VII.-Теория-упругости (1109685), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Этим уравнением является уравнение равновесия (7.8) 2(1 — а) йгас1 Г)1Р и — (1 — 2т) го1 гоФ и = 2О(1 -Ь а) туТ. (31. 3) 3 Из уравнения (31.3) может быть определена, в принципе, деформация тела при произвольно заданном распределении температуры, Подстановка полученного таким образом для с)1тп выражения в уравнение (31.2) приведет к уравнению, определяющему распределение температуры, в котором неизвестной функцией является одна только Т(х, у, В,1). Рассмотрим, например, теплопроводность в неограниченной твердой среде с распределением температуры, удовлетворяющим только одному условию; на бесконечности температура стремится к постоянному пределу То и деформация отсутствует.
В таком случае уравнение (31.3) приводит к следующей зависимости между Г)1т и и Т (см, задачу 8 3 7); Г11т и = о(Т вЂ” То). 3(1 — а) Подставляя это выражение в (31.2), получим уравнение 185 1 32 твпггопвоволнос г'ь квиствллов напряжений в нем. Ясно поэтому, что производная дЯ/д~ в общем уравнении (31.1) должна браться при постоянном давлении, и поскольку (дЯ/д1)„= Ср(Т, то распределение температуры будет описываться одйомерйым уравнением теплопроводности С~~' 82 дг дхв Надо, впрочем, отметить, что с практически достаточной точностью распределение температуры в твердом теле может всегда определяться простым уравнением теплопроводности.
Дело в том, что второй член в левой части уравнения (31.2) представляет собой поправку порядка (С„, — С„)г'С„по сравнению с первым членом. Но у твердых тел разница между различными тсплоемкостями обычно весьма мала, и если пренебрегать ею, то уравнение теплопроводности в твердых телах можно всегда писать в виде — = Х~Т (31.5) в где Х вЂ” есть телгпераглуропроводность, определяемая как отношение коэффициента х к некоторой средней теплоемкости С единицы объема, Х = х/С. 8 32. Теплопроводность кристаллов В анизотроппом теле направление потока тепла с1 не должно, вообще говоря, совпадать с направлением градиента температуры. Поэтому вместо формулы с1 = — хЬТ между с1 и градиентом температуры в кристалле имеет место более общая зависимость ри = — хгь —.
дХ (32.1) двг. Те~зор второго ранга хгь называют тензором теплопроводности кристалла. Соответственно этой зависимости уравнение теплопроводности (31.5) тоже будет иметь более общий вид С вЂ” = х,ъ от д'т (32.2) д~ ди, двь Тензор теплопроводности симметричен: хгг — ггпу. (32.3) Это утверждение, к доказательству которого мы теперь перейдем, является следствием принципа симметрии кинетических коэффициентов (см. Х'., 8 120). Скорость увеличения полной энтропии тела благодаря необратимым процессам теплопроводпости равна — — Л = — ~ г1гг — Л + ЧВ 1 — гЛ'.
'г йгхЧ г Ч т / т т 186 ТВПЛОПРОВОДПОСТЬ И ВЯЗКОС',ТЬ ТВЕРДЫХ 'ГВЛ ГЛ. гг Первый интеграл, будучи преобразован в интеграл по поверхно- сти, исчезает. Таким образом, получаем я„ол — ЧС7' Л = Ч~~Л, или япол — — г,га™ (32.4) В соответствии с общим определением кинетических коэффициентов 1) мы можем на основании (32.4) сделать вывод, что в данном случае таковыми являются коэффициенты Т зсгь в соот- 2 ношениях 8 33.
Вязкость твердых тел При изучении движения в упругих телах мы до сих пор считали, что процесс деформирования происходит обратимым образом. В действительности процесс термодинамически обратим, только если он происходит с бесконечно малой скоростью, так что в каждый данный момент в теле успевает установиться состояние тсрмодинамического равновесия.
Реальное движение происходит, однако, с конечной скоростью, тело не находится в каждый данный момент в равновесии, и поэтому в нем происходят ') Используется определение в форме, данной В 111, З 59. Поэтому из симметрии кинетических коэффициентов непосредственно следует искомое соотношение (32.3). Квадратичная форма ат ат ат 111 гтгя ая, ал, аяг должна быть существенно положительной, поскольку положительной должна быть производная (32.4) от энтропии по времени. Условием существенной положительности квадратичной формы является, как известно, положительность главных значений матрицы ее коэффициентов.
Поэтому все главные значения тензора теплопроводности зг;ь всегда положительны, что, впрочем, очевидно и из простых соображений о направлении теплового потока. Число различных независимых компонент тензора зсгь зависит от симметрии кристалла. Поскольку тензор зс;ь симметричен, это число такое же, как у симметричного тензора второго ранга се,;ь (тензора теплового расширония; см.
8 10). 187 вязкость тввгдых тел процессы, стремящиеся привести его в равновесное состояние. Наличие этих процессов и приводит к необратимости движения, проявляющейся, в частности, в диссипации механической энергии, переходящей в конце концов в тепло ). Диссипация энергии обусловливается процессами двух родов. Во-первых, при неодинаковости температуры в разных местах тела в нем возникают необратимые процессы теплопроводности.
Во-вторых, если в теле происходит какое-нибудь внутреннее движение, то происходят необратимые процессы, связанные с конечностью скорости движения; эти процессы диссипации энергии можно назвать, как и в жидкостях, процессами внутреннего трения или вязкости. В большинстве случаев скорость макроскопического движения в теле настолько мала, что диссипация энергии незпачительна.
Такие епочти обратимыеа процессы могут быть описаны с помощью так называемой диссипативной функции (см. Ъ', 8 121). Именно, если имеется некоторая механическая система, движение которой со~тровождается диссипацией энергии, то движение может быть описано с помощью обычных уравнений движения, в которых надо только к действующим на систему силам добавить диссипативные силы или силы трения, яшгяющиеся линейными функциями скоростей. Эти силы могут быть представлены в виде производных по скоростям от некоторой квадратичной функции скоростей, называемой диссипативной функцией Л. Сила трения у"„соответствующая какой-нибудь из обобщенных координат д системы, имеет тогда вид дй А. = — —.. до Диссипативная функция является существенно положительной квадратичной формой скоростей с)а.
Написанное соотношение эквивалентно соотношению (33.1) о где бЛ изменение диссипативной функции при бесконечно малом изменении скоростей. Можно также показать, что удвоенная диссипативная функция 2В определяет уменыпение механической энергии системы в единицу времени. Легко обобщить соотношение (33.1) на случай движения с трением в сплошном теле. В этом случае состояние системы определяется непрерывным рядом обобщенных координат. Этими координатами является вектор смещения и, заданный в каждой ) Под механической энергией здесь полразумевается сумма кинетической энергии макроскопического движения в упругом теле и его потенциальной (упругой) энергии, обусловленной наличием деформации. 188 ТЕПЛОПРОВОДПООТЬ И ВЯЗКОГ',ТЬ ТВЕРДЫХ 'ГВЛ ГЛ.
гг точке тела. Соответственное этому соотношение [33.1) должно быть написано в интегральном виде; (33.2) т. е. производные тензора деформации по времени ). Таким образом, диссипативная функция должна быть квадратичной функцией от п,ы Наиболее общий вид такой функции: 1 т)гйгтэг/с О1т. 2 (33.3) Тензор четвертого ранга г)гыгпг может быть назван тензором вязкости.
Этот тензор обладает с11едующими очевидными свойствами симметрии ): Ъмт = Ътггв = 'Г)ьгчга = Чгьгп1. (33.4) Выражение (33.3) аналогично выражению (10.1) для свободной энергии кристалла: вместо тензора упругости в нем стоит тепеРь тензоР т)гыгт, а вместо игь тензоР п,ь. ПоэтомУ все Результаты, полученные в 3 10 для тензора Агыг в кристаллах различной симметрии, в полной мере относятся и к тензору. тйм,„. ') Ср.
аналогичные рассуждения по поводу вязкой жидкости (У1, 3 15). ) Напомним, что существование диссипативпой функции является следствием принципа симметрии кинетических коэффициентов Онсагера. Именно этот принцип приводит к первому из равенств (33.4) (для коэффициентов в линейных соотношениях (33.7) ), эквивалентному факту существования квадратичной формы (ЗЗ.З).
Это будет прямо покагщго по щгвлогичному поводу в 3 41. где тг = и, а 4 --. диссипативпая сила, действующая на единипу обьема тела; запишем полную диссипативную функцию всего тела в виде ) ггл', где Гт диссипативная функция, отнесенная к единице объема тела. Определим теперь общий вид диссипативной функции тг для деформируемых тел. Функция Л, описывающая внутреннее трепиег должна обращаться в нуль, если в теле отсутствует внутреннее движение, в частности, если тело совершает только поступательное или вращательное движение как целое. Другими словами, диссипативная функция должна обращаться в нуль при зг = сопя| и при и = [Йг].
Это значит, что она должна зависеть пе от самой скорости, а от ее градиента, причем может содержать лишь такие комбинации производных, которые обращаются в нуль при зг = [Йг]. Таковыми являются суммы 189 ПОГЛОШВНИЕ ЗВУКЕ Н ТВЕРДЫХ 'ГВЛАХ Л = Р1 (и,ь — — б1ьппд + — пп, (33.5) где Т1 и ~ два коэффициента вязкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
