VII.-Теория-упругости (1109685), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Компоненты 2г жЕ тЕНЗОРа Ч1ьг ИГРаЮт РОЛЬ КИНЕТИЧЕСКИХ КОЭффИЦИЕНтОВ 7 М Принцип Опсагера требует равенств у а = уьа, т. е. Чгагт = Чьпга ° (41.3) Тензор гйы должен быть составлен лишь с помощью единичного тензора дгй и вектора и с учетом указанных свойств симметрии. Имеется всего пять линейно независимых таких комбинаций) П Пкп~тг~ Пгтгг„Мт + Ггдптбгаг гггпгбьггг + ггьпгб;т + п,птды + пьппгБгг МкМтг г1гзг1кгп + Хьгдгт ° Соответственно тензоР Чивн„имеет пЯть независимых компонент; представим составленный с его помощью тензор напряжений в виде ) од — — 2»11н,ь + («12 — Ч1)дгьггн + + (Ч« + Ч1 Ч2)(гггьп1пт сиа + пгпьен) + + (Чз — 2Ч1)(п;пгвы + пап~юг~) + + (Чз + Ч1 + Ч2 2ЧЗ вЂ” 2Ч«)гггп~РЛтьип (41.4) ) Нагюмним, что зта скорость выражается через величины х„, Х„формулой 2В7Т = — 2 х,Х,. г) В литературе о величинах х, и Х, часто говорят соответственно как о термодинамических потоках и термодинамических силах.
з) Дисснпативные козффипиенты нематиков были введены (в другом виде) Лесли (Г.М. Пеоне, 19бб) и Породи (О. Рагодг. 1970). Общепринятый выбор определений коэффициентов вязкости нематиков в литературе, повидимому, еще не установился. 228 сл с| мвхлвикл жидких кгистлллов Целесообразность именно такого определения всех коэффициентов иллюстрируется следующим выражением диссипативной функции, которое оно принимает при выборе одной из осей координат (оси в) вдоль направления и; 2Л = 2йс (в„д — -Б„дв.,т) + йзи + 2йзп, + 2плв„в + 2 + цвв,. + — (лс~ (д,Т)Я+ лсл(д„Т)~) + — Ь~, (41.5) где индексы ст, Д, у пробегают два значения х, у. Поскольку должно быть Л > О (энтропия возрастает), то коэффициенты пы Оэ, гсш нш жр лсс, у положительны и, кроме того, нэпл > г1с.
(41.6) Таким образом, нематическая среда характеризуется всего девятью кинетическими коэффициентами: пятью коэффициентами вязкости, двумя коэффициентами топлопроводности, коэффициентом у (тоже имеющим размерность вязкости) и бездне; сипативным безразмерным коэффициентом Л. Число фигурирующих в уравнениях движения коэффициентов вязкости уменьшается в важном случае, когда движущуюся жидкость можно считать несжимаемой (для чего ее скорость должна быть мала по сравнению со скоростью звука). Уравнение непрерывности несжимаемой жидкости сводится к равенству с11у у = вн = О.
В тензоре напряжений (41.4) второй член вьшадает вовсе, а третий принимает вид согсвФ 5;Ь(пСп вна). Замечаем, что последний член не дает вклада в диссипативную функцию (он вьшадает нри образовании произведения и'ивп;ь, поскольку в,ьБ,ь = ввв = О). Кроме того, он имеет такую же тензорную структуру, как и член — рБ;л в полном тепзоре напряжений ст,ы Между тем., в гидродинамике несжимаемой жидкости давление выступает (наряду со скоростью) просто как одна из неизвестных функций координат и времени, определяемых в результате решения уравнений движения; оно не является здесь термодинамической величиной, связанной с другими подобными величинами уравнением состояния.
Поэтому члены — рб,ь и сопь1 . 5,ь(гцп,ис,„) в тензоре напряжений можно объединить друг с другом, что сводится просто к переопределению давления. Таким образом, вязкий тензор напряжений несжимаемой нематической жидкости сводится к выражению о,'ь — — 2пгвсь + (цз — 2п1 ) (и;ясны + пьпгвн) + + Яя+ Ц~ — 2с7в)пспьпсп,,вьв с41.7) (где г12 = цз+ цэ — 2ц4) и содержит всего три независимых коэффициента вязкости.
Соответствующая диссипативная функция 1 42 диссиплтивпыв коэв ьициннты пемм гиков (ось х вдоль п): т2 2Л = 2711 (ноб — -добнтт ) + г)2нтх + 2у)знгы + 2 2 + — (згО(д,Т)~+ вгь(0 Т) ) + — 6~ (41.8) (напомним, что на + и„= 0); положительность коэффициента у)2 ОбЕСпЕчиваЕтея нЕравЕнСтвОм (41.6). Задача Определить силу, действующую на прямолинейную дисклинацию (с индексом Франка и = Ц, движущуюся в перпендикулярном ее осн направлении (Н. 1тиггь К.
Окопе. 1973). Решение. Рассматриваем дисклинацию в системе координат, где она покоится (и совпадает с осью х), а жидкость движется с постоянной скоростью ъ вдоль оси х. Распределение п(г) в дисклинации в этой системе стационарно и дается формулами (урвя дисклинации с радиальными «линиями тока директора>, рис. 27 а) и, = сову, п„= вшу, где полярный угол у = агсся(у/х). В уравнении (40.3) имеем дпу'дг = 0 и е,ь = 0 (ввиду однородности потока),так что остается дп Ь Ю вЂ” = дх Отсюда находим дчя возникающего в результате движения слабого молекулярного поля Ь = ус (ип) —, Н,' дх где и — единичный вектор в направлении осн х (в отсу"гствие движения молекулярное поле Ь = О,так как неподвижная дисклинация представляет собой равновесное состояние среды).
Диссипативная функция 2Л уев ( ) усе Энергия, днссипируемая в единицу времени (и отнесенная к единице длины линии дисклинации), дается интегралом в Н 2Ябхдр = кто 1, 1 = 1п —, и где Н вЂ” поперечные размеры области движения, а а — молекулярные размеры. Эта диссипвция должна компенсироваться работой е у, совершаемой действующей на дисклипацию силой й Отсюда находим Для днсклинации с круговыми линиямн тока (см. рис, 27 б) получается такой же результат. 230 !в! и! михкиикл жидких квисткллов 3 42. Распространение малых колебаний в нематиках Полная система точных уравнений гидродипамики нематиков очень сложна.
Оиа, естественно, упрощается в случае малых колебаний, когда допустима лииеаризация уравнений. Приступая к исследованию распространепия малых колебаиий в иематических средах, напомним предварительно, какие типы (моды) колебаний существуют в обычных жидкостях. Прежде всего, это обычные звуковые волны с законом дисперсии (связью между частотой щ и волновым вектором 1г) щ = с!г и скоростью распространения (42.1) Колебания в звуковой волне продольны (см. У1, 3 64). Далее, существуют сильно затухающие вязкие волны с законом дисперсии 1щ = — Й, (42.2) Р где >1 коэффициеит вязкости (сх!.
Ъ'1, 3 24). Эти волны поперечны (скорость и перпендикулярна вектору 1с), в связи с чем их часто называют сдвиговыми. Оии могут иметь два независимых направления поляризации; закон дисперсии от направления поляризации нс зависит. Наконец, в неподвижной жидкости малые колебания температуры (и энтропии) распространяются, как столь жс сильно затухающие волны с законом дисперсии 1щ = Хй~, (42.3) где т — температуропроводиость среды (см.
Ъ'1, 3 52). Волны аналогичных типов существу>от и в нематических средах. Но паличие у иематиков дополнительной динамической переменной директора и приводит к появлению еще и новых, специфических для иих типов волн !'Р.С. !1е Сеппев, 1968). Начнем с обычного звука в иематиках. Легко видеть, что в пределе достаточно длинных волн (т. е. достаточно малых значений Й) поправки к скорости звука, связанные с наличием новой динамической перемеипой! малы, так что скорость звука дается прежней простой формулой (42.1). Представим директор в колеблющейся среде в виде и = по+ дп! где пе постоянное вдоль среды иевозмущеивое значение, а дп малая переменная часть (поскольку и = п~ д— — 1, то побп = О). Сравнение левой части уравнения (40.3)! с первыми двумя членами в его правой части показывает, что ьл>п г'и, т.
е. !1п и>!с (член же Х = Ь,! у в рассматриваемом приближении является малой величиной бо- Ркспгосггкнкпив мллых колквхний В пвматикях 231 лес высокого порядка, поскольку, согласно 136.9), молекулярное поле 6 6 ). Поэтому член Еа в плотности энергии жидкости: 2 Еа Кфбп) Л ( — ) т. с. имеет порядок й по сравнению с основным членом, который рп2. В рассматриваемом приближении этой энергией можно, следовательно, пренебречь, чем и доказывается сделанное выше утверждение о скорости звука.
В следующем по 6 приближении появляется связанное с диссипативными процессами поглощение звука. С1гецифика нематика 1по сравнению с обьгшыми жидкостями) проявляется в анизотропии этого поглощения его зависимости от направления распространения звуковой волны 1сьь задачу 1). Остальные типы колебаний в нематиках имеют закон дисперсии, подобный 142.2), 142.3): со ~ к2. Это значит, что при достаточно малых 6 во всяком случае будет оз « с6. В свою очередь отсюда следует, что в этих колебаниях жидкость можно рассматривать как несжимаемую ).
Уравнение непрерывности сводится тогда к с11чч = 0 или для плоской волны 1«ч = О. Таким образом, в отношении колебаний скорости рассматриваемые колебания поперечны сдвиговыс колебания. Для исследования всех этих колебаний произведем линеаризацию уравнений движения, положив в них п = по + бп, р = = ро+бр. В первом приближении молекулярное поле линейно по производным от и и тем самым линейно по бп; Н = К1 17 «11ч бп — Лв го1 (по(по гоб бп) ) + Кз го1 ~по ~по го1 бпД.
142.4) Первый же член в «реактивной» части тензора напряжений 140.16) квадратичсн по бп и потому должен быть опущен. Должны быть опущены также и квадратичные члены, возникающие при образовании тензорной дивергенции дьсг,„в уравне- Я нии 140.7) и член 1чч)ч в его левой части. В результате это уравнение сводится к следующему; р — * = — д бр+ -(по дьбк — поь д»6 ) — -(по д»6в + до, 1 л дС 2 2 + поь дь6,) + дьгг,'ы 142.5) ) Напомним 1сы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
