VII.-Теория-упругости (1109685), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Обозначим действующее вдоль стержня постоянное натяжение через Е, = Т. Если стержень подвергается сильному сжатию, а не растяжению, то сила Т отрицательна. Раскрывая векторное произведение ~Р М1п1]1 мы должны теперь сохранить члены, содержащие Т, членами же с Ех и Е„можно по-прегкпему пренебречь. Подставляя для компонент вектора М/й соответственно Х", Ул, 1, получим уравнения равновесия в виде 12ЕХВ — ТХ11 — Кх = 0 20.14 11ЕУВ" — ТУ — К, = О. К выражениям (20.5) для перерсзывающей силы надо прибавить теперь члены, равные проекциям действующей вдоль вектора $ силы Т на оси у и рд Е = — Е12Х'"+ТХ', К = — Е1~Ъ'В+ТУ'.
(20.15) Эти формулы могут быть, конечно, получены и непосредственно из (19.3). Большая сила Т может в некоторых случаях появиться и в результате самого изгиба, даже если нет никаких специально приложенных растягивающих сил. Рассмотрим стержень, оба конца которого заделаны или закреплены на шарнирах в неподвижных опорах, так что не могут испытывать продольного смешения. Тогда прогиб стержня неизбежно сопровождается его удлинением, что и приводит к появлению в нем силы Т.
Легко оценить величину прогиба, при котором эта сила делается существенной. являются функциями х. Формулы (20.3), определяющие момен- ты сил в каждом данном сечении стержня, по-прежнему оста- 1отся справедливыми. Подстановка их в (20.2) приводит теперь к уравнениям $20 сллвый ивгив стввживй Длина А + т.тА изогнутого стержня равна интегралу взятому по прямой, соединяющей точки опоры.
При слабом изги- бе можно разложить корень в ряд, и мы получаем для удлинения ЬЛ выражение 1, дг. = -'/'(Хлв+улв) 1. 2о Вознтлкающалл при ттростолл растяжении сила натяжентля равна относительному удлинению, умноженному на модуль Юнга и на площадь Я сечения стержня. Таким образом, сила Т равна Т = — / (Х'~ + У' ) лЬ. 2ьо (20.16) ТХ +.Кв = О, ТУ + Лв —— О. (20.17) Если б есть порядок величины поперечного прогиба, то производные Х' и У' — порядка блтА, так что весь интеграл, стоящий в (20.16), .
порядка величины (б,т1) 1 = би,тт1 и Т ЕЯ(б/Ц Порядок величины первых и вторых членов в (20.14) соответственно 1ЕбттЬл и Тб~1э ЕБбз(14. Момент инерции 1 имеет порядок величины 1 6', а Я 6, где 6 — толщина стержня. л Подставляя это, легко получаем, что первые и вторые члены в (20.14) сравниваются по порядку величины при б 6. Таким образом, при изгибе стержней, концы которых закреплены, можно пользоваться уравнениями равновесия в виде (20.4), только если прогиб мал по сравнению с толщиной стержня. Если же б не мало по сравнению с 6 (но, конечно, .по- прежнему б « 1), то надо пользоваться уравнениями (20.14). При этом сила Т в этих уравнениях заранее неизвестна. При их решении надо сначала рассматривать Т как заданный параметр, а затем по полученному решению определить Т согласно формуле (20.16), чем и определится связь Т с приложенными к стержшо изгибающими силами.
Обратным предельным случаем является тот., когда сопротивление стержня на изгиб мало по сравнению с его сопротивлением на растяжение, так что в уравнениях (20.14) можно ттренебре ть первыми членами по сравнению со вторыми. Физически такой случай может быть осутцествлен либо очень сильным растяжением Т, либо при достаточно малом Е1, что может быть связано с малой толщиной 6 (о сильно натянутых стержнях говорят как о сшррвалв).
Уравнения равновесия гласят в этих случаях: 120 РАВИОВВСИЬ СТИР1КВЬЙ И ИЛАСТИИОК ГЛ. И Концы струны надо представлять себе закрепленными в том смысле, что их координаты заданы, т. е. (20.18) Х= У =О. ЕЕаправлеиие же концов не может быть задано произвольным образом, а определяется решением уравнений. В заключение покажем, каким образом уравнения равновесия слабо изогнутого стержня можно получить, исходя из вариационного принципа, используя выражение (18.10) для упругой энергии: ГС1 = — ~ (11 Уи~ + 12ХИ2) сЬ. В равновесии должна быть минимальна сумма этой энергии и потенциальной энергии, связанной с действующими на стержень внешними силами Ы, т.
е. должно быть бГс — ~ (КибХ + КибУ) 1ЕВ = 0 (второй член представляет собой работу внешних сил при бесконечно малом смещении линии стержня). При варьировании Ес производим дважды интегрирование по частям: — д ~ ХЛ2 сЬ = ) ХибХ" СЕВ = Х" бХ' — ~ Хи'бХ'1ЕВ = 2 = ХидХ' — Х'лбХ + ~ ХллбХ 1ЕИ и аналогичным образом для интеграла от УИ2. Собирая различ- ные члены, получим ~ ((Е11 У"л — КИ)дУ + (Е12ХЛ" — Ки)бХ) ВЬ + + Е1~(УлбУ' — Уи'дУ) + Е12(ХибХ' — Х"'бХ) = О. Из первого, интегрального., члена сшедуют ввиду произвольности вариаций дХ и бУ уравнения равновесия (20.4).
Остальные же1 проинтсгрированные, члены дают граничные условия к этим уравнениям; так, на свободном конце вариации бХ, Я, бХ', Я ' произвольны и соответственно получаются условия (20.11). В то же время коэффициенты при бХ и Я в этих членах дают выражения (20.5) для компонент перерезывающей силы, а коэффициенты при бХ' и бУ' выражения (20.3) для компонент изгибающего момента. Наконец, уравнения равновесия (20.14) при наличии растягивающей силы Т можно получить тем же способом, прибавив к 121 сллвый извив сткгжнвй варьируемой энергии величину т л Х. = ~ /' (Х 2 + у-гв) Х,, 2 ' представляющую собой работу силы Т на пути ЬЬ удлинении стержня. Задачи 1. Определить форму прогиба стержня (длины 1) под влиянием собственного веса при различных способах закрепления его концов, Решение.
Искомая форма определяется решением уравнения лл Ч ЕХ (д — вес единицы длины стержня) с теми или другими граничными условиями на его концах, сформулированными в тексте. При рьшличпых способах закрепления концов стержня получаются следующие формы прогиба и максимальные смещения (так называемые стрелки прогиба): начшю координат везде выбрано в одном из концов стержня. а) Оба конца стержня заделаны: С= ° (я — 1), С) -) = — —, 14 24Е1 ~,2,) 384 Е1 б) Оба конца оперты: — 21я -Ь1), ~~ — ) = —— о /~1 3 ~~4 24Е1 ' х2) 384 ЕХ в) Один конец (з = 1) заделан, а другой (я = 0) оперт: 14 -(2е — 31з +1 ), Д0,421) = 0,0054— 48Е1 Е1 г) Один конец (з = 0) заделан, а другой (в = 1) свободен: з (в — 41з+б1 ), (11) = —— 24Е1 8 Е1 2.
Определить форму прогиба стержня под влиянием приложенной к его середине сосредоточенной силы /. Решение. Везде, кроме точки =1/2, имеем уравнение ~в" = О. Граничные условия в концах стержня (е = 0 и з = 1) определяются способом закрепления; в точке же "= 1/2 должны быть непрерывны с, ~', с", а разность перерезывающих сил Г = — ЕХ~"' по обе стороны этой точки долж~а быть равна силе /. Форыа стержня (на участке 0 < з ( 1/2) и стрелка прогиба даются следующими формулами. а) Оба конца стержня заделаны: (31-4 ), 48ЕХ 1,2,/ 192Е1 б) Оба конца стержня оперты: 48Е1 у2) 48ЕХ 122 Рквновксиь ствРжпвй и пластинок гл.
и Форма стержня симметрична относительно его середины, так что функция Дв) на участке 1/2 < з < 1 получается отсюда просто заменой з на 1 — -. 3. То же для стержня, один из концов которого (в = 0) заделан, а другой (я = Ц свободен, причем к последнему приложена сосредоточенная сила /. Решение. Вдоль всего стержня Е = сопев = /, так что СР = — //Е1. Сусловиямиб=О,Г =Оприз=Ои~ =Оприз=1получаем ьд(1 — 2 ) при О < з <1/2, 8ЕП вЂ” (1 — в)з(1 — 2(1 — в)) при 1/2 < з < 1; 8Е11 б) оба конца закреплены в шарнирах: в(1' — 4в') при 0 « 1/2, 24ЕП вЂ” (1 — з)(1 — 4(1 — з)~) при 1,12 < з < 1 24ЕП По обе стороны от точки в = 1/2 стержень изогнут в разные стороны. 5.
То же, если сосредоточенная пара приложена к свободному конпу стержня, другой конец которого заделан. Решение. Вдшчь всей длины стержня имеем М = Е1бв = т, а в точке в = 0: б = О, ~' = О. Форма изгиба дается формулой т 2Е1 6. Определить форму стержня (кругового сечения) с закрепленными в шарнирах концами, растягиваемого силой Т и изгибаемого силой /, приложенной к его середине. Решение. На отрезке 0 < в < 1/2 перерезывающая сила равна //2, так что (20.15) дает уравнение Т Е1 2Е1 0 при в = 0,1, а при в = 1/2 должно быть Для формы стержня (на отрезке Граничные условия: ( = О, ~~ = ~ = 0 (в силу непрерывности 0 <« - 1/2) получим формулу (т)'" зй вв 2Т ~ йс1~(31/2)~ ' При малых к это выражение переходит в формулу, полученную в задаче 2б.
При больших же значениях 1г оно переходит в С = — Щ =/ 2Т 4. Определить форму прогиба стержня с закрепленными концами под влиянием сосредоточенной пары сил, приложенной к его середине. Решение. Вдаль всей длины стержня бвл = О, а в точке з = 1/2 момент М = Е1бо испытывает скачок, равный моменту гв приложенной сосредоточенной пары. С соответствующими условиями на концах получим; а) оба конца стержня заделаны: Р23 1 20 сллвый изгив сткгжнвй т.
е., в согласии с уравнением (20.17), гибкая нитыгринимает под влиянием силы 7" форму, составленную из двух прямых отрезков, пересекающихся в точке л = 1/2. Если сила Т сама возникает в результате растяжения стержня поперечной силой, то для ее определения надо воспользоваться формулой (20.16). Подставив в пес получешюе выражение, найдем уравнение 1 ~3 1 г И 3 И) 8Е~То — ~-+-сб' — — — Рп — ~ = ко г2 2 2 И 2~ определяющее в неявном виде Т как функцию от 7'. 7. Стержень 1кругового сечения) бесконечной длины лежит на упругом основании, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
