт 2 дх дла (В этом и следующем параграфах мы будем обозначать грече- скими буквами индексы, пробегающие всего два значения х и у; по дважды повторяющимся индексам, как всегда, подразумева- ется суммирование.) Члены, квадратичные по производным от и„, здесь опущены, с производными от 1', то же самое сделать, разумеется, нельзя, поскольку членов первого порядка по ним вообще не имеется.
Тензор напряжений о.„д, связанный с растяжением пластин- ки1 определяется формулами (13.2), в которые вместо и д надо подставить полный тензор деформации, определяемый согласно формуле (14.1). Энергия чистого изгиба определяется формулой (11.6), которую мы напишем условно в виде ) Ф1(1',) 11Х11У, где Ф~(~) обозначает все выражение, стоящее под интегралом (11.6). Энергия же растяжения, отнесенная к единице объема пластинки, есть, согласно общим формулам, и ут дф2. Энергия, приходящаяся на единицу поверхности, получается отсюда умно- жением на 6, так что полная энергия растяжения может быть написана в виде ) Ф2(и л) 1(1, где биВПВ (14. 2) 2 Таким образом, полная свободная энергия сильно изогнутой пластинки есть Епл = ~ (Ф~(~) + Ф2(и д))1(1.
(14.3) Раньше чем перейти к выводу уравнений равновесия, оценим обе части энергии. Первые производные от 1', порядка ~,11, где 1 размеры пластинки, а вторые порядка ~ф. Поэтому из (11.6) видно, что Ф1 Е6~~~/1~. Порядок же величины тензора и„д есть ~2ф, и потому Фя Ей~~ф. Сравнение обоих этих выражений показывает, что пренебрежение Ф2, делаемое в приближенной теории изгиба пластинок, законно только при условии ~24 В2 Условие минимальности энергии гласит: бЕ+ббР = О, где Г потенциальная энергия в поле внешних сил. Мы будем считать, что действием внеп1них растягивающих сил, если таковые имеются, можно пренебречь по сравнению с силами изгибающими. глпповвсип сткеживя и пллстииск Гл. и (14.5) Ь'„~Ю "" ,— ',— ("~) )=О.
(Н.7) ~ дх- ду- д ду Для того чтобы это соотношение имело место тождественно, должны обращаться в нуль отдельно коэффициенты при б~ и при ди„. Таким образом, получаем систему уравнений ВЛ'~ — Ь ' (и., д~ ) = р, (14 4) д" =О. дха В эту систему входят в качестве неизвестных функций три величины; две коьшоненты их, иу вектора и и поперечное смещение ~. Ее решение определяет одновременно форму изогнутой пластинки (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
