VII.-Теория-упругости (1109685), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Ч1, 1 10), что пестационарпо движущуюся жидкость можно считать несжимаемой при условиях о « с и т )) 1/с, где т и 1 промежутки времени н расстояния, на которых скорость жидкости испытывает заметное изменение. Для колебательного движения первое условие всегда выполняется при достаточно малых амплитудах колебаний, а второе условие как раз и означает требование ю/к « с. 232 мкхАпикА !кидких кгис'РА'!лов 1В! Х! В уравнении жо (40.3) достаточно заменить (в первых двух чле- НаХ В ПраВОй ЧаСтИ) и На По И ОПуетИтЬ ЧЛЕН (гГЯ)1П В ЛЕВОЙ части: Р! = —, (42.7) оказывается малой величиной 10 ~ — 10 ~ (здесь К и 11 порядки величины модулей упругости нематика и его коэффициентов вязкости 91, гйп йз, у).
Как будет показано ниже, при этом можно различать два существенно различных типа колебаний, для каждого из которых уравнения (42.5), (42.6) допускают определенные упрощения. В одном из них частота связана с волновым вектором соотношением вида ьв (42.8) Р аналогичным (42.2) (по причине, которая выяснится ниже, эти колебания называют быстрыми сдвиговыми). В обоих уравнениях (42.5), (42.6) можно тогда пренебречь всеми членами, содержащими Ь. Действительно, из (42.8) видно, что 1гг рв оп ы ой и поэтому молекулярное поле й К/с бп 2 РР~Х!г 11 1Лспользуя эти оценки, легко убедиться, что члены с Ь в уравнениях малы по сравнению с членами с о;ь в отношении 11.
Таким образом, система уравнений для быстрых сдвиговых колебаний сводится к до, р — ' = дьо-;„— д,бр, д! дои, д! = ИогП01г + Л(бг! Погно!) 110Ь1!Ь1. (42.9) (42.10) доп, ' = йыпоь + Л(бп — по,по!) поьоы + — 6 . (42.6) 1 д1 !' Ввиду равенств поОп = О, 1!к = 0 векторы Оп и м имеют всего по две независимые компоненты. Уравнения (42.5), (42.6) составляют поэтому систему четырех линейных уравнений. Ими определяются четыре колебательные моды, в каждой из которых испытывают связанные друг с другом колебания как скорость, так и директор.
Обычно, однако, .ситуация существенно упрощается ввиду того, что безразмерное отношение РАспРОс1РАпение малых колеьаний в немАтикАх 233 1 42 Первое уравнение не содержит дп и определяет колебания скорости и закон дисперсии, после чего второе уравнение непосредственно дает сопутствующие колебания директора (саг. задачу 2). Перейдем ко второму типу сдвиговых колебаний при условии )2 « 1 к спец~ифических1 для нематнка медленныл4 колебаниям директора. В этих колебаниях порядок величины переменной части директора определяется балансом между производной дбп/д1 в левой части уравнения (42.6) и членом Ь,ьу в его правой части: о2Оп 6/у, и поскольку 11 К)с Оп., закон дисперсии этих колебаний качественно дается соотношением 2а2 ЕИ' (42.11) "1' Очевидно, что производная рдн1'д1 роо2 в левой части уравнения (42.5) оказывается при этом малой по сравнению с членами дьо.ь г)оа2 в его правой части и потому может быть опущена.
Ъ равнение — д16Р+ -(2102 дь)гь — поь двй1) — -(по, дь)зк + л + поь дьЬ,) + дьсг,'в = 0 (42.12) определяет связь между колебаниями скорости и директора,после чего закон дисперсии определяется из уравнения (42.6) (см. задачу 3). Обратим внимание на то, что отношение частот (42.11) и (42.8) а2м/о2б )А. Таким образом, при одном и том же значении Й частота о2м, мала по сРавнению с о2б; с этим и свЯзано название соответствующих колебаний медленными и быстрыми. Наконец, температурные колебания в неподвижной нематической среде отличаготся от аналогичных колебаний в обычной жидкости лишь появлением анизотропии в законе дисперсии, аналогичном (42.3) (см.
задачу 4). Задачи 1. Определить коэффициент поглощения звука в нематической среде. решение. Коэффициент поглощения') вычисляется как отношение Г= Л с22с 2 (см. О 34), причем диссипатнвная функция дается формулой 14кб). При этом в ней можно опустить член Ь~/т. Действительно, как уже указано, молекулярное поле ЬР к, и потому й,1у к, между тем, как остальные 2 2 ') Мы обозначаем здесь эту величину через Г, во избожание путаницы с диссипативным коэффициентом у. 234 тэ! «| мьхапикА ткидких кгисталлов члены в 77 пропорциональны более низкой степени волнового вектора — й~, Простое вычисление приводит к следующему результату ): Г = (цт + цз') -Р 2(т12+ т12 — цт — цз) соз В 4- 2 ( 2 2 + (цт -Р цг + т12 — 2т1з — 2тй) соз В т)ттт + (тт1 — мз ) соз В) ~ — — — ( ~, ср где  — угол между к (и том самым «) и и.
Вычисление теплопроводностной части поглощения полностью аналогично такому же вычислению для обычной жидкости -- см. У1, з 79 (сг, с,, -- теплоемкости единицы массы вещества). 2. Найти закон дисперсии быстрых сдвиговых колебаний. Решение. Для плоской волны (» т ехр г(кг — иЛ)) уравнение (42.9) принимает вид — трате, = — т'А,ар -Р 2Ива,ю Для несжилтаемого нематика вязкий тензор напряжений дается формулой (41.7), и простое вычисление (с учетом поперечпости», «к = 0) приводит уравнениЕ к виду ) трл« = ткар -Р ат й « -Р азкзп(п«) + азИктп«), где 1 2 ат = цт -Р— (цз — 2цт) соз В, 2 1 аз = — (цз — 2цт) -Р Дз + тЛ вЂ” 2цз) соз В, 2 1 аз = — (цз — 2цт) сов В, 2 где В . — угол между 12 и п. Умножив уравнение (1) на 12, получим формулу, определяющую колебания давления по колебаниям скорости: (2) др = 212(п«Яаз + ат соз В).
Искомый же закон дисперсии определяется поперечными компонентами уравнения (1). Умножив это уравнение на [ИЦ, получим закон дисперсии lт~ 12' / ., 1 тщз = — от (В) = — ~ цт яп' В + — цз соз В), Р Р 2 отвечающий колебаниям «, перпендикулярным плоскости, проходящей через векторы к и и. Закон же дисперсии для колебаний, поляризованных в указанной плоскости, получится умножением уравнения (1) на п и исключением из него др с помощью (2): й~ 2 й 1 — ° 2 1 2 тьтз = — унт (В) + аз(В) яп В) = — ~ -(цт + т1 ) зш 2В+ -цз сов 2В~.
Р р 1,4 2 ) При вычислении квадратичных воличин все колеблющиеся воличины должны, конечно, записываться в вещественном виде -- их зависимость от 1 и г дается множителями соз (Кг — 221). ) Для упрощения записи формул индекс у пз везде ниже в задачах опускаем, РАспРОстРАнкнив мАлых кОлеьлний в нвмлтикАх 235 б 42 Оба закона находятся, конечно, в согласии с качественной оценкой (42.8). 3. Найти закон дисперсии медленных сдвиговых колебаний. Решение. Для плоской волны (бп г ехр (гкг — гюс)) линеаризованное молекулярное поле Ь = Н вЂ” п(пН) = — К111с — п(п1с))(1сбп) — Кги(ибп) — Кг(1сп)~бп, где и = 1п1с) (и~ = йгвгп В).
Уравнение же (42.12) (с а,'1 из (41.7)) принимает вид г .1 — Л .14-Л вЂ” 11сбр — агlс г — агь пгСпч) — аг'АК1пч) 4- 1' — п(кЬ) — 1 — ЬСгп$с) = 0 Сг1) 2 2 агЬ11ги) = — 1 (пк)(Ьи) =1 ()кп)КА(ибп), .14- Л .14-Л 2кг 2 (2) где КА = Кг сйа В 4- Кг сое В. Далее, пишем уравнение (42.6), умноженное на и: — ка(ибп) = — (1 + Л)(п1сЯич) — (ибп). АгК 2 Исключив отсюда (чи) с помощью (2), найдем закон дисперсии колебаний, иачяризованных перпендикулярно плоскости 1с, п: ~1+Л)': гВ) юг =ВКг ~ — 4- 4а1 Для нахождения закона дисперсии колебаний, поляризованных в плоскости 1сп, проецируем уравнение (Ц на направление, перпендикулярное вектору й (в плоскости пй) и умножаем его на п; зто дает (птг)(аг+ аг згпг В) = — — (1+ Л соя 2В)Кг(1сбп), 2 где Кг = К1 61п В -~- Кг соз В. Произведя такие же операции с уравнением (42.6), получим 1 В((йбп) = — А.
(1 4- Лгоз 2В)сгпч) г; — Кгсг1сбп). 2 Исключив (пг) из обоих полученных уравнений, найдем закон дисперсии 1 1 (1+ Лсоз2В)г ) гы„=й К„1 — 4- 1, у 4(аг+агзш В) (функции агф), аг(В) определены в задаче 2). Умножив его на и, находим связь между колебаниями ъ и бп, поляризованными перпендикулярно плос- кости 1с, п: 236 мкхлиикл зкидких кгистлллоа Оба закона находятся в соответствии с качественной оценкой (42.!Ц ').
4. Найти закон дисперсии температурных колобатзий в ноподвижном нематике. Р е ю е н и е. Преобразование уравнения (40.8) для несжимаемого нема- тика производится в точности так, как это делается в случае обычной жидкости (см. У1, С 50) и приводит к уравнению — =Х* 6*6!2', Х* = — '=Х!! *,+Х (б* — ннн ). !)С рс„ Для колебаний ВТ л ехр(л1сг — иЛ) находим закон дисперсии ла = К (Х!~ соэ В Ч- Хл я1п В).
3 43. Механика холестериков Холесплерическис жидкие кристаллы (щолесгнерики) отличаются от нематиков отсутствием среди их элементов симметрии центра инверсии. Направления же и и — и директора по-прежнему остаются эквивалентными (см. У, 0 141)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
