VII.-Теория-упругости (1109685), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Это значит, что два бесконечно близких поперечных сечения, находящихся на расстоянии дв, поворачиваются друг относительно друта иа угол гауз = тг1л (так что т = йр(слл). Сама деформация кручения, т. е. относительные смещения соседних частей стержня., предполагаются малыми. Условием этого является малость относительного поворота сечений, удаленных вдоль длины стержня па расстояния порядка его поперечных размеров Л, т.
е. т11 « 1. (16.1) Рассмотрим небольшую область длины стержня вблизи начала координат и определим смещения и точек стержня в этой области. В качестве несмеьцепного выберем поперечное сечение стержня в координатной плоскости жу. Как известно, при повороте радиус-вектора г на малый угол доз смещение его конца определяется формулой (16.2) где йр — вектор с абсолютной величиной, равной углу поворота, направленный вдоль оси, вокруг которой производится поворот. ') Исключением является только простое растяжение стержня без изменения ого формы, — при слабом растяжонии наряду с тензором и,ь всегда мал также и вектор н. глввовксив ствежнвя и пллстинск Гл.
н (16. 5) Обращаем внимание на то, что ин = О; другими словами, кручение не сопровождается изменением объема, т. е. представляет собой деформацию чистого сдвига. Для компонент тензора напряжений находим о х=о„„=о =ст, =О, 116.6) оу, =21сиу, =ДтСс ~ +х( ду (дй о,, =2ри,,=дт ~ — — у), дх (здесь удобнее пользоваться модулем сдвига р вместо Е и о). Поскольку отличны от нуля только о, и о„„то общие уравнения равновесия до,ь/дхь = О сводятся к уравнению "+ '" =О.
(16.7) дх ду В нашем случае поворот производится вокруг оси в, причем для точек с координатой в угол поворота относительно плоскости ху равен тв (угол т в области вблизи начала координат можно рассматривать как постоянный). Формула (16.2) дает теперь для компонент и, иэ вектора смещения ит = — тву, ия — — тих. (16.3) При кручении стержня его точки испытывают, вообще говоря, также и смещение вдоль оси в. Поскольку при т = О это смещение отсутствует, то при малых т его можно считать пропорциональным т. Таким образом, и, = ту1(х,у), (16.4) где су(х, у) некоторая функция от х и у, называемая функцией кручения.
В результате описываемой формулами (16.3) и (16.4) деформации каждое поперечное сечение стержня поворачивается вокруг оси в, одновременно искривляясь, переставая быть плоским. Следует заметить, что, выбрав определенным образом начало координат в плоскости ху, мы тем самым «закрепляем» определенную точку. сечения стержня так, что она не смещается в этой плоскости (смептаясь, однако, вдоль оси в); изменение выбора начала координат не отразилось бы, разумеется,на самой деформации кручения, приводя лишь к несущественному общему смещению стержня как целого.
Зная и, можно найти компоненты тензора деформации. Поскольку и в рассматриваемой области мало, то можно восполь- 1 /ди, дис '1 зоваться формулой и;ь = — ~ ' + ). В результате находим 2 дхс дх, и с=иву — — и я — — и„=О, 93 1 1а кгу !вник сткгжпвй (16.9) Но компоненты вектора нормали к плоскому контуру (контуру сечения стержня) равны их = — —, пу — — —, где х, у координа!»у Ж»д ты точек контура, а Ж элемент дуги.
Таким образом, получаем ~»1х + ~»1у = !1Х = О, дХ дХ дх ду откуда Х = сопв1,т. е.па контуре сечения функция Х постоянна. Поскольку в определения (16.9) входят только производные от функции х, то ясно,что к этой функции можно прибавлять Подставив сюда (16.6), мы найдем, что функция кручения должна удовлетворять уравнению »"»ф = О! (16.8) где Ь двумерный оператор Лапласа.
Несколько более удобно, однако, пользоваться другой вспомогательной функцией,"~(х, у)! определяемой равенствами охх = 2дт —, ту, — — — 2дт —; ду " д»: для этой функции получаются более удобные граничные условия на контуре сечения стержня (см. ниже). Сравнив (16.9) с (16.6), получим д~ у+2дх д!г х 2дх !16 рд) дх ду' ду дх' Дифференцируя первое равенство по у, второе по х и вычитая одно из другого, получим для функции Х следующее уравнение; ЬХ = — 1. (16.11) Для определения граничных условий на поверхности стержня замечаем, что благодаря малой толщине стержня действующие на его боковую поверхность внешние силы малы по сравнению с возникающими в стержне внутренними напряжениями и потому могут быть положены (при отыскании граничных условий) равными нулю.
Это обстоятельство в точности аналогично тому, что мы имели при рассмотрении изгиба тонких пластинок. Таким образом, на боковой поверхности стержня должно быть пиьпь = О, поскольку ось х направлена по оси стержня! то вектор нормали и имеет только компоненты и, и„, так что написанное уравнение сводится к условию а,х»»х + !т»упу — — О. Подставляя сюда (16.9), получаем дХ дХ вЂ” пх — — и, =О.
ду дх гл. и гавповксик стннжнвй и пластинок любую постоянную. Если контур сечения односвязен, то можно, следовательно, без всякого ограничения общности положить на пем в качестве граничного условия к урав- нению (16.11) ) "с = 6 (16.12) В случае же многосвязного контура С будет иметь различные постоянные значения на каждой из замкнутых кривых, составляющих контур. Поэтому положить т равным нулю можно будет лишь на одной из этих кривых, например на внешнем контуре (СО на рис. 13). Значения же 7С па остальных частях контура определятся из условия, являютцегося следствием однозначности смещения их = тз)э(х, д) как функции координат. Именно, ввиду однозначности функции кручения уЭ(х, у) интеграл от ее дифференциала сгуЭ по замкнутому контуру должен быть равен нулю.
С помощью соотношений (16.10) имеем поэтому ~ г1х + — а1у 2 ~ (~х,1„~х,~ 1,дх ду дх,11 дп (16.13) где Дуу(дп есть производная функции г по направлению внешней нормали к контуру, а Я охватываемая этим контуром площадь. Применяя (16.13) к каждой из замкнутых кривых С1, С2,..., мы и получим искомые условия. Определим свободную энергию подвергнутого кручению стержня. Для энергии единицы обьема имеем п,ьи,ь 2 2 — — сгхгезхх + сгухпух — гяхх + сгух) 2 2д ) Задача об определении деформации кручения по уравнению (16.11) с граничным условием (16.12) формю~ьно совпадает с задачей об определении ормы прогиба равномерно нагруженной плоской мембраны по уравнению 14.9).
Полезно заметить также гидродинамическую аналогию: уравнением вида (16.11) определяется распределение скоростей е1хл у) вязкой жидкости по сечению трубы: граничному условию (16.12) соответствует условие х = 0 на неподвижных стенках трубы (см. У1, з 17). 95 кгх иник стегжньй и, подставляя сюда (16.9): 7=2у ((~) + (~) ~ = — 2р (7е где ч" означает двумерный градиент. Энергия кручения, отнесенная к единице длины стержня, получится отсюда интегрированием по площади поперечного сечения, т. е.
равна Ст /2, где 2 коэффициент С равен С = 4р ~ (чХ)э И~. Величину С называют кругпильнпй жесткостью стержня. Полная упругая энергия стержня равна интегралу Рс = — )Сто, (16.14) 2 взятому по его длине. Написав (~Х)" = ~(ХУХ) — Х~Х = ~(Х~Х) + Х С = 4д ~>,Хь5ь+4д / Хйтйу (16.17) в (следует помнить, что при интегрировании в первом члене в (16.15) контур Се обходится в прямом, а контур Сь в обратном направлениях). Рассмотрим наиболее обычный случай кручения, когда один из концов стержня закреплен неподвижно, а внешние силы приложены только к поверхности друтого его конца.
Эти силы таковы, что производят только кручение стержня бе:з какой бы то ни было другой его деформации, например изгиба. Другими словами, они составляют некоторую пару сил, .закручивающую стержень вокруг его оси. Момент этой пары обозначим через ЛХ. и преобразуя интеграл от первого члена в интеграл по линии контура сечения стержня, получим с=4и~х — 'ю'-ч >' ~>>. ебч) Если контур сечения односвязен, то ввиду граничного условия Х = О первый член исчезает и остается С = 4р ) Х ~Ь ду. (16.16) Для многосвязной же границы (см.
рис. 13), положив Х = О на внешнем контУРе Со и обозначив чеРез Хв постоанные значениЯ Х на внутренних контурах Сы получим с помощью (16.13) гавповксие отважней и пластинок гл. и Естественно ожидать, что в таком случае угол кручения т постоянен вдоль длины стержня. В этом можно убедиться, например, из условия минимума полной свободной энергии стержня в равновесии. Полная энергия деформированного стержня равна сумме Ест + П, где Г потенциальная энергия, обусловленная действием внешних сил. Подставляя в (16.14) т = 4р/дг и варьируя по углу 9з, находим или, интегрируя по частям, — С вЂ” б р ~Ь + д Г + Стб р = О.
(Ь (16.18) Во втором члене берется его значение на верхнем пределе. В интеграле по с1я вариация Жр произвольна, а потому должно быть Сг1т|г)ъ = О, т. е. т = сопвФ. (16.19) Таким образом, угол кручения постоянен вдоль всей длины стержня. Полный угол поворота верхнего основания относительно нижнего равен поэтому просто произведению т1 угла т на длину 1 стержня. В уравнении (16.18) должен исчезнуть также и второй член. Отсюда находим следующее выражение для постоянного угла кручения: ЛХ т = —. С (16.20) Задачи 1. Определить крутильну|о жесткость стержня с круговым сечением (радиуса й). Решение. Решения задач 1-4 формально совпадают с решениями задач о движении вязкой жидкости в трубе соответствующего сечения (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
