VII.-Теория-упругости (1109685), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Тогда сила, действующая в плоскости скольжения на единицу длины дислокации, равна Ьп „, где п,„напряжение в точке нахождения дислокации. Напряжения, создаваемые одной прямолинейной дислокацией (и действующие на другую дислокацию)., убывают обратно пропорционально расстоянию от нее. Поэтому напряжение, создаваемое в точке х дислокацией, находящейся в точке х', имеет вид ЬР)(х — х'), где Р— постоянная порядка величины упругих модулей кристалла. Можно показать, что эта постоянная .Р ) О, т. е.
две одинаковые дислокации в одной и той же плоскости скольжения отталкиваются друг от друга (для изотропной среды это показано в задаче 3 8 28). Обозначим через р(х) линейную плотность дислокаций, распределенных на отрезке (апп2) оси х, р(х) 11х есть сумма векторов Бюргерса дислокаций, проходящих через точки интервала 11х. Тогда полное напряжение, создаваемое в точке х оси х всеми дислокациями, запишется в виде интеграла аа а = — Р Р® "~ (30.1) / а — х а1 Лля точек внутри самого отрезка (и1, пз) этот интеграл должен пониматься в смысле главного зна 1ения для того, чтобы исключить физически бессмысленное действие дислокации самой на себя. Если в кристалле имеется также и плоское (в плоскости ху) поле напряжений 1та„(х1 у), созданное заданными внешними на(е) грузками, то каждая дислокация будет находиться под действием силы Ь(па, + р(х)), где мы обозначили для краткости р(х) = = па„(х, 0).
Условие равновесия заключается в обращении этой 1 за РлспРедедю1ив Взлимодейс'1'Вующих дис!2!Оклций 179 с илы в нуль; ст, + р = О, т. с. а2 р(с) ас р(х) (30.2) С вЂ” х Х2 Е! где главное значение обозначено, как это принято, перечеркнутым знаком интеграла. Это — интегральное уравнение для определения равновесного распределения р(х).
Опо относится к типу. сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши. Решение такого уравнения сводится к задаче теории функций комплексного переменного, формулируемой следующим образом. Обозначим через й(е) функцию, определенную во всей плоскости комплексного е (с разрезом по отрезку (ас1а2)), как инте- грал й(,) )( ДЮ~К / (30.3) а! а2 "(х) = 1'®" -.(х) (30.4) / с — х В! Если р(с) удовлетворяет уравнению (30.2), то главное значение интеграла равно ц2(х), так что имеем йст(х) + й (х) = 2щ(х), йт(х) — й (х) = 2 сслр(х). Таким образом, задача о решении уравнения (30.2) эквивалентна задаче об отыскании аналитической функции й(е) со свойством (30.5), после чего р(х) определяется по (30.6).
При этом физические условия рассматриваемой задачи требуют также, чтобы й(оо) = 0; это следуют из того, что вдали от системы дислокаций (х -э хоо) напряжения ст,, должны обращаться в нуль (по определению (30.3), вне отрезка (а1,ав): о .„(х) = — 0й(х)). Рассмотрим сначала случай, когда внешние напряжения отсутствуют (р(х) = 0), а дислокации сдерживаются какими-либо препятствиями (дефектами решетки) на концах отрезка (а1, аэ).
Предельные значения этой функции на верхнем и нижнем берегах разреза обозна сим через йэ(х) и й (х). Они равны таким же интегралам, .взятым по отрезку (ас, а2) с обходом точки е = х соответственно снизу или сверху по бесконечно малой полуокружности, т. е. 180 Г11 1Ч дислокации ,)'р(1) К = В (30.9) а1 (В сумма векторов Бюргерса всех дислокаций), получим р(я) = (30.10) "~С *-*И*:Л Мы видим, что дислокации скапливаются по направлению к препятствиям (границам отрезка) с плотностью, обратно пропорциональной корню из расстояний до них.
По такому же закону возрастают при приближении к а1 или аа напряжения вне отрезка (ам аз), так, при л ) аз В1З пау 1:,1а:,) Другими словами, концентрация дислокаций у границы приводит к такой же концентрации напряжений по другую сторону границы. Предположим теперь, что в тех же условиях (препятствия в заданных концах отрезка) имеется также и внешнее поле напряжений р(х). Обозначим через По(я) функцию вида (30.7) и перепишем равенство (30.5) (разделив его на Поь — — — йе ) в виде Й~(х) Й (л) йа1(х) 0о (я) йа (а) 0о Ф Сравнив это равенство с (30.6), делаем вывод, что аг 0(а) 1 / а1(О ас йа(а) 1иг / й~оЮ 4 г + (30.11) а1 При а1(т) = 0 имеем из (30.5); йь(т) = — й (т), т.
е, функция П(я) должна менять знак при обходе каждой из двух точек аы оя, Этому условию удовлетворяет любая функция вида П(.) = (30.7) 1 — *1) где РЯ полипом. Условие жс й(ж) = 0 фиксирует (с точностью до постоянного коэффициента) выбор Р(я) = 1, так что П(а) = (30.8) Такой жо вид будет иметь, согласно (30.6), и искомая функция р(т). Определив коэффициент в ней согласно условию 1 во РлспРеделю)ив ВзлимодейстВующих дисг!Оклций 181 а,)*) = а! — *)! —,), Р! ) = 0. Однако у)ловие П(оо) = 0 требует при этом соблюдения дополнительного у<ловия: произведя в (30.11) предельный переход к е -! Со,найдем аг аг® д~ !' -Ва=) (30.14) где Р(е) полипом.
Решение, удовлетворяющее условию П(оо) = О, получим, выбрав в качестве йй(е) функцию (30.8) и положив Р(е) = С (С константа). Искомая функция р(л) находится отсюда по формуле (30.6) и равна аг 0)*) = - , ' ~ -)!)0г! - !))! - ) " + . (30.12) ! -*0)*:)' Постоянная С определяется условием (30.9). И здесь р(л) возрастает при х — ! аг (или т — ! и!) по закону (пй — л) ))г, а по дру! ую сторону препятствия возникает такая же концентрация напряжений. Если препятствие имеется только с одной стороны (скажем! в точке аз), то искомое Рсшсние Должно УДовлетвоРЯть Условию конечности напряжений при всех т, ( пй, включая точку се = а), при этом само положение последней точки заранее неизвестно и должно определиться в результате решения задачи.
В тсрминах П(е) это значит, что П(а!) должно быть конечным. Такая функция (удовлетворяющая также и условию 11(со) = 0) получится по той же формуле (30.11), если в качестве ПЙ(д) выбрать функцию Па(е) = ! 10 аг — г тоже относящуюся к виду (30.7), и положить в (30.11) Р(е) = О. В результате получим аг р(х) = — —. ~,~ ~ ( ) ~. (30.13) ггг 1) аг — е,/ 1) С вЂ” а! С вЂ” е а! При т — 'г а! р(х) обращается в нуль как хг0х — а!. По такому же закону стремится к нулю с другой стороны точки а! полное НВЛРЯжЕНИЕ ОЕЕ(Х) + Р(Х). Наконец, пусть препятствия отсутствуют в обоих концах отрезка и дислокации сдерживаются лишь внешними напряжениями р(т). Соответствующее П(е) получим, положив в (30.11) 182 гл го ДИСЛОКАЦИИ Искомая функция р(т) дается формулой ао р( ) = †, Р) — *)) — ,) , (00.00) (' - ОЕ - ' ) ос к причем координаты а1, а2 концов отрезка определяются условия- ми (30.0) и (30.14).
Задача Найти распределение дислокаций в однородном поле напряжений (р(а) = ро) иа участке с препя")станем на одном или на обоих концах. Рею ение. В случае препятствия на одном конца )ао) вычисление интеграла (30.13) дает Р1к) = — "' 0 ИР )) аз — и Нз условия же (30.9) определяется длина участка расположения дислокаций: ар — а) = 2ВР(ро Вблизи препятствия., по другую сторону от него, напряжения концентрируются по закону ао — а0 аро рк ро В случае участка (длины 2Ь) р ограниченного двумя препятствиями, выбираем начало отсчета т в его середине и находим по (30.12) ГЛАВА У ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ВЯЗКОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ й 31. 'Уравнение теплопроводности в твердых телах Т вЂ” = с11у (м'Ут).
дд д2 (31.1) Согласно формуле (6.4) энтропия может быть записана в виде о' = Бо(т) + Хоии, где о температурный коэффициент расширения, а оо энтропия тела в педеформированиом состоянии. Будем предполагать, что, как это обычно имеет место, имеющиеся в тело разности температур достаточно малы для того, чтобы можно было считать постоянными такие величины, как 2г, а и т. п. Тогда уравнение (31.1) после подстановки написанного для о выражения примет вид тд50+ хтд" ьт д1 д2 Согласно известной, термодинамической формуле имеем С вЂ” С, = ХО2Т, Неравномерная пагретость твердой среды не приводит к возникновению в ней конвекции, как это обычно имеет место в жидкостях. Поэтому перенос тепла осуществляется здесь одной только теплопроводиостью.
В связи с этим процессы тсплопроводиости в твердых телах описываются сравнительно более простыми уравнениями, чем в жидкостях, где оии осложняются коввекцией. Уравнение теплопроводности в твердой среде может быть выведено непосредственно из закона сохранения энергии, выраженного в виде уравнения непрерывности для количества тепла. Количество тепла, поглощаемое в единицу времени в единице обьема тела, равно ТдЯ/д1, где о энтропия единицы объема.
Эта величина должна быть приравнена — г11ус1, где с1 плотность потока тепла. Этот поток практически всегда пропорционален градиенту температуры, т. е. может быть записан в виде с1 = — 2гЧТ (и — теплопроводность). Таким образом, 184 ТЕПЛОПРОВОДПООТЬ и ВЯЗКООТЬ ТВЕРДЫХ 'ГВЛ ГЛ. Ч Производную от Оо можно написать как доо ддо ОТ С, дТ о1 от оо т о1 (производная дЯВ/д1 борется при ии = с))ни = О, т. е. при постоянном объеме). В результате получим уравнение теплопроводности в следующем виде: С1, — + " ' — Г)1ПГ и = РГТЕТ.
ОТ С„вЂ” С„д д1 О дГ (31.2) (1-Ь 11)СР+ 2(1 — 2а)С, дТ 3(2 — а) д1 (31.4) типа простого уравнения теплопроводности. Уравнением такого же типа описывается и распределение температуры вдоль длины тонкого прямого стержня, еш1и хотя бы один из его копцов не закреплен. Распределение температуры вдоль каждого из поперечных сечсний стержня можно считать постоянным, так что Т будет функцией только от координаты л вдоль его длины (и от времени). Тепловое расширение такого стержня приводит только к изменению его длины без изменения прямолинейной формы и без возникновения внутренних Для того чтобы получить полную систему уравнений, надо присоединить сюда еще уравнение, определяющее деформацию неравномерно нагретого тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
