VII.-Теория-упругости (1109685), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Поскольку Л существенно положительная функция, коэффициенты и, ~ должны быть положительными. Соотношение (33.2) аналогично соотношению, имеющему место для свободной упругой энергии: д ~ РйЪ' = — ~ Р1 би,п"Р; где г; = дп,ь/дль ..
сила,, действующая па единицу объема тела. Поэтому выражение для диссипативной силы через тензор пт е1о>кет быть написано непосредственно по аналогии с тем, как г;. выражается через и,Ь: Л=',.", (33.6) где диссипативный тензор напряжений и,' определяется посред- ством дй а,ь —— — — Т1,ы п~ (33.7) два Учет вязкости в уравнениях движения может быть осуществлен, следовательно, просто путем замены тензора напряжений о,ь в этих УРавнениЯх сУммой п,ь + и,'.Ы В изотропном теле / 1 и Ь: 2Т1 1н е д Ьнн) + ~плд1Ь ° (33.8) Это выражение, естественно, формально совпадает с выражени- ем для вязкого тензора напряжений в жидкости. 8 34.
Поглощение звука в твердых телах Коэффициент поглощения звука в твердых телах может быть вычислен вполне аналогично тому, как это делается для жидкостей (см. У|, 3 79). Произведем здесь соответствующие вычисления для изотропного тела. Диссипация механической энергии в теле дается суммой смех = — — ~ (Р7) гЛ' — 2 ~ Л~П, где первый член обусловлен теплопроводностью, а второй вязкостью. Воспользовавшись выражением (33.5), имеем, таким В частности, в изотропном теле тензор гам имеет всего две независимые компоненты и Л может быть записано в виде, аналогичном выражению (4.3) для упругой энергии изотропного тела: 1йо Т'КПЛОПРОВОДПООТЬ И ВЯЗКООТЬ ТВКРДЫХ ТКЛ ГЛ. Ч образом, формулу 11П(„1ОВ )'~~ (34.
1) ~о(Т) + Лаип = Яо(ТВ), где То температура в недеформированном состоянии. Разла.— гая разность Оо(Т) — Оо(ТВ) в ряд по степеням Т вЂ” То, имеем с точностью до членов первого порядка ~о(Т) — ~о(То) = (Т вЂ” То) = †(Т вЂ” То) дда С,, дт т (производная от энтропии берется при ии = О, т. е. при постоян- ном объеме). Таким образом, имеем Т То= тк и11. С„ Воспользовавшись также соотношениями 11 ад 2 4,2 р З = с~ — -сю С, аа = 1сиз — ахад1 С„ переписываем это выражение в виде Тор 1 2 4 21 Т вЂ” То = — 1хс; — — с ) и". (34.2) Рассмотрим сначала поглощение поперечных упругих волн. Теплопроводность вообще не может привести к поглощению таких волн (в рассматриваемом приближении).
Действительно, в поперечной волне ии = О, и потому температура в ней, согласно (34.2), постоянна. Пусть направление распространения волны выбрано в качестве оси х; тогда и» = О, иэ — — ПО1К СОК (кХ вЂ” О21), иа = иО, СОК (1КХ вЂ” Ь21) и из компонент тензора деформации отличны от нуля только и,о —— — — "'" кш (йх — ол), и, = — — "" эш (йх — 1л).
2 2 Для вычисления градиента температуры пользуемся тем, что звуковые колебания в первом приближении адиабатичны. С помощью выражения (6.4) для энтропии запишем условие адиабатичности в виде 192 ТЕПЛОПРОВОДПООТЬ И ВЯЗКООТЬ ТВЕРДЫХ 'ГВЛ ГЛ. Ч лита, а не на протяжении длины волны, как это было бы в однородном теле.
Для гюглощения звука существенны скорости изменения деформации и возникающие градиенты температуры. Из них первые будут иметь по-прежнему обычный порядок величины. Градиенты же температуры в пределах каждого кристаллита аномально велики. Поэтому поглощение звука, обусловленное теплопроводностью, будет велико по сравнению с погло1цением, связанным с вязкостью, и достаточно вычислить только первое.
Рассмотрим два различных предельных случая. Время, в течение которого происходит выравнивание температур на расстояниях а путем теплопроводности (врее1я релаксации для теплопроводности), порядка величины а /Х. Предположим 2 сначала, что а1 « Х/пз. Это значит, что время релаксации мало по сравнению с периодом колебаний в волне, и потому тепловое равновесие в пределах каждого кристаллита в значительной степени успевает установиться; мы имеем здесь дело с почти изотермическими колебаниями.
Пусть Т' — возникающие в кристаллите разности температур, а То разности, которые возникли бы при адиабатическом процессе. Расход тепла путем теплопроводности (на единицу объема) есть — М~Г1 = 1ГТхТ «Т ае Количество же тепла, выделяющееся при деформации, 1юрядка величины ТВС В1ТВС (С вЂ” теплоемкость). Приравнивая эти два выражения, получим (34.5) С (оценивая порядки ве.личин., мы, естественно, нс отличаем различные скорости звука с). С помощью этих результатов вычисляем диссипацию энергии в единице объема: 'Т" ' Емех (РТ) 1 7' Т Т а и, разделив се на поток энергии ОЕ сра12и~, получим искомый коэффициент затухания (34.6) хс В1 « — ' х ае е ,7, ыа о х Температура испытывает изменение Т' на протяжении размеров кристаллита, так что ее градиент Т1(а.
Наконец, 7;~ находим из (34.2), где надо положить ии еи иа1(с (и амплитуда вектора смещения): 193 поглопзенив звука в тйеРдых теслах (С. Хепег, 1938). Сравнивая это выражение с обычным выражением (34.3) и (34.4), мы можем сказать, что в рассматриваемом случае поглощение звука поликристаллическим телом происходит так,как если бы оно обладало вязкостью То р~с о х гораздо большей, чем истинная вязкость составляющих его кристаллитов. Далее, рассмотрим частный предельный случай, когда аз» )С)а2. Другими словами, время релаксации велико по сравнению с периодом колебаний в волне, и за время каждого периода пе успевает произойти заметное выравнивание возникающих при деформации разностей температур.
Было бы, однако, неправильным считать, что определяющие поглощение звука градиенты температуры порядка величины Те(а. Тем самым мы учитывали бы лишь процесс теплопроводности внутри каждого кристаллита. Между тем осповнуго роль в данном случае должен играть теплообмен между соседними кристаллами (М.А. Исакович, 1948). Если бы кристаллиты были теплоизолированы друг от друга то на границе между ними создавались бы разности / температур того же порядка величины То, что и разности температур в пределах отдельного кристаллита. В действительности же граничные условия требуют непрерывности температуры при переходе через поверхности соприкосновения между кристаллитами.
В результате возникают «распространяющиеся» от границ внутрь кристаллита «температурные волны», затухающие на расстоянии ) 1) (х) ~ В рассматриваемом случае б « а, т, е, основной градиент температуры — порядка величины Те!о и имеет место на расстояниях, малых по сравнению с общими размерами кристаллита.
Соответствующая часть объема кристаллита а д; относя ее к полному 2 объему а11, найдем среднюю диссипацию энергии: Т) 6) оз Тай ~) Напомним, что если тепнопроводян1ая среда ограничена плоско«ТЕК~ х = О, избыточная температура которой изменяется периодически по закону 2" = Тое ' ', то распределение температуры в среде описывается «температурной волной» Т' = Те ехр [ — иЛ вЂ” (1 Ч- ») х»угш1'12х)~ (см. Ч1, 1 52). 7 Л.
Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том РУП 194 ТВПЛОПРОВОДПООТЬ И ВЯЗКОС',ТЬ ТВЕРДЫХ 'ГВЛ гл. ч Подставив для То выражение (34.5) и разделив на сЕ сра12н2, получим искомый коэффициент поглощения р х/Х'" пр' '" » ~. (34.7) ВС ае Он оказывается прогюрциональным корню из частоты ). Таким образом, коэффициент поглощения звука в поликристаллическом теле при самых малых частотах (о1 « С/а2) меняется как а12; затем в области )~/а2 << о1 << с/а он меняется пропорционально оз /, а при со » с/а коэффициент поглощения снова пропорционален о1 .
Аналогичные соображения относятся и к затуханию поперечных волн в тонких стержнях и пластинках. Если )1 есть толщина стержня или пластинки, то при Л » 11 существен градиент температуры в поперечном направлении и затухание обусловлено в основном теплопроводностью (см. задачи этого параграфа). Если при этом выполняется неравенство а1 « )С/62, то колебания можно считать изотермическими; поэтому при определении, например, частот собственных колебаний стержня или пластинки надо в этом случае пользоваться изотермическими значениями модулей упругости.
Задачи 1. Определить коэффициент затухания продольных собственных колебаний стержня. Р е ш е н и е. Коэффициент затухания колебаний со временем определяется как Емех д= 2Е амплитуда колебаний убывает со временем пропорционально е В продольной волне в каждом малом участке стержня происходит простое растяжение или сжатие; компоненты тензора деформации ди, ди, и,, =, и„, = иэ„—— — пад дя де при этом и. = ие сок квсоэыд где к= ,/Еад/р Вычисления, аналогичные приведенным в тексте, приводят к следующему выражению для коэффициентов затухания: ые ~Л Зс," — 4 Гс," мтреае Вместо Еад, пад мы ввели здесь скорости с1, с1 согласно формулам (22.4). ) Такой же частотной зависимос1ью характеризуется поглощение звука, распространяющегося В жидкости или в газе вблизи твордой стенки (например, по трубе); см.
Р1. 2 79. 195 поглошвние звяка в твьгдых талах 2. То же для продольных колебаний пластинки. Решенно. Для волн с направлением колебаний, параллелы|ым направлению волны (оси х), имеем следующие отличные от нуля компоненты тензора деформации: ди пад ди,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
