VII.-Теория-упругости (1109685), страница 20
Текст из файла (страница 20)
(18.8) Введем неподвижную в пространстве систему координат т, у! и с осью В вдоль оси недеформированного стержня (вместо связанных в каждой точке со стержнем координат (, 9, 1,. Обозначим через Х, У коордг1наты т, у точек упрутой линии стержня; Х и У определяют смещение точек линии от их первоначального положения до изгиба. Ввиду того что изгиб слаб, вектор касательной С почти параллелен оси г, так что приближенно можно считать его направленным вдоль этой оси. Далее., единичный вектор касательной равен п оизводной С12Х йч — — —. ~Ь8 ФУ 11~ = — —, дВ8 (18.9) Подставляя эти выражения в (18.5). получаем упругую энергию слабо изогнутого стержня в виде Р„,= — ~(1, ( — 1) 1-1 ( —;) ) 8 . !!8.!0) Напомним, что 11, 12 моменты инерции соответственно относительно осей х, Сб являющихся главными осями инерции.
В частности, для стержня кругового сечения 1~ = 1з = 1 и в подынтегральном выражении получается просто сумма квадратов вторых производных, совпадающая в рассматриваемом Р Нг С=— 8Й от радиус-вектора г точек кривой по ес длине. Поэтому имеем М юг Рг Ж 4Р ~Ь8 (производную по длине стержня можно приближенно заменить производной по В).
В частности, т- и у-компоненты этого вектора равны соответственно 88~Х/8!В~ и 81~У/дВ~. Компоненты ПС, 11л с той же точностью Равны тепеРь компонентам йи, Пю и из (18.8) получаем 107 уРАипкиия РАВноиесия ст'ьРэкний приближении с квадратом кривизны стержня: (с1зХ) (~1з1 ) 1 Ввиду этого формулу (18.10) можно естественным образом обобщить для слабого изгиба стержней (кругового сечения), имеющих в своем естественном 1недеформированном) состоянии любую нспрямолинейную форму.
Для этого надо написать энергию изгиба в виде 118.11) где Ло --. радиус естественной кривизны стержня в каждой его точке. Это выражение, как и должно быть, обладает минимумом в недеформированном состоянии 1Л = Ло), а при Ло -э оо переходит в формулу 118.10). й 19. Ъгравнения равновесия стержней Мы можем теперь перейти к выводу уравнений равновесия изогнутых стержней. Рассмотрим опять какой-нибудь из бесконечно малых элементов стержня, вырезанный двумя бесконечно близкими сечениями, и вычислим полную действующую на него силу.
Обозначим силу внутренних напряжений, приложенную к площади сечения стержня, через Р ). Компоненты этого вектора ы равны интегралам от о;.г по площади сечения: Г; = У п,СДУ. 119.1) Если рассматривать два бесконечно близких сечения как поверхности оснований вырезаемого ими элемента стержня, то на верхнее основание действует сила Р + дР, а на нижнее сила — Р; их сумма есть дифференциал дР. Пусть далее К есть действующая на стержень внешняя сила, отнесенная к единице его длины.
Тогда на элемент длины сц действует внешняя сила К Ж. Равнодействующая всех сил, действующих на этот элемент, есть, следовательно, дР+К й. В равновесии эта сила должна обращаться в нуль. Таким образом, получаем — = — К. 119.2) Второе уравнение получается из условия равенства нулю полного момента сил, приложенных к данному элементу. Пусть М ) Обозначение этой силы через т пе может привести к смешению со свободной энергией, которой мы не пользуемся ниже, в з Ю-21. 108 РАВЛОВисиь с'ГВР1кпвй и илАстииок ГЛ И есть момент сил внутренних напряжений, действующих на площадь сечения стержня. Этот момент берется относительно точки (начала координат), лежащей в самой плоскости этого сечения; его компоненты определяются формулами (18.6).
Вудем вычислять суммарный момент, приложенный к данному элементу стержня, относительно точки (назовем ее точкой 0)1 лежащей в плоскости его верхнего основания. Тогда внутренние напряжения на этом основании дают момент М + ссМ. Момент же (относительно 0) сил внутренних напряжений в нижнем основании элемента складывается из момента — М этих сил относительно начала координат в плоскости нижнего основания (точка О') и момента (относительно О) суммарной силы — Р, действующей на этом основании. Этот второй момент равен (( — с11)( — Р)], где с11 вектор элемента длины стержня от 0' к О.
Момент же, обусловленный внешними силами К, является малой величиной высшего порядка. Так1лм образом, полный действующи13 на элемент стержня момент сил есть дМ + [АР]. В равновесии он должен быть равным нулю: 11М+ (с11Р] = О. Разделив это равенство на Ж и замечая, что с11/с11 = Ф есть единичный вектор касательной к стержню (рассматриваемому как линия),получаем уравнение = (Р1] (19.3) Уравнения (19.2) и (19.3) представляют собой полную систему уравнсний равновесия произвольным образом изогнутого стержня. Если действующие на стержень внешние силы являются, как говорят, сосредоточенными, т.
е. приложены только к отдельным изолированным его точкам, то на участках стержня между точками приложения сил уравнения равновесия заметно упрощаются. Из (19.2) имеем при К = О (19.4) Р = сопвФ, т. е. силы внутренних напряжений постоянны вдоль длины каждого из указанных участков стержня.
Значения этих постоянных определяются тем, что разность Рг — Р1 значений силы в точках! и Й равна (19.8) Р2 Р1 = где сумма берется по всем силам, приложенным к отрезку стержня между точками 1 и 2. Обращаем внимание на то, что в разности Рв — Рт точка Й является более удаленной от начала отсчета 199 уРлвнвния РАВиоввсия ст'ИРжнвй длины стержня (т. е. длины дуги 1), чем точка 1; это замечание существенно при определении знаков в равенстве (19.5). В частности, если на стержень действует всего одна сосредоточенная сила Г, приложенная к его свободному концу, то Е постоянно вдоль всей длины стержня и равно т. Второе уравнение равновесия (19.3) тоже упрощается. Написав в нем Ф = Й1/Й = Иг/сУ (где г -- радиус-вектор от некоторой заданной точки к произвольной точке стержня) и интегрируя, получаем ввиду постоянства Р (19.6) М = Щ + сопа1.
Если же отсутствуют также и сосредоточенные силы, а изгиб стержня происходит под действием приложенных к нему сосредоточенных моментов (т. е, сосредоточенных пар сил), то Е = = сопв$ вдоль всей длины стержня, а М испытывает в точках приложения сосредоточенных пар скачки, равные их моментам. Обратимся, далее, к вопросу о граничных условиях на концах изгибаемого стержня. Здесь могут представиться различные слу чаи. Конец стержня называют заделанным (рис. 4 а, см. с. 66), если оп пе может испытывать никаких смещений †.
пи продольных, ни поперечных, и, сверх того, не может измениться его направление (т. е. направление касательной к стержню в его конце). В этом случае граничные условия заключаются в том, что задаются координаты конца стержня и единичный вектор касательной Ф к нему. Сила же и момент сил реакции, действующие на стержень со стороны опоры в точке закрепления, определяются в результате решения уравнений. Противоположным является случай свободного конца стержня. В этом случае координаты конца и его направление произвольны. Граничные условия заключаются в том, что сила Е и момент сил М на конце стержня должны обратиться в нуль ). Если конец стержня закреплен на шарнире, то он не может испытывать никаких смещений, но его направление не задано. Момент сил, .действующих на такой свободно поворачивающийся конец, должен исчезать.
Наконец, если стержень оперт в некоторой точке опоры (рис. 46), то он может скользить по этой точке, по пе может испытывать в ней поперечных смещений. В этом случае незаданными являются направление Ф и положение точки, в которой опирается стержень, по его длине. Момент сил в точке опоры должен быть равным нулю соответственно тому, что стержень может свободно поворачиваться, а сила Е в этой точке должна ') Если к свободному концу приложена сосредоточенная сила Г, то граничным условием будет не т' = О, а е' = Г. РАВНОВЕСИЕ С"ГЕР>КЛЕЙ И ИЛАСТИНОК ГЛ И вЂ” (МФ) = С вЂ” е = — Ф+ М вЂ”. Ж Л 19 Ж' При подстановке (19.3) первый член обращается в нуль, так что С Г=М вЂ”. 1Ц 1Й У стержня кругового сечения 1> = 1з = 1; согласно (18.3) и (18.6) можно поэтому написать М в виде М = е1 [Ф вЂ” ] + сСйс.
(19.7) При у.мпожении на де/111 оба члена дают нуль, так что 11йС/111 = = О, откуда ЙС = сопв$, (19.8) т. е. угол кручения постоянен вдоль стержня. Если к концам стержня не приложено крутящих моментов, то ЙС на концах равно нулю, а потому кручение отсутствует и по всей длине стержня. Для стержня кругового сечения можно, таким образом, написать при чистом изгибе М Ег [ 'й] Е1 ['1ГФГ] (19.9) Подстановка этого выражения в (19.3) приводит к уравнению чистого изгиба стержней кругового сечения в виде Е1[ — — ] = [Р— ]. (19.10) быть перпендикулярна к стержни>; продольная компонента силы вызвала бы дальнейшее его скольжение в точке опоры.
Аналогичным образом легко установить граничные условия и при других способах закрепления стержня. Мы не будем останавливаться здесь на этом, ограничившись приведенными типичными примераъ>и. Уже в начале предыдущего параграфа было отмечено, что сильный изгиб стержня произвольного сечения сопрово>кдается, вообще говоря, одновременным его кручением, даже если к стержню не прилагается никаких внешних крутящих моментов. Исключением является изгиб стержня в его главных плоскостях. При таком изгибе кручение не возникает.
У стержня кругового сечения никакой изгиб не сопровождается кручением (если, конечно, нег внешних крутящих моментов). В этом можно убедиться следующим образом. Кручение определяется компонентой йс = (йь) вектора й. Вычислим сто производную по длине стержня. Для этого пишем, замечая, что ПС = ЛХС/С1 углвивиия РАВцоввсия от'вгжпвй Задачи 1. Привести к квадратурам задачу об определении формы стержня кругового сечения 1упругого прута), сильно изогнутого в одной плоскости приложенными к нему сосредоточенными силами. Р е ш е и и е. Рассматриваем участок стержня между точкачи приложения сил; на таком участке Р = сопза Выберем плоскость изгиба в качестве плоскости ху, а ось у -- параллельно силе Р.
Вводим угол В между касательной к линии стержня и осью у, Тогда г/х/(/! = гйп В, (/у((г/! = сов В, где х, у— координаты точек стержня. Раскрывая векторные произведения в 119.10), получаем уравнение для В как функции длины дуги 1 (/'В 1Š— — Е з(п В = О. (/!е Первое интегрирование дает 1Е Гг/В'~ — ~ — Х/ -/- К соз В = с( 2 г, (/! ) и ото(ода / ~ ХЕ Г В — -/- сю З:г в Функция ВЯ может быть выражена отсюда через эллиптические функции.
Для координат х = ~ ыпВ(/!, у = ~ сов В(/! получаем *=*-Лзт к:тз7~ 1 О ' Е х у=х .=,Г,~,' 1Е /' созВ(/В + сопят'. 2 ( ' — г ( Моыопт М /19.9) направлен по оси з и равен М =1Š—. ,Ю Уу а(! 2. Опредолить форму сильно изогнутого сторж- Рис. 15 ня, один конец которого заделан, а к другому, свободному, приложена сила Х( направление Х перпендикулярно к прямой недеформированного стержня /рис. 15). Решение. На всей дл(лне стержня Р = сопке = В На заделанном конце /! = 0) В = я((2, а на свободном /! = Х, где Х - двина стержня) ЛХ = О, т. е.
В' = О. Вводя обозначение Ве = В(ь), имеем в /1) с( = Г сов Ве: ( ( /2 ХЕ ) ВВ ((! льь — е ( Отсюда получаем уравнение, определяющее Ве: ( , /2 1Е !" г/В (( ее Форма стержня определяется формулами /е 21Е !ХЕ Г сов В ВВ (( В,— л ь:и(, )/ (./ .(.—..гв 113 уРАвнкния РАВцовесия ст'ьРэкнвй Угол Оо определяется из условия, что проекция длины АВ на прямую АС должна быть равна Ье112, откуда имеем 12 ьо (1Е ( ~ соэ (и по) — = ( — э1про) 2 х1" ) утйп В эо (Ж 1((2 ) постоянная интегрирования написана в виде вектора сР, направленного вдоль Е,поскольку надлежащим выбором начала координат, т, е.прибавлением к г некоторого постоянного вектора, можно исключить аддитивный вектор, перпендикулярный к Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
