VII.-Теория-упругости (1109685), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Ни одно из этих направлений., однако, нс является, вообще говоря, ни чисто продольным, ни чисто поперечным по отношению к направлению 1с. Скорость распространения волны (сс грйппонал скорослиь) дается производной (23.4) (сьл. 'лг1, 8 67). В изотропной среде зависимость ол(1с) сводится к пропорциональности абсолютному значению й, и потому направление этой скорости совпадает с направлением волнового вектора.
В кристаллах это не так, и направление распространения волны не совпадает, вооб!цс говоря, с направлением 1с. Векторы 1с и Ю коллинеарны для некоторых исключительных направлений осей симметрии кристалла. 11 ) В изотропном теле этими ветвями являются ы = с!й (продольно поляризованные волны) и два совпадающих корня ы = с1к, отвечающие волнам с двумя независимыми поперечными направлениями поляризации. з) В силу свойств симметрии тензора Л,ы имеем Л,ы Кьь! = Лы„,1ььь! = Л 1ыьгь1.
Последнее выражение отличается от первого только обозначением немых ипдоксов к, й т. е. тспзор Л,Ы„,Лгй! дсйствителыю симметричен по индексам 1, ьк яш гл ив волны в кгистллллх 130 Из диспсрсионного уравнения (23.3) видно, что в кристалле ог является однородной функцией первого порядка от компонент вектора 4с (если ввести в качестве неизвестной величины отношение ог/Й, то коэффициенты уравнения не зависят от Й). Поэтому скорость й) однородная функция нулевого порядка от Й, Й,, Й,.
Другими словами, скорость распространения волны, являясь функцией ее направления, не зависит от частоты. Если построить в )с-пространстве (тг е. в координатах Й, Йю Й,) поверхность постоянной частоты, ог(зс) = сопз1 (для какой- либо из ветвей закона дисперсии), то направление вектора (23.4) совпадает с нормалью к поверхности. Очевидно, что если эта поверхность всюду выпуклая, то связь между направлениями Т7 и )с взаимно однозначна: каждому направлению 4с отвечает одно определенное направление Ю и наоборот.
Если же поверхность постоянной частоты не всюду выпукла, то эта связь становится не взаимно однозначной: каждому направлению 4с по-прежнему отвечает (в данной ветви закона дисперсии) одно направление Т), но заданное направление П может осушествляться с различными направлениями зс. Задачи 1. Определить закон дисперсии упругих волн в кубическом кристалле, распространяющихся в кристаллографической плоскости (001) плоскость грани куба (а) и в кристаллографическом направлении ]111] — направление диагонали куба (б).
Решение. В кубическом кристалле отличны от нуля упругие модули Л„,, = Лп Л ззз — Лг, Л„, з = Лз (и равные им компоненты тензора с заменой индексов х, В другими из х, у, з — см. 3 10); оси х, и, з направлены вдоль ребер куба. а) Выберем плоскость (001) в качестве плоскости хр и пусть В . угол между лежащилг в ней волновым вектором 1г и осью х. Составив дисперсионное уравнение (23.3) и решив его, найдем три ветви закона диспорсии: ры, г — — -й 1Лг + Лз х ](Лг — Лз) — 4(Лг Ч- ЛгИЛг — Лг — 2Лз) з1п~ В созг В]'г ~], 2 ршз —— Лзй .
Волна третьей ветви поперечпа и поляризована вдоль оси з. Волны первых двух ветвей поляризованы в плоскости ху.Пз соображений симметрии очевидно, что скорость распространения Б = дш/дк всех этих волн тоже лежит в плоскости хр, поэтому для ее вычишгения достаточно поггученных выражений. При В = 0 11г вдоль оси х) имеем г рог — — Лгй, рыг — — Лзй, причем волна 1 продольна йголяризована вдоль оси х), а волна 2 поперечна (поляризована вдоль оси у).
При В = л/4 1к вдоль диагонали грани куба)имеем г 1 1 г ры, = -(Лз -~- Лг+ 2Лз)й, ршг = -(Лг — Лг)й . 2 ' 2 Волна 1 продольна, а волна 2 поперечна и поляризована в плоскости хр. 140 гл. ш упгугик ВОлны б) В етом случае волновой вектор имеет компоненты Ья = Ь, = Ьч = = Ь2'ъ'3. Решение дисперсионного уравнения дает рл1 — — -Ь (Л1 -Р 2Л2 -Ь 4Лз); 3 2 1,2 р1а з — — — й (Л1 — Лз+ Лз). 3 Волна 1 продольна, волны В и В поперечны. 2. Определить закон дисперсии упругих волн в кристалле гексагональной системы. Решение. Гексагональный кристалл имеет пять независимых упругих модулей (см. задачу 1 3 10), для которых введем обозначения: Л,„, = Лззз„— — а, Л„„,, = Ь, Л„„„= а — 2Ь, Л„.,=Л„.,=с, Л,,.=ЛР,„=В, Л...,=У, Ось 2 направлена по оси симметрии шестого порядка, направления же осей и> р могут быть выбраны произвольно.
Выберем плоскость лз так, чтобы в ней лежал волновой вектор )с. Тогда Ь = Ь ззп В, Ь„= О, Ь, = и соз В, где В— угол между )с и осью 2. Составляя уравнение (23.3) и решая его, найдем р221 = Из(бз1пз В+ 1)сов~ В), ры2 з — — -й (а е1п В 4- 1" соз В 4- г) ш 2 х(((а — гйз)п В+(1( — 1) соз В)2;-4(сз-Й) з)п В газ В] ).
При В = О имеем РЫ1,2 — — й 4 Р222 = Ь у' 2 2 2 2 волна В продольна, волны 1 и 2 поперечны. 3 24. Поверхностные волны Особым видом упругих волн являются волны, распространшощиеся вблизи поверхности среды и не проникающие в глубь нее волны Рэлел (Еау1езф, 1885). Напишем уравнения движения в виде (22.11), (22.12): д12 — с~гли = 0 (24.1) (где и какая-либо из компононт векторов ып пз, а с соответствующая ей скорость с1 или сз), и будем искать решения, отвечающие поверхностным волнам.
Поверхность упругой среды будем предполагать плоской, и выберем ее в качестве плоскости ху; области среды гтусть соответствуют з ( 0. Рассмотрим «плоскуюа монохроматическую поверхностную волну, распространяющуюся вдоль оси т; функция и(Ь, т, я) в ней имеет вид и = е'(ь* "аг)1(я) 141 повн хноотвыв волны где функция 1(г) удовлетворяет уравнению ги = я 1; введено обозначение (1,г «') ~ (24.
2) Если 1сг — снг/сг ( О, то 1" (г) периодическая функция, т. е, мы получили бы обычную плоскую волну, не исчезаюшую во всем объеме среды. Поэтому надо считать, что кг — снг/сг ) О, и м вещественное число. Уравнение имеет решения вида ехр (~яв); из пих надо выбрать то, которое затухает при в — 1 — оо. Хаким образом, мы приходим к следующему решению уравнений движения: и = сонвг.
е'с Ое '. (24. 3) Оно соответствует волне, быстро (экспонснциально) затухающей внутрь тела, т. е. распространяющейся только вблизи его поверхности. Величина м определяет скорость этого затухания. Истинный вектор деформации и в волне является суммой векторов п~ и пс, компоненты каждого из которых удовлетворяют уравнению (24.1) со скоростью с = с~ для пс и с = сс для пс. В случае объемных волн в неограниченной среде эти две части представляют собой две независимо распространяющиеся волны. В случае жс поверхностных волн такое разделение на две независимые части оказывается (благодаря наличию граничных условий) невозможным. Вектор смещения и должен быть определенной линейной комбинацией векторов п~ и пс.
По поводу этих последних надо также отметить, что они отнюдь не имеют теперь наглядного смысла параллельных и перпендикулярных к направлению распространения компонент смещения. Для определения линейной комбинации векторов п~ и пи дасощей истинное смещение и, надо обратиться к предельным условиям на границе тела. Отсюда же определится связь между волновым вектором 1с и частотой сн, а следовательно, и скорость распространения волны.
На свободной поверхности должно выполняться условие сс,ьиь = О. Поскольку вектор нормали и направлен по оси г, то отсюда следуют условия сск, = о„, = о„= О, откуда ссс, = О, ии, —— О, о(и,и+ иии) + (1 — о)и,, = О. (24.4) Поскольку все величины не зависят от координаты у, то второе из этих условий дает 1 (ди„ди, 'С 1 ди„ г ( дв ди / г дв 142 УПРУГИК ВОЛНЫ гл. ш Йисх+»ссис~ = О, определяющему отношение и«х11ис,.
Таким образом, имеем и«х = »С«аЕХР 1,МХ+»С«Х — »СВГ), и«, = — йа ехр С»Их +»с«х — »са1), где а постоянная. «Продольная» часть п1 удовлетворяет условию (22.9) гое п1 =О, или диы дип 0 дх дх откуда » т 1/2 »зим — »с1и1 = О, »с1 = ~й — —,) В1 Таким образом, должно быть О «ьех«-х1« — 1ьх1 и1х=К Е ии = — 1»або'~*г " ' ~, (24.7) где О -- постоянная.
Теперь воспользуемся первым и третьим из условий (24.4). Выражая и1» через производные от и, и вводя скорости с1 и сп переписываем эти условия в виде ди, дхи дх дх (24.8) 2да +( 2 2 2)дих дх ~ дх Сюда надо подставить и, = и1 + ис., и, = им + и»,. В результате первое из условий (24.8) дает уравпение а(й~ +»с~~) + 2Ь1«»с1 = О. (24.9) С учетом (24.3) отсюда следует и„= О. (24.5) Таким образом, в поверхностиой волне вектор деформации и лежит в плоскости, проведенной через направление распространения перпендикулярно к поверхности.
«Поперечная» састь волны пс должпа удовлетворять условию (22.8) йу пс = О, или ди.. + д,. дх дх Ввиду (24.3) это условие приводит к равенству 143 новвехпостныв волны Второе приводит к равенству 2пссггсгк+ 6Я('сг2 )г2) + 2с~й2) 0 или 2агсгсг+ 6(6~+ гсг) = О.
(24.10) Условие совместности двух однородных уравнений (24.9) и (24.10) дает (62 + 2)2 462 или, возвеДЯ в кваДРат и поДставив значениЯ гсг., мб (2Й вЂ” —,, ) = 161 (а — —,) (к — —,). (24.11) Этим уравнением определяется связь между аг и и. Очевидно, что ог = сопв( Й; для определения коэффициента пропорциональности, напишем это соотношение в виде ог = ссай. (24.12) Тогда общий множитель а" сокращается и, раскрыв скобки, получим для С уравнение ~' — 8~4+ 8~2(2 — 2 — ",) — 10(1 — 4) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
