VII.-Теория-упругости (1109685), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Введем также угол д между и и полярной осью; Рис. 28 очевидно, гго д = ~р+ ф. Искомое решение определяется функцией ф(~р). Оно должно удовлетворять условию физической однозначности — при изменении переменной у на 2я (т. е. при обходе вокруг начала координат) вектор и должен остаться неизменным с точностью до знака (изменение знака допустимо ввиду физической эквивалентности направлений п и — и). Это значит, что должно быть д(~р + 2я) = д(у) + 2хп, 207 1 37 ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ДИСКЛИГГАЦИИ В НН»ГГГГИКГгх Где 71 цс,лОО или полу целОе положительное или Отрицательное число (значение п = О отвечает ннедеформированному» состоянию п = сопн1).
Для функции Ф(г77) = д — г77 имеем отсюда Ф(г77 + 277) = 277(п — 1) + 7)г(г17) . (37.1) Число п называют индексом Франка дисклипации. Уравнение равновесия (которое будет выписано ниже) определяет производную 71Ф,7о7177 и имеет вид 1Т 1(уг) ' (37. 2) его правая часть не содержит независимой переменной гр -. как следствие того, что уравнение должно быть инвариантно по отношению к любому повороту всей системы (нематика) как целого вокруг оси е (т.
е. Ио Отношению к преобразованию гр — » ггг+ г77о); функция )(Ф) периодична с периодом л, поскольку значения Ф и 7)1 + 77 физически тождественны. Отсюда Р = О(*) ~*, о где постоянная интегрирования выбрана так, что Ф = О при г77 = = О. Подставив это выражение в (37.1), найдем, что Г = — ) )(х) 71х = (37.4) Хо и — 1 при п ~ 1 (черта означает усреднение по периоду функции).
Отсюда можно сделать важное заключение о симметрии дис- 2Н клинации: при повороте всей картины на угол гро = во- 2(и — 1) круг оси е углы г)7 меняются на л, т. е. все распределение остается неизменным. Действительно, с учетом периодичности функции 7(Ф) это преобразование приводит к тождеству г)г-Ргг т Тг-РХ ггг+ = ) )'(х) 71х = ( )'(х) 71х+ ) )'(х) дх = гр+ )77. и 1 о о уг Таким образом, в результате одного лишь требования однозначности ось е автоматически оказывается осью симметрии (С ) порядка (37. 3) гп=2~п — 1~, пф1.
(37.5) ЕДинии тока» директора определяются как линии, в каждой точке которьгх элемент длины гУ (Ж, = 717, гУ„= гг1гр) параллелен п. Дифференциальное уравнение этих линий: 711 ПР г)1,. и,. ' 208 гл у! МЬХАИИКА ЛКИДКИХ КРИСТАЛЛОВ т. е = ГКАЛ (37.6) 41п Отсюда видно, в частности, что среди линий тока имеются прямолинейные, на которых лр = рзг (р целое число). Эти линии представляют собой 2 ~п — 1~ радиальных лучей эз= р=эзр, гр=рл, р=О, 1, 2, ..., т — 1. (37.7) (гл — 1) Плоскость поперечного сечения дисклипации делится этими лучами на т одинаковых, повторяющих друт друга секторов. Перейдем к конкретному построению решения для нематика, энергия деформации которого дается формулой (36.1) 1). Для плоского распределения имеем с))т и = — ' + —" = — созга(1+ гр'), гс1р г г го1к и = — — — ' + —" = — з)пгр(1+ 1а'), г алр г г пго1п = О (гр' = сг9л/сбр).
В свободной энергии остаются только члены с .К1 ИК 2) 1 „„к, к /о ч 1 „л~л к,-к, Интеграл по слг логарифмически расходится. В реальных задачах он обрезается сверху на некоторой длине 77 порядка величины размеров образца. Снизу же интеграл обрезается на расстояниях порядка величины молекулярных размеров а, где перестает быть применимой макроскопическая теория. При определении интересующего нас решения на расстояниях и « г « гл можно считать множитель а Эта задача решалась Осееном сС.
Р1к. Гккееп, 1933) и Франком СГ.С. Ргапь, 1958) для частного случая нематика. в котором Кл = Кл. Излагаемое ниже общее решение принадлежит И.Е. Дзялошинскому (1970). л) В подынтегральном выражении ниже опущена полная производная С1 — о соз 2л)~) 2ф' = (2л~~ — о з1п 2лр)', что не влияет на формулировку вариационной задачи. Мгя выводим здесь уравнение равновесия заново, не прибегая к общим уравнениялг (36.7), (Зб.8), что фактически потребоваао бы более громоздких вычислений.
209 1 37 ш ямолиивйиыв дисклинации в нвматиках просто некоторой постоянной, так что равновесное распределе- ние ф(у) определяется минимальностью функционала ( (1 — о сов 21О) (1 + гр' ) Йр = пни. а (37.8) Уравнение Эйлера этой вариационной задачи: (1 — осов2Ясэв = ов1п2т6(1 — ф' ).
(37.9) Оно имеет, прежде всего, два очевидных решения; (37.10) ф = я/2. (37.11) Это осесимметричные решения, которым отвечают соответственно рис. 27 и и б ). Эти решения однозначны, т. е. индекс Франка этих дисклинаций п = 1 (ср. (37.1)). Для нахождения решений с и ф 1 замечаем, что уравнение (37.9) имеет первый интеграл ) (1 — стсов2»р)(1р'~ — 1) = сопв1 = — — 1. 1 72 (37.12) Отсюда находим решение в виде (37.3) с функцией 1/2 1 — о сов 2у1 У(я) = Ч 1 — оое сов 2~ (37.13) Константа д определяется условием (37.4) (при этом должно быть |о~ 92 ( 1).
Эти формулы определяют искомое решение. При каждом п решение единственно: поскольку левая часть условия (37.14) монотонно возрастающая функция д, это равенство удовлетворяется лишь одним значением Ф Функция 7(ж) четна; поэтому 7г(1О) нечетная функция. Это значит, что плоскость ~р = 0 является плоскостью симметрии ) Отметим, что в «вырожденном» случае К~ = Кэ, а = 0 существуют решения с любыми 1~ = соааа е» ) Есаи рассматривать нодынтеграаьное выражение в (37.8) как функцию Лагранжа одномерной механической системы (причем р играет роль обобщенной координаты, у -- роль времени), то (37.12) есть интеграл энергии.
210 1В! М| мехАникА 1кидких кгистАллов распределения; в силу существования оси симметрии С тем самым возникают еще т — 1 проходящих через ось г плоскостей симметрии. Наконец, плоскостью симметрии, очевидно, является плоскость в = О. Таким образом, дисклинация с индексом п обладает полной симл1етрией точечной гру1шы 111„А, При и = 2 из (37.14) очевидным образом следует, что 19 = 1, и соответству.ющее решение есть просто 1р = 1р = 19912. Для выяснения качественного характера полученных решений исследуем поведение линий тока вблизи радиальных лучей 1р = 1рр (37.7).
На этих лучах 1р = рл, а вблизи них 1р — ря и функция (37.13) сводится к постоянной: 137.16) Отсюда 1 Л Дифференциальное уравнение линий тока принимает вид 111И1 1 Л = с1я1р— Ф 1Р Ф, Р Р, откуда находим для формы линий тока вблизи луча (37.17) г = сопвс )1р — 1рр) Если ввести декартовы координаты с осью л вдоль луча, то вблизи последнего: г — т, 1р — 1рр — д/л и уравнение линий тока записывается в виде у = сопв1. т + 1 137.18) Далее надо рассмотреть различные случаи. При п > 3/2 имеем п — 1 > О, и из (37.14) очевидно, что 19 > О, и потому Л > О.
В этом случае линии тока выходят из начала координат, касаясь луча. При п = 1/2 параметр 19 < О, а с ним и Л < О. Численное исследование уравнения (37.14) показывает, что дэ > 1, а потому и ~Л~ > 1. Из 137.18) видно, что у растет вместе с л. Область вблизи начала координат нельзя рассмотреть этим способом, так как, согласно (37.17), при Л < О малым значениям 1р — 1рр отвечают большие значения г. Наконец, при п < О параметр — 1 < Л < О и, .согласно (37.18), у -+ О при х — + оо. Линии тока асимптотичсски прижимаются к лучу. 211 несингуляРИОе ОсесиммнтРичное Ришннии На рис. 29 схематически показаны линии тока для дисклинаций с и = 3/21п = 1,12 и и= -1/2.
И=31'2 И=1 ( «» — —— Рис. 29 й 38. Несингулярное осесимметричное решение уравнений равновесия нематиков Осесимметричные деформации (37.10), (37.11) (се1. рис. 27), представляющие дисклинации с индексом Франка и = 1, являются точными решениями уравнений равновесия нематической среды с заданными граничными условиями на стенках сосуда.
Однако они не являются единственными решениями этих задач. Они единственны только в категории плоских ре- шений. Если же отказаться от предположения о расположении векторов п везде в поперечных к оси сосуда плоскостях, то возможны и друтие решения, причем пе обладающие особенностью на оси. Так, если граничные условия требуют перпендикулярности и стенке, то линии тока директора в таком решении без особенности расположены в меридиональных плоскостях и имеют показанную на рис.
30 форму. Начинаясь на стенке нормально к ней, линии тока изгибаются, стремясь к оси с = О, на которой, таким образом, направление и оказывается вполне определенным. Более того, мы 11 1 п, = сов~(г), и, = О, и, = вшус(г) (38.1) увидим, что отсутствие особенности в таком решении приводит к его ббльшей термодинамиче- Р зв ской выгодности (е1еньшей полной у.пругой свободной энергии) по сравнению с решением с особенностью на оси (Р.Е.
С!Ис«Ы, М. К1егпап, 1972). Приступим к построению этого решения. Будем искать осесимметричное, однородное вдоль оси 2 решение в цилиндрических координатах г, 1р, 2 в виде 212 гл ъч МЬХАПИКА ЭКИДКИХ КРИСТАЛЛОВ (смысл угла Х показан на рис. 30). Граничное условие на стенке: (38.2) Х=О при Т=Л (гс радиус цилиндрического сосуда), а на оси поставим условие Х= я/2 при с=О, (38.3) отвечающее, как уже указано, отсутствию особенности. Имеем дп. 4х го1„,п = — = = — совх —, Й. нг' й; „11( .) В1„~~Х+ Х T пг Йт г Свободная энергия деформации (на единицу длины вдоль оси В) дается интегралом н !Вй ) 2ЛРЛисЬ = н ) ((К1 в1п Х+ Кз сов Х)Х' + а +К1совтх — К1в1п2Х Х')д~, (38.4) где штрих означает дифференцирование по переменной б = 1п г ). Первый интеграл уравнения равновесия (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
