VII.-Теория-упругости (1109685), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Наличие такой дислокации превращает кристаллические плоскости в решетке в геликоидальную поверхность (подобную винтовой лестнице без ступенек). При полном обходе вокруг линии дислокации (ось геликоидальной поверхности) вектор смещения узлов получает приращение на один период ззараллельно этой оси. На рис. 23 изображена схема описанного разреза. С макроскопической точки зрения дислокационная деформация кристалла как сплошной среды обладает в общем случае следующим свойством: при обходе по любому замкнутому контуру А, охватывающему линию дислокации Р., вектор упругого смещения и ззолучает определенное конечное приращение Ь, Рис. 23 Рис.
24 равное (по величине и направлению) одному из периодов решетки; постоянный вектор Ь называется оекторо.м Бюргерса данной дислокации. Это свойство записывается в виде » ди; = — *дхь = — б„ (27.1) ( дя» ь в причем принимается, что направление обхода контура связано правилом винта с выбранным направлением вектора касательной к линии дислокации т (рис. 24). Сама линия дислокации является при этом линией особых точек поля деформации.
Упомянутым выше простым шзучаям краевой и винтовой дислокаций отвечают прямые линии Р, вдоль которых т 1 Ь и.чи т ~~ Ь. Отметим также, что в изображенной на рис. 22 наглядной картине краевые дислокации с противоположными направлениями Ь различаются тем, что «лишняя» кристаллическая полуплоскость лежит сверху или снизу от плоскости хр (о таких дислокациях говорят как о различающихся по знаку). 1 27 КНРК1'ИЕ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ НАЛИЧИИ ДИС'ЛОКАЦИИ ТензоР юге (несимметРИ п1ыйг) пРинЯто называть пзеизоРом ди; сторсии.
Его симметричная часть дает обычный тензор деформации и ь = -(ша + шы). 2 (27.4) Тензоры агой и и1ь однозначные функции координат, в противоположность неоднозначной функции п(г). Условие (27.3) можно записатыл в дифференциальном виде. Для этого преобразуем интеграл по контуру б в инт1гграл по какой-либо поверхности Яь, опирающейся па этот контур ~)1 дт Ють дхт = Еит 4~.
дх1 (27 Ог) ') Согласно теореме Стокса преобразование осуществляется заменой элемента ингегрирования по линии дхт оператором д дх, — 1 е,1тд1; —, дх1 ' где Р,1 — единичный антисимметричный тензор, д1 — элемент площади. 1таПОМНИМ, ЧтО ВЫражсинс ВИда Енто,,61 ЕСТЬ КОМПОПЕНта ~аЪ)„, ВЕКтОрПОГО произведения векторов а и Ъ. В общем случае дислокация является кривой линией, вдоль которой угол между т и Ь меняется. Самый же вектор Бюргерса Ь неизбежно постоянен вдоль всей линии дислокации. Очевидно также, что линия дислокации не может просто окончиться внутри кристалла (ср. ниже примеч.
на с. 160). Она должна выходить обоими концами на 1юверхность кристалла либо (как это обычно и бывает в реальных условиях) представлять собой замкнутую петлю. Условие (27.1) означает, друтими словами, что при наличии дислокации вектор смещения является неоднозначной функцией координат, получающей заданное приращение при обходе вокруг линии дислокации. Физически, разумеется, никакой неоднозначности нет: приращение Ь означает дополнительное смещение точек решетки на один из периодов, что вообще не меняет ее состояния. В частности, тензор напряжений сг;ь, характеризующий упругое состояние кристалла, является одиозна 1ной и непрерывной функцией координат. Для дальнейшего будет удобным ввести обозначение т1Ь— (27. 2) дх, с помощью которого условие (27.1) записывается в виде фи11ь дх, = — Ьы (27.
3) 1бО гл !ч дислокации Поскольку тензор ен„, антисимметричен по индексам 1, т, а тснзор Дю,„ь/с3х~ = с)зиь/дх~с)х симметричен по этим жс индексам, то подынтегральное выражение тождественно равно нулю везде, за исключением точки пересечения линии Р с поверхностью оь; на самой линии дислокации, как линии особых точек, представление ш ь в виде производных (27.2) теряет смысл ~). В этих точках величины иль надо определить с помощью соответствующей б-функции так, чтобы интеграл (27.5) приобрел требуемое значение — Ьь.
Пусть й — двухмерный радиус-вектор, отсчитываемый от оси дислокации в данной сс точке в плоскости, перпендикулярной вектору т. Элемент площади этой плоскости выражается через элемент с(1 поверхности оь как т сК. По определению двумерной б-функции б(й) имеем У б(с,) т М = т, ) и, б(4) с(Л = 1. Ясно поэтому, что для достижения поставленной цели надо положить еп "' = — т«Ььйф. (27.6) дх~ Это и есть искомая дифференциальная запись условия (27.3).
Поле смещений п(г) вокруг дислокации может быть выражено в общем виде, если известен тензор Грина С;ь уравнений равновесия данной анизотропной среды, т. е, функция, определяющая смещение и„созданное в неограниченной среде сосредоточенной в начале координат единичной силой, направленной вдоль оси хь (см. 3 8). Это легко сделать с помощью следующего формального приема. Вместо того чтобы искать неоднозначные решения уравнений равновесия, будем рассматривать п(г) как однозначную функцию, условившись, что она испытывает заданный скачок Ь на некоторой произвольно выбранной поверхности ор, опирающейся на дишюкационную петлю Р.
Кшш пт и и — значения функции соответственно на верхнем и нижнем берегах разрыва ор, то пт — и =Ь. (27.7) («Верхний» и «нижний» берега определены на рис. 24. Нормаль и к поверхности ор, направленная по отношению к т указанным на рисунке образом, дает направление от нижнего берега к верхнему.) Интегрирование по контуру Л от верхнего берега к нижнему дает тогда результат (27.3) с правильным знаком. Тензоры иьь и и,ь, формально определенные согласно (27.3), (27.4), ') Если бы линия дислокации оканчивалась в какой-либо точке внутри тела, то поверхность оь могла бы быть выбрана охватывающей эту точку и тем самым нигде пе перосекающей линию Р.
Тогда интеграл (27.5) обратился бы в нуль —. в противоречии с поставленным условием. УНРУГИЕ ДЕФОРМАЦИИ НРИ НАЛИЧИИ ДИГ'ЛОКАЦИИ 161 1 27 тоже имеющий особенность на поверхности Яп. Для того чтобы исключить его,. надо ввести фиктивные объеь1ные силы,. распределенные вдоль поверхности 5р с определенной плотностью 18 1.
Уравнения равновесия при наличии обьемных сил имеют вид — ''+Д =О. д1т 1 1Я д*ь Отсюда ясно, что надо положить д (Я1 диь ~ (27.9) дть дть Таким образом, задача об отыскании неоднозначной функции п(г) эквивалентна задаче об отыскании однозначной, но разрывной функции при наличии обьемных сил, определяемых формулаьли (27.8), (27.9).
Теперь можно воспользоваться формулой и;(г) = ~ С, (г — г~)у' (г ) 111'~. Подставив сюда (27.8), производим интегрирование по частям; интеграл по бесконечно удаленной поверхности исчезает, а в оставшемся интеграле по объему б-функция устраняется тривиальным образом. Заметив также, что дС,./дх~~ — — — дС;у/дхчм получим окончательно и;(г) = — Л ышЬш п1 С,„(г — г) ф. д дть (27.10) Тем самым 1юставленная задача решена ). ') Тензор Со для анизотропной среды найден в указанной на с. 44 статье.
Этот тензор, вообще говоря, очень сложен. В случае прямолинейной дислокации, когда л1ы имеем дело с плоской задачей теории упругости, может оказаться проще непосредственно решать уравнения равновесия. 6 Л. Д. Ландау, В.М. Лифшиц, том 11Н будут иметь на «поверхности разрывая б-образную особенность: 1Н1ь = п1Ььб(1,), и,ь — — -(п1ЬЕ + пьЬ;)6(г',). (27.8) где 1, координата, отсчитываемая от поверхности Яп вдоль нормали и (111, = пд1, где г11 —. элемент длины контура 7).
Поскольку никакой физической особенности в среде вокруг дислокации в действительности нет, то тензор напряжений гг,ю как уже было указано, должен быть однозначной везде непрерывной функцией. Между тем с тензором деформации (27.8) формально связан тензор напряжений Ю 1Я1 о ее — — Лы и, 162 гл !ч дислокации Наиболее простой вид деформация (27.10) имеет вдали от замкнутой дислокационной петли. Если представлять себе петлю расположенной вблизи начала координат, то на больших (по сравнению с ее линейными размерами) расстояниях в производной дС, /дть можно положить г — г' — г и вынести ее за знак интеграла.
Тогда получим дСЦ (г) наг) = — Ламп 4.~ дке (27.11) где г1гь = БгЬь~ Яг =,/ гй Ф е1ы фшь г1ю~ ° (27.12) Бп 2 тз Компоненты аксиального вектора Я равны площадям, ограниченным проекциями петли Р на плоскости, перпендикулярные соответствующим координатным осям, :тснзор д,л естественно назвать тензором дггслокационного момента. Компоненты тензора Сг являются однородными функциями первого порядка от координат х, д, х (сьь с. 45).
Поэтому из (27.11) видно, что иг 1/гз. Соответствующее же поле напряжений о;ь ° 1,ага. Легко выяснить также характер зависимости от расстояния упругих напряжений вокруг прямолинейной дислокации. В цилиндрических координатах з, г, еэ (с осью з вдоль линии дислокации) деформация будет зависеть только от г и ~о.
Интеграл (27.3) не должен меняться. в частности, при произвольном подобном изменении размеров любого контура в плоскости ту. Очевидно, что это возможно, лишь если все тп,ь 1/г. Той же степени 1/г будет пропорционален и тепзор нюо а с ним и напряжения: сгов ° 1)г '). Хотя до сих пор мы говорили только о дислокациях, тем не менее полученные формулы применимы также и к деформацияьл, вызываемым другого рода дефектами кристаллической структуры. Дислокации линейные дефекты структуры. Наряду с ними су.ществуют дефекты, в которых нарушение правильной структурь1 распространяется по области вблизи некоторой поверхностна2). С макроскопической точки зрения такой дефект может быть описан как поверхность разрыва, на которой вектор смещения и испьггывает скачок (напряжения же огь оста- ') Обратим внимание на определенную аналогию между полем упругой дЕфОрмации вОкруг линии диСЮкации и мы нитным пелелг линЕйных проводников; роль силы тока играет при этом вектор Бюргерса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
