Главная » Просмотр файлов » VII.-Теория-упругости

VII.-Теория-упругости (1109685), страница 45

Файл №1109685 VII.-Теория-упругости (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах) 45 страницаVII.-Теория-упругости (1109685) страница 452019-04-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 45)

Отсутствие центра симметрии приводит к тому, что свободная энергия деформации может теперь содержать линейный по производным глен . - псевдоскаляр пгоС п. Ее общий вид может быть представлен в виде гн = — '(с)зуп) + — е(пгоСп+с)) + — л(пгоСп), (43.1) 2 2 2 где !) параметр с размерностью обратной длины. Это отличие приводит к радикальному изменению характера равновесного (в отсутствие внешних воздействий) состояния среды. Оно не является теперь пространственно однородным (и = сопвС), как у нематиков. Равновесному состоянию холестерика отвечает распределение направлений директора, для которого 1)Сна=0, пгоСп= — д, [пгоСп) =С) (43.2) (свободная энергия (43.1) минимальна равна нулю). Эти уравнения имеют решение; пя = созда, и = в)пня, зл, = О.

(43.3) Эту структуру (ее называют гсликопдильно!1) можно представить себе как результат закручивания вокруг оси з нематической среды, первоначально ориентированной своими и = сопвС в ') При вещественных к вещественная величина лю должна быть положительной — колебания должны затухать (а не самопроизвольно усиливаться) со времонел!.

Все найденные в задачах 2 и 3 законы дисперсии этим свойством обладают. 237 мнхлникА хо 1Вст'еРикон г г пгь = (гтгь)нем + 11Ь1гев1т + пяег1т)пт01Тг гггг = 1ггг)нехг + мегыг1ьд1 Тг г11 — 1г11)ннм + гг1е1ьг11ьггг + 1г11е1тгпь + е1тьпг)птнгь (43.4) (члены с индексом Внемн обозначая>т выражения из гидродинамики нематиков). Дополнительные члены в этих соотношениях являются не истинными, а псевдотензором и псевдовекторами.

Тем самым нарушается симметрия относительно пространственной инверсии, и именно по этой причине эти члены отсутствуют в гидродинамике нематиков. Обратим внимание на тог что построение аналогичных членов, которые были бы истинными тензорами или векторами, невозможно в силу требования инвариантности уравнений относительно изменения знака и. Так, член вида сопвФ (ПОВТ+ пьд,Т) в о,ь или член вида сопвФ Ь в с1 меняли бы знак вместе с и, между тем как тензор напряжений и тепловой поток должны быть инвариантны по отношению к одном направлении в плоскости ту. Ориентационная структура холестерика оказывается периодической вдоль одного направления в пространстве (оси В). Вектор и возвращается к прежнему значению чеРез кажДый интеРвал Длины 2ггггд вДоль оси Вг но поскольку направления и и — и эквивалентны., истинный период повторяемости структуры вдвое меньше равен я/г7.

Разумеется, макроскопическоо описание геликоидальной структуры холестерика формулами (43.3) имеет смысл, лишь если шаг структуры велик по сравнению с молекулярными размерами. В реальных холестериках это условие выполняется (я/г7 10 ~ см). При выводе уравнений равновесия и уравнений движения нематиков наличие у них центра инверсии не использовалось. Поэтому те же уравнения в их общем виде справедливы и для холсстсриков. В то же время имеется и ряд отличий. Прежде всегог меняется выражение Гя, с которым должно вычисляться, согласно определению (36.5), молекулярное поле Ь. Далее, наличие линейного по производным члена в свободной энергии приводит к появлению различия между изотермическими и адиабатическими значениями модуля Лз (ср. конец 3 36).

В сформулированной в 3 40, 41 системе гидродинамичсских уравнений основными термодинамическими переменными являются плотность и энтропия. Соответственно этому должны использоваться адиабатические значения (как функции р и Я) модуля упругости. Наконец, существенное изменение в гидродинамических уравнениях холестериков по сравнению с уравнениями для нема- тиков состоит в появлении догюлнительных членов в диссипативных частях уравнений -- в тепзоре напряжений гтл, тепловом потоке г1 и величине М в правой стороне части (40.3) (Р.ЛХ. Лен1ге, 1968): 238 гл »| мкхлпикл жидких кгисталлов этому преобразованию.

Аналогичным образом, член вида сопвФх х ь'Т в М невозможен, поскольку он инвариантен по отношению к изменению знака и, между тем как величина М (определяющая производную с1п/Ф) должна была бы изменить знак. Коэффициенты в выражениях (43.4) связаны друг с другом соотношениями, шгедующими из принципа Онсагера. Для применения этого принципа (ср. 9 41) выберем в качестве величин ха етермодинамических потоков» величины сг,'ы ц„Я,. Из вида диссипативнойг функции (40.2Ц (точнее, из вида функции 2ЩТ, определяющей рост энтропии) видно, что соответствующими етермодинамическими силами» Х, будут величины — и,ь(Т, д Т/Т .

— Ь,)Т. Надо также учесть, что величины пт четны, а д„Х; нечетны по отнопгению к обращению времени (как это видно из места, занимаемого ими в уравнениях (40.3), (40.7) и (40.8)). Если величины ж и жь имеют одинаковую четность по этому преобразованию, то соответствующие кинетические коэффициенты связаны равенством увь = уь, если же четности щ„ и т» различны, то уаь = — уь .

Сравнив теперь «перекрестные» коэффициенты в соотношениях (43.4) '), найдем равенства иг =иТ, р1=НТ, Таким образом, можно окончательно переписать (43.4) в виде сг1» = (сггь)нем — Р(гй(птУТ)ь + пь(птУТ) ), 1ч = ~нем + и(пт»Т~', (43.5) с1 = с1„,м + иТ(пЬ) + 2иТ(п(п . и)), гДе символ (и . п) обозначает вектоР с компонентами п1»лпь. Итак, в механике холестериков появляется зависимость тензора напряжений и вектора М от градиента температуры ) .

срорма этой зависимости (векторное произведение [пTТ)) означает, что градиент температуры приводит к появлению закручивающих моментов, действующих на директор и на массу жидкости. В то же время молекулярное поле (сопровождающее вращение директора относительно жидкости) и градиенты скорости жидкости приводят к появлению в ней тепловых потоков. ы ) При сравнении необходимо тщательно следить за порядком индексов в множителе е,»й е) Напомним (см. У1, 9 49), что существование среди диссипативных членов в уравнениях движения членов с градиентом второй независимой термодинамической величины (например, давления) запрещено требованиями закона возрасгания энтропии.

Наличие таких членов привело бы к появлению в диссипативной функции членов с произведениями»ранг», Ь» р, которые в отсутствие членов с квадратом (»тр) е сделали бы невозможным обеспечение положительности Й. 239 мвхлник« хо свст'е»иков (о~7)п = о — = —. 4п Ь сс» Ч С функцией п(з) из (43.3) находим отсюда Ь = уо ~«1п), (43.6) где вектор с1 (с абсолютной величиной д) направлен вдоль оси я. В рассматриваемых условиях выражение диссипативной функ- ции (40.21) сводится к 2Л = Ьзссу и с Ь из (43.6): 2Л = уо~с7з.

(43.7) Этим дается энергия, диссипируемая в единицу времени в единице объема жидкости. При стационарном движении эта энергия компенсируется работой внешних источников, поддерживающих действующий вдоль оси я градиент давления р' = с1р/Ию Плотность действующих в среде объемных сил как раз дается градиентогн — 'С7р, работа этих сил (в единицу времени в единице объема) есть — р'о и приравняв ее 2Л найдем скорость «просачивания» о = —. (43.8) По отношению к частице жидкости, протекающей «сквозь» геликоидальную структуру, директор п вращается с угловой скоростью ос7.

Это вращоние сопровождается «трением», характеризуемым коэффициентом 70 им и определяется скорость течения. Одно из своеобразных, .специфических для холестериков гидродинамических явлений может быть наглядно описано, как «просачивание» жидкости сквозь остающуюся неподвижной геликоидальнук> структуру ( И; Не1)ггсЬ, 1972). Оно состоит в следующем. Представим себе холестерическую среду, геликоидальная структура которой закреплена в пространстве (скажем, за счет определенных эффектов сцепления с ограничивающими среду стенками). Покажем, что в этих условиях возможно существование однородного по пространству равномерного потока жидкости в направлении оси структуры (ось я). Поскольку структура (43.3) отвечает равновесному состоянию среды, она обращает в нуль молекулярное поле, Ь = О.

Наличие «просачивающегося» потока несколько искажает структуру и соответственно создает малое (вместе со скоростью потока о) молекулярное поле. Определим это поле, исходя из уравнения движения директора (40.3). Поскольку поле п1г) (в нулевом по скорости приближении) неподвижно, дп/д1 = О, а поскольку поток жидкости предполагается однородным (о, = о = сопэ1), и о,ь = П,ь = О. В результате уравнение сводится к равенству 240 сд ы михлиикл жидких кгистлллов В реальных условиях скорость нс может быть постоянной по всей ширине потока она должна обращаться в нуль на стенках ограничивающей поток трубки. Падение скорости происходит в слое некоторой толщины д. Но единственным параметром длины, характерным для рассматриваемого движения, является величина 1/д. Егчи принять, что все коэффициенты вязкости холестсрика имеют одинаковый порядок величины, то отсутствуют также и какие-либо безразмерные параметры, которые не были бы 1.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
1,91 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6552
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее