VII.-Теория-упругости (1109685), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Дисклинация целого индекса может заканчиваться в объеме нематика. Другую категорию составляя>т дисклинации с полуцелыми индексами. Эти дисклинации неустранимы, они топологически устойчивы. Вопрос о том, какая из топологически эквивалентных структур должна фактически осуществиться в тех или иных заданных условиях, зависит от относительной термодинамической выгодности этих структур. Это задача выходит за рамки топологического анализа. Наряду с.линейными особенностями, дисклинациями, в пематической среде могут существовать также и точечные особенности. Простейший пример такой особенности точка, из которой торчат векторы и во все стороны («ежа).
Для выяснения топологической классификации точечных особенностей снова обратимся к отображениям в пространстве вырождения на единичную сферу. Выберем в заполненном нематиком физическом 7 пространстве две точки А и В, соединенные некоторым контуром 7б окружающим ° О особую точку О, как показано на рис. 32.
На единичной сфере контуру у отвечает определенный контур Г. Будем теперь вра- Рис. 32 щать контур у вокруг прямой АВ. После полного оборота, когда контур совместится сам с собой, он опишет в физическом пространстве замкнутую поверхность о. Ке отображение Е, описываемое контуром Г, покроет единичную сферу, возможно., более чем один раз. Число Х покрытий единичной сферы отображением Е является топологической характеристикой особой точки. Отображение Е можно представить 218 гд г| мкххпикл жидких кгистхллов себе как натянутую на сферу замкнутую пленку: очевидно, что ее никак нельзя (не производя на ней каких-либо разрезов) стянуть в точку. Этим выражается неустранимость особенности.
Если Х = О, то пленка вообще не охватывает сферу. Это отвечает отсутствию особенности или ее устранимости такую пленку можно стянуть в точку. Для особых точек в нематике знак Х не имеет смысла: его изменение означает лишь изменение направлений п во всем пространстве на обратные, что не отражается на состоянии нематика. Число Х, характеризующее точечную особенность, может быть только целым. Легко видеть, что полуцелое Х означало бы в действительности существование неустранимой линейной, а не точечной особенности. Так, если Х покрывает половину сферы (Л' = 1/2), то это значит, что, проследив за какой-либо одной точкой на у, мы найдем, что ее отображение описывает на сфере контур вида Г1~2 (рис.
31), что свидетельствовало бы о наличии неустранимой дисклинации с индексом Франка и = 1/2 ). В связи с обсуждением топологических свойств особенностей в нематиках остановимся кратко на топологическом истолковании дислокаций -- особых линий в кристаллических решетках. Представим себе неограниченную кристаллическую регпетку и введем оси лы лз, жэ, направленные вдоль трех основных периоДов Решетки, величины этих пеРиоДов пУсть бУДУт а1, аэ, аа. Энергия решетки не меняется при ее параллельных сдвигах на любые расстояния вдоль осей ж1, хз, жз. Области изменения параметров вырождения (величин сдвигов) отрезки длины а1, ай, аз, причем у каждого отрезка обе его концевые точки рассматриваются как эквивалентные (поскольку сдвиг на период совмещает решетку саму с собой, т.
е. оставляет состояние решетки тождественно неизменным). Отрезок с эквивалентными концами топологически совпадает с окружностью. Таким образом, пространство вырождения кристаллической решетки представляет собой трехмерную область, построенную на трех окружностях.
Эту область можно представить себе как куб, противоположные грани которого попарно эквивалентны, или, что то жс самое, как трехмерную поверхность тора в четырехмерном пространстве ). На таком торе существуют не стягиваемые в точку контуры Г, каждый из которых характеризуется тремя целочисленными топологическими инвариантами пы ыг, пз —. числами обходов трех образующих тор окружностей. Если контур Г образ контура у, ') При целом М подобные рассуждения не привели бы к аналогичному выводу, поскольку дисклинация целого индекса устранима, а отображение с целым Х отвечает неустранимой особенности.
) Подобно тому, как квадрат с попарно эквивалентными противоположными сторонами топологически эквивалентен двумерной поверхности тора в трехмерном пространстве. 219 1 40 у лиивпия движения иилглтикои обходящего в физическом пространстве особую линию (дислокацию), то три его инварианта совпадают с тремя компонентами вектора Ьюргорса (измеренными в единицах соответсгвующих периодов п1, иа, аа). Таким образом, дислокации топологически устойчивые неустранимые особые линии, а их векторы Бгоргерса топологические инварианты.
9 40. 'Уравнения движения нематиков Состояние движущейся нематической среды определяется распределениями в пространстве четырех величин: директора и, плотности массы р, скорости и и плотности энтропии Я. Соответственно этому полная система гидродипамических уравнений движения нсматика состоит из четырех уравнений, определяющих производные по времени от указанных величин (3.1.
Егйееп, 1960; Е.м. Ееа1гег 1966) ). Начнем о уравнения для директора. Гсли нематик находится в равновесии (так что Ь = О) и движется как целое с постоянной по пространству скоростью, то это уравнение должно выражать собой просто тот факт, что и значения п переносятся в пространстве с той же скоростью.
Другими словами, каждая частица жидкости перемещается в пространстве со своим значением и. Это выражается равенством нулю полной (или, как говорят, субстанциональной) производной по времени — = — + (чу)п = О. (40.1) 11 ае В общем же случае произвольного двглжения в правой части уравнения появляются члены, зависящие от 1т и от производных скорости по координатам; в первом неисчезающем гидродинамическом приближении надо ограничиться членами, линейными по этим величинам.
Производные до;(дть составлягот тензор, который можно разделить на симметричную и антисииметричную части: Огв = — (д;ОЬ+ двгг,)г Пгу = — (деОЬ вЂ” дЬО,). (40.2) Для установления зависимости от й;ь достаточно заметить, что при равномерном вращении нематика как целого с угловой скоростью й, с той же скоростью будет вращаться и все поле п(г). Такое вращение описывается уравнением г1и 1 Йпг — = -[го1 о п] или — ' = Пыпы еЫ 2 гй ) Мы, частично, следуем изложоиию Р.
Ратгеев Т.С. Ьибеиеву, Р.С. МагНгв Х ЯгагЯ, Р.$. Регеггап (1971). 220 1З! У! мехАиикА !кидких кгистАллов Действительно, скорость точек вращающегося как целое тела ч = [йг); тогда го$ч = 2й и для скорости изменения директора получается такое же выражение с!и/11г = (йп1. Члены же, зависящие от !1,ь, должны быть составлены с учетом требования пс1п/Ж = О, следующего из постоянства квадрата и = 1. Таким образом, приходим к следующему общему виду «уравнения движения директораэ: — ' = йьдгь -1- Л(6!! — п,п!)пьем + !У!3 (40.3) где ) (40.4) Член Х описывает релаксацию директора к равновесию под действием молекулярного поля, а второй член в (40.3) ориентирующее действие градиента скорости на директор. 1тоэффициент 7 (с размерностью вязкости) и коэффициент Л (безразмерный) в этих членах имеют кинетическую (а не термодинамичсь оку.ю) природу ). Уравнение для временной производной плотности жидкости есть у равнение непрерывности — ~ + с11ч(рч) = О.
дл (40.5) д! Отметим, что этим уравнением, по существу, определяется гидродинамическаг! скорость как плотность потока вещества, отнесенная к единице его массы. Уравнение для временной производной скорости есть динамическое у авнение Р Нч (40.6) где и сила, действующая на единицу объема. В соответствии с изложенными в 3 2 общими рассуждениями, объемные силы могут быть представлены в виде тензорной дивергенции в'г = дьо;;ь, где о;ь тензор напряжений.
Тогда динамическое уравнение за- пишется в виде р — * = р ( — '+ (чч)о!1 = дьо,ь. 11е, !' де, (40.7) 111 д4 Вид тензора напряжений будет установлен ниже. 11 ! Обозначение М введено для более ясного выявления структуры некоторых формул ниже, а также ввиду дальнейших обобщений в 3 43. в) Отсутствие в правой части уравнения (40.3) членов с градиентами плотности и энтропии (или температуры) связано с требованиями инвариантности уравнений по отношению к пространственной инверсии и по отногпению к изменению знака и.
См. об этом подробнее в 3 43. 221 1 40 яглвпиния движниия ингллтиков (40.9) В нематической среде тензор коэффициентов теплопроводности лс;ь имеет две независимые компоненты и может быть представлен в виде эс1ь = лг9п1пй + Рг,(дй — п1пй), 140.10) где лг9 и ось описывают теплопроводность в продольном и поперечном (по отношению к и) направлениях. Закон сохранения энергии в гидродинамике выражается уравнением вида — — + Е1 + с11т С~ = О, (40.11) где Е - плотность внутренней энергии, а Л,1 . - плотность потока энергии. Плотность энергии Е = Ео+ Е4, где Ео(р, Е) относится ') Это уравнение может быть представлено в эквивалонтпом виде дд дд д — — = — — 4- (те) — = О, дс р дс р р выражающем постоянство переносимой частицами жидкости энтропии, отнесенной к единице массы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
