VII.-Теория-упругости (1109685), страница 38
Текст из файла (страница 38)
11 '2' 140); отметим, что для единичного вектора п(г) в силу тождества А7п~ = 0 справедливо равенство (пгоС и) = — (пху)п1 (36.2) поэтому последний член в (36.1) может быть записан также и в эквивалентной форме Лз((п'Г)п)2712. Энергия (36.1) играет в механике нематиков роль, аналогичную роли упругой энергии деформированного твердого тела, и именно ее существование придает этой механике некоторые черты теории упругости ).
Три квадратичные комбинации г1роизводных в (36.1) независимы друг от друга: каждая из них может быть отлична от пуля при равных нулю двух других. Поэтому условие устойчивости недеформированного состояния требует положительности всех трех коэффициентов лы к2, лз (функции плотности и температуры); мы будем называть их модулями йпрргосп1п нематика (их называют также модулями Франка). Упомянем, что деформации, в которых отлична от нуля лишь одна из величин с)1тп, пгоСп или (пгоСп), называют соответ- 11 1 Деформирование жидкого кристалла приводит, вообще говоря, к его диэлектрической поляризации н соответственяо к возникновению электрического поля (см.
Ъ'111, 1 17); этот эффект обычно слаб, и мы пе будем рассматривать его влияние на механические свойства среды. Мы не будем также рассматривать влияние, которое оказывает на свойства жидких кристаллов внешнее магнитное поле; ввиду анизотропии магнитной (фактически диамагнитной) восприик1чивости нематика магнитное поле оказывает на него ориентирующее действие.
203 стАтичиокии диФОРмАции иемАГикОВ б ~ Рог = — ~ НбпЛ; (36.5) где Н вектор с компонентами Н; = двл.ЬС вЂ” —, яЬ, = дГ дГ (36.6) д1И дСд1п,) Величина Н играет роль поля, стремящегося «выпрямитьэ направления и во всем объеме жидкого кристалла, его называют молекулярным полем. Уравнение же (36.3) принимает вид / (Н+ Лп) бпдС' = О, откуда ввиду произвольности вариации бп находим уравнение равновесия в виде Н = — Лп.
Отсюда Л = — Нп, т. е. продольная компонента этого уравнения удовлетворяется за счет выбора Л. Поэтому фактически условие равновесия сводится к требованию коллинеарности векторов Н и п в каждой точке среды; продольная же компонента Н не имеет физического смы~1а. Таким образом, условие равновесия можно записать в виде Ь=Н вЂ” п(пН) =О, (36.7) введя вектор Ь, для которого пЬ = О. Найдем явное выражение молекулярного поля, соответствующего свободной энергии (36.1).
Для проведения дифференцирования по дьп1 замечаем, что ЖР п = д,п;, гоС1 п = ейи дЬп1 (где е1ы антисимметричный единичный тензор), и поэтому д 111Р и д(д.п,) — 1Ь1 д гоС1 п = еи и д(д«п,) В результате получим для тензора кгн выражение кы = Хсбеь г)1г п+ Хэ(пгоС п)п1е1Р1 + Кз'ОпгоС п1п)~ е1ь,. (36 8) Дальнейшее дифференцирование, согласно определению (36.6), приводит к следующей довольно сложной формуле для молеку- лярного поля: Н = "7(Х1 г)1х п) — (Кэ(п гоС п) гоС и + гоС (Кз(п гоС п)п) ) + + (Ка[~пгоС п1 гоС п) + гоС )Кап|и гоС пЦ). (36.9) Второй член интеграл по поверхности тела существен лишь для нахождения граничных условий.
Полагая пока бп = О на границах, находим для вариации полной свободной энергии 204 сл ы михлпикл жидких квиотлллов Граничные условия к уравнениям равновесия не могут быть установлены в общем виде: они зависят не только от упругой энергии (36.1), но и от конкретного рода взаимодействия жидкости с ограничивающей ее стенкой; эта поверхностная энергия должна была бы быть включена в полную свободную энергию, минимальность которой определяют условия равновесия. срактически эти поверхностные силы обычно настолько велики, что именно они устанавливают направление п на границе, не зависящее от характера деформации в объеме образца. Если граничная твердая поверхность анизотропна, то это направление оказывается вполне определенным (или одним из нескольких вполне определенных).
Если же поверхность изотропна (сюда относится и случай свободной поверхности), то оказывается заданным лишь угол между и и нормалью к поверхности. Если этот утоп равен нулю, то и имеет вполне определенное направление по нормали к поверхности. Если же угол отличен от нуля, то допустимые направления и заполняют коническую поверхность с определенным углом раствора. В этой последней ситуации необходимо поставить дополнительное граничное условие. Оно устанавливается требованием обращения в нуль поверхностного интеграла в (36.4) для вариаций дп, представляющих собой повороты п вокруг нормали в каждой точке поверхности с сохранением угла наклона к ней (т.
е. вариаций, не меняющих поверхностной энергии). Такая вариация имеет вид вп = ~ип] Бр, где и — единичный вектор нормали, а Йр произвольный (в каждой точке поверхности) угол поворота. Написав также элемент поверхности в виде Я = иф, получим яыегтппвитиьбр4 = 0„ откуда ввиду произвольности д~р следует граничное условие яьг пвм мь =О, (36.10) или, направив ось и вдоль ьс (36.11) ях,пк — и, и = О. Наконец, сделаем еще следующее замечание по поводу фигурирующих в (36.1) модулей упругости. Поскольку они введены как коэффициенты в свободной энергии, ими определяются изотермические деформации тела. Легко видеть, однако, что те же коэффициенты определяют в пематиках также и эдиабатические деформации. Действительно., мы видели в 2 6, что для твердого тела различие между изотермическими и адиабатическими модулями возникает в силу наличия в свободной энергии члена, линейного по тензору деформации.
Для нематиков аналогичную роль мог бы играть член, линейный по производным дьп,. Такой 205 1 37 пгямолинеянмв дисклинхции в пемхтикхх член должен был бы быть скаляром и к тому же инвариантным по отношению к изменению знака п. Очевидно, что такой член построить нельзя 1произведение и го$ н псевдоскаляр, а единственный истинный скаляр Жг и меняет знак вместе с и). По этой причине изотермические и адиабатические модули нематика совпадают друг с другом (подобно тому, как это имеет место для модуля сдвига изотропного твердого тела -- см.
з 6). Эти рассуждения можно сформулировать и несколько иначе: в отсутствие линейного члена квадратичная упругая энергия (36.1) является первой «малой поправкой» к термодинамическим величинам недеформированного тела; в силу «теоремы о малых добавках» (см. Ъ', '2' 15), будучи выражена через соответствующие термодинамические переменные (температуру или энтропию), она одинакова для свободной энергии и для внутренней энергии. й 37. Прямолинейные дисклинации в нематиках Равновесному состоянию пематической среды при заданных граничных условиях не обязательно соответствует вск7ду непрерывное распределение п(г), в котором вектор п имел бы в каждой точке вполне определенное направление.
В механике нема- тиков необходимо рассматривать также и деформации с полями п(г), содержащими особые точки или особые линии, в которых направление и оказывается неопределенным. Линейные особенности называют дисклвнацилми. в-в ф=п/2 Рис. 27 Возможность возникновения дисклинаций можно проиллюстрировать простыми примерами. Рассмотрим пематик в длинном цилиндрическом сосуде, причем граничные условия требуют перпендикулярности н поверхности сосуда. Естественно ожидать, что в равновесии вектор и в каждой точке будет лежать в плоскости поперечного сечения цилиндра и направлен по радиусу в этом сечении (как это изображено на рис.
27 в); очевидно, 206 гд ы мвхлпикл жидких квистлллов что на оси цилиндра направление и будет при этом неопределенным, так что эта ось будет дисклинацией. Боли же граничные условия требуют параллельности направления п стенке сосуда в плоскостях его поперечного сечения, то установится распределение с векторами и, лежащими везде вдоль концентрических окружностей в этих плоскостях с центрами на оси цилиндра (рис. 27 б); и в этом случае направление и на оси будет неопределенным. Эти два примера простые частные случаи прямолинейных дисклинаций. Мы рассмотрим общую задачу о возможных распределениях п(г) в прямолинейных дисклипациях в неограниченной нематической среде. Очевидно, что распределение п(г) в такой дисклинации не зависит от координаты вдоль ее длины, так что достаточно рассматривать его в плоскостях, перпендикулярных оси дисклинации.
Будем считать, что и сам вектор и лежит везде в этих плоскостях. Таким образом, мы имеем дело с плоской задачей механики нематиков. Некоторые общие свойства решения этой задачи могут быть выяснены уже из общих соображений, оез рассмотрения конкретных уравнений равновесия. Введем цилиндрическую систему координат г, р, и с осью и вдоль оси дисклинации.
Как уже отмечено, распределение п(г) не зависит от координаты ю Оно не может зависеть также и от координаты г, поскольку в поставленной задаче (дисклинация в неограниченной среде) пет никаких параметров с размерностью длины, с помощью которых могла бы быть построена безразмерная (каковой является п(г)) функция переменной г. Таким образом, искомое распределение зависит только от угловой переменной; и = п(~Р) Введем угол ф между и и радиус-вектором, проведенным в плоскости в = сопвФ в данную точку (рис. 28): компоненты двумерного (в этой п,лоскости) вектора и: и„= сов ф, пя — — вш ф. — — — Полярный угол сд отсчитывается от некоторого избранного направления в плоскости полярной оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
