VII.-Теория-упругости (1109685), страница 42
Текст из файла (страница 42)
~) Сама жо функция 2й дает (как и в 1 ЗЗ) скорость диссип щии механической энергии (ср. У1, 1 79). Наконец, остается еще уравнение для энтропии. В отсутствие диссипативных процессов движение жидкости было бы адиаба- тичным, причем адиабатичпым в каждом элементе жидкости, которые передвигались бы со своими постоянными значениями энтропии. Уравнение, выражающее сохранение энтропии, запи- сывалось бы просто в виде уравнения непрерывности для нее: — +011у(ЕЛ1) = О, дс где о энтропия единицы объема, а кБ плотность потока энтропии ). При учете диссипативных процессов энтропийное уравнение имеет вид дд ...7 ~1 2й (40.8) дс ~ т~ т' Здесь В -.
так называемая диссипативная функция; 2гс/Т опре- деляет скорость возрастания энтропии 2); она представляет собой квадратичную форму, составленную из компонент тензора 012 и векторов Ь и градиента температуры КТ. Вектор же 41 — плот- ность потока тепла, связанного с теплопроводностью. Компонен- ты этого вектора линейные функции компонент вектора гра- диента температуры 223 1 40 углВИВния движкния нкгглтикОВ где С; = — 1гьдгпр + -дь(п,6ь — пьЬ,) — — дь(п,1гь + тгь11;).
(40.14) 1 л. Здесь и ниже мы не выписываем полностью выражение под знаком дивергенции с целью уменьшения громоздкости формул. Эти члены (к которым мы вернемся еще в конце параграфа) не существенны для решения поставленного вопроса. Выражение (40.14) можно представить в виде С, = Выл.,'л. + (дг Еи) р, з, (40.15) где ср,„= — яыг д,пг — — (п,ЬР + пьЬ;) + — (п;Ьь — пьЬ,). (40.1б) гр) 1 При преобразовании использовано равенство (д,ЕВ) р и = — дгпь + якьд,с)гпы дЕЛ . дпг.
Определение тензора гт,ь неоднозначно: выражение (40.15) (р) не изменится при добавлении к гт, любого шгагаемого вида гр) дгугггн где )„,гь — произвольный тензор, антисимметричный по последней паре индексов (уггь = — )г,ыг). Хотя тензор (40.10) не симметричен, он может быть приведен к симметричному виду прибавлением члена указанного вида с надлежащим образом подобранным тензором )рггы Фактическое проведение этой, довольно громоздкой, операции отложим до конца параграфа, а сейчас продолжим вывод уравнений движения, предполагая симметризацию гр, уже произведенной.
Подставив (40.15) в (40.13) и выделяя в одном из членов полную дивергенцию (с учетом симметричности гт, ), получим ) (Р) 1) = — М)г+ п~')оь — (дЕ)р з ег+ г)ггр( ). (40.17) (дел ') гр) дг ~р,н Наконец, подставим в (40.12) фигурирующие там производные по времени из (40.5), (40.7), (40.8) и (40.17), причем частную (при постоянных р и о') производную от Е выразим через полную производную согласно д,Е = (д,Е)р я+)гд,р+ Тд,Я. ) ПосколъкУ Ео = Ео(Р, 5), то (д,ЕР)р, В = (д,Е)р, к.
224 мкхаиикл !кидких кгиста'!лов !э! к! После ряда преобразований (выделения полных дивергенций) по- лучим в результате — — + Е1 = — о;'ьо;в — МЬ+ — «1'«гТ+ 2Л+ с)!и( . ), (40.18) д!' 'с 2 т где о,' связано с о,ь формулой о,ь = — ро,ь + о,.ь + о,;ы (г) (40.19) а давление введено согласно его термодинамическому определе- нию: р = р)т — Е+ ТБ (40.20) (рр = Ф термодинамический потенциал единицы объема вещества); как и должно было быть, им определяется изотропная часть тензора напряжений. Сравнив (40.18) с уравнением сохранения энергии (40.11), мы видим, что 2Л = Пдигв + 1Х)Ь вЂ” — г4««Т. (40.21) Е; = — д,р+ дьо~„) + дво,' = — д';р+ Е~ ) + Р,'.
В неподвижной равновесной (хотя и деформированной) среде Р' = О, а согласно условию равновесия (36.7) и Ь = О. Согласно (40. 14), (40. 15) при этом сила Р~") = — '1««ЕИ), я, Р = — х'р — (ЧЕИ), я. ') Ее иногда называют реактивной частью (стою!!а индекс (!), которым мы снабдили ее обозначоние). ) Эта ситуация нс уникальна: напомним эффект Холла в электродинамике проводящих тел; он тоже не связан с диссипацией. Эта функция определяет вызванное диссипативными процессами увеличение энтропии. Ясно поэтому, что введенный в (40.19) тепзор о,' представляет собой диссипативпую («вязкугоэ) часть тензора напряжений.
Тензор же о, в (40.21) не входит; он пред)г) ставляет собой педиссипативпую 1помихго связанной с давлением) часть тензора напряжений ), специфическую для нематической (в отличие от обычной) жидкости. Обратим также внимание на то, что в диссипативную функцию не входит коэффициент Л. Хотя описываемый этим безразмерным коэффициентом эффект имеет явно кинетическую (а не термодинамичоскую) природу, он нс диссипативен 2! Плотность обьемных сил в движущейся нематической среде 225 1 40 уелвнвния движвглия пвгллтиков Если считать модули упругости постоянными, не зависящими от р и Я величинами, то (ЯЕ4)р о = ~7Е4 и тогда сила й' = = — лг[р+Еа)). Но в равновесии должно быть также и Р = О.
Отсюда следует, что (в указанном предположении) распределение давления вдоль находящейся в равновесии нематической среды дается формулой ') р = сопв1 — Еф (40.22) Произведем теперь в явном виде упомянутую выше операцию симметризации тепзора ив . Прежде всего, вычислим в явном 1с) ггг ' виде антисимметричную часть этого тензора.
При вычислении РаЗНОСтИ ПЛ вЂ” гтЬЛ НаДО УЧЕСТЬ, ЧтО ВЫРажЕНИЕ Лс) дЕл Вгв = — ПЬ + яй д1 ПЬ вЂ” ЛГЫ дТП1 дп, симметрично по индексам 1, а. Проверить эту симметрию непосредственно нелегко. Проще сделать это косвенным путем, воспользовавшись тем, что энергия Еа - скаляр и тем самым инвариантна относительно произвольных вращений системы координат. При бесконечно малом повороте на угол блр координаты преобразуются как г' = г+ бгг бг = [блр.
г), т. е. егь ег1ь блРЛ елгг благ = егь*ьг Для изменения вектора п и тензора дьп; имеем соответственно бПЛ = а,ЛПП б(данг) = 0,1 двт11 + ЕЫ дЛП, Инвариантность функции Еа при этом повороте означает, что Вге~егь = О. Поскольку егь --. произвольный антисимметричный тснзор, то отсюда следует, что В;ь симметричный тензорг что и требовалось доказать. Имея это в виду, легко привести антисимметричную часть тензора лтль к виду (2.11) с тензором Х лРЛР1 = п;ЯЛЬ вЂ” пьк1,. ') Если це делать указгишых предположений, то силу У при постоянной температуре можно привести к виду Е = — ргг11 так, что условие равновесия сводится к обычному д = сопв1.
Действительно, дифференцируя выражение (40.20) Лщя давления и учитывая термодинамическое соотношение Л4Е: Т л)Я+ил)р+ (ЛЕЛ)Р и найлом ~ р: р~11 ЯЪ Т+ (~ЕЛ)Р з откуда при Т = сопвс и получается указанное выражение для Е. 8 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том Лги 226 гэ! г'! мвхАиикА гкидких ИРистАгглОВ 00 После этого симметризованный тензор гг~ ~ получается непосредственно гю формуле (2.13). После некоторых приведений получим о й —— — — (пг1гй + пй1гг) — — (ггй! д,.п! + ггг! дйп!)— гг) Л 1 д! [(гггй + ггйг)пг ггйгпг ггггпй) (40.23) 1 Отметим, что это выражение фактически содержит только поперечные (по индексу й) компоненты тензора гг,й. Если представить последний в виде гг;й = гг,.й! + гг,гпйп! г!) (так что гг, пй = О), то в (40.23) останутся только члены с .г, 00 Наконец, вернемся к членам с полными дивергенциями, которые мы до сих пор не выписывали.
Сравнив (40.18) с (40.11), видим, что выражение, стоящее под знаком г1гт в совокупности этих членов., определит собой плотность потока энергии. Приведем здесь получающийся таким образом окончательный результат: ! Я; = (И'+ — ) е; — гггй( — п! дгпй + Пгйпг + Лпг(пй! — пйп„гггг„„) )+ 2 + ггпгйй пйМггй + (пг1гй + ггй1гг)ей гггйпй Аггй дйТг (40.24) где И' = р + Е тегшовая функция. Первый член совпадает с выражением потока энергии в гидродинамике обычной жидкости. 3 41.
Диссипативные коэффициенты нематиков Члены с 1х1 и сг,'й в уравнениях движения выражают собой релаксационные процессы, возникающие вследствие термодинамической неравновесности среды; эта неравновесность в свою очередь связана с отличными от нуля Ь и пгй. В обычном гидродинамическом приближении неравновесность предполагается слабой, т.
е. величины Ь, о,й в определенном смысле малыми. Тогда гг,й является их линейными функциями. Однако при принятой нами форме записи уравнений движения зависящих от Ь членов в гг,й писать не надо. Действительно, такие члены, составленные из компонент Ь и и, имели бы вид соггв$ . (П1гй + ггй6,). Но член такого вида уже есть в недиссипативной части тензора напряжений гггй~ (40.23), добавление подобного члена в сг,'й своди!!ось бы поэтому лишь к переопределению коэффициента Л. 227 диссиплтивпыв коэееицикнты ггвммгиков Общий вид линейной зависимости о,'.ь от огь, сггь = Чгмт пни г (41.
1) пРичем тензоР четвеРтого Ранга Чг»1 облаДает очевиДпыми свойствами симметрии (следствиями симметрии тензоров о,'.ь и егв) Чгивгт = Чкгзт = Чггьт1 ° (41.2) Кроме того, этот тензор обладает и более глубокой симметрией., следующей из оощего принципа симметрии кинетических коэффициентов Онсагера (см. гг, 9 120; как и в 9 32, ниже в этом параграфе мы пользуемся формулировкой этого принципа, данной в Ъ'1 9 59 и введенными там определениями величин х„ и Х ). Из выражения 2К(Т для скорости увеличения энтропии видно ), что если под величинами х, понимать компоненты те~- 1г вора гт,ь, то «термодинамически сопряженными» с ниаги величинами Ха будут компоненты тензора — е~гп/Х ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
