VII.-Теория-упругости (1109685), страница 37
Текст из файла (страница 37)
'*= ах' "'= 1- ..., Э. (сьь (13.1)). Скорость распространения этих волн равна Вычисление приводит к результату: ш пЗсг 4-4с, — бе~с, Сс," эгТо Р (1-~-оад)э~ 2р 13 с'с,"(с,' — с') с',(с' — с',) 9С2 Для волн с направлением колебаний, перпендикулярным направлению волны, ил = 0 в затухание обусловлено одной только вязкостью 9. Коэффициент затухания для таких случаев всегда определяется формулой 2рсэ К этим случаям относится также и затухание крутильных колебаний в стержнях. 3.
Определить коэффициент затухания поперечных собсгвенных колебаний стержня (с частотами, удовлетворяющими условию ш >> у/Ь, л э толщина стержня). Р е ш е н и е. Основную роль в затухании играет теплопроводность. Согласно 8 17 имеем в каждом элел1енте объема стержня х х н„= —, и = оуэ = — сгад— Л В (изгиб в плоскости хх): при ш » у/Ь~ колебшгия адиабатичпы. Нри слабом изгибе радиус кривизны В = 1/Х", так что и„= (1 — 2оад) хХ (штрих означает дифференцирование по ). Наиболее быстрое изменение температура испытывает в направлении поперек стержня; поэтому (ЧТ)э (дТ/дх)~.
С помощью (34.1) и (34.2) получаем для средней диссипации энергии во всем стержне ~'Х эй 9с„э (5 — площадь сечения стержня). Среднюю полную энергию можно найти как удвоенную потенциальную энергию: Еэд1э ~ Х" Зх. Окончательно получим для коэффициента затухания мТо ЯЕад 181э С,', 196 'ГВПЛОПРОВОДПООТЬ И ВЯЗКОС',ТЬ ТВЕРДЫХ "ГВЛ гл. гг 4. То же для поперечных колебаний пластинки. Р е ш е н и е. Согласно (11.4) имеем в каясдом элементе объема пластинки 1 — 2гтад д~~ и„=— 2 1 †,гад дхэ (изгиб в плоскости хх). Диссипацию энергии находим по формулам (34.1) и (34.2), а полную среднюю энергию удваивая выражение (11.6). Коэффициент затухания равен 2ЯТО Еад 1 -г- пад 22ХГО Р (Зсг — 4сг) сг ЗС262 1 — аад ЗС262 (сг — сг)с~~ б.
Определить изменение собственных частот поперечных колебаний стержня, связанное с неадиабатичностью колебаний. Стержень имеет форму длинной пластинки толщины 6. Поверхность стержня предполагается теплоизолированной. Решение. Пусть Тад(х,э) есть распределение температуры в стержне при адиабатических колебаниях, а Т(х, 1) — истинное распределение температуры в нем (х — координата вдоль толщины стержня; изменением температуры вдоль плоскости рх пренебрегаем как более медленнылг). Поскольку при Т = Тад теплообмен между отделъными участкалги тела отсутствует, ясно, что уравнение теплопроводности должно иметь вид д 92Т вЂ” (Т вЂ” Тад) = Х вЂ”, дг дх2 При периодических колебаниях с частотой ш отклонения гад = Тад — То, т = = Т вЂ” Та температуры от своего равновесного значения Тл пропорциональны е '"г, и мы имеем ггэ 2аг т -т — т = — гад Х Х (штрих означает дифференцирование по х).
Поскольку гад, согласно (34.2), пропорционально ил, а компоненты и,г пропорциональны х (см. 3 17),то гад = Ах, где А . постоянная, которую нет надобности вычислять (она выпадает из окончательного ответа). Решение уравнения ко гаг т -г- — т = — Ах Х Х с граничным условием т' = 0 при х = х6112 (поверхность стержня теплоизолирована) есть эшйх 1 . ) го т = А (х — Хг, Й = (1 -г- г) 6 сов(И,г2)) )) 2Х Момент ЛХ„сил внутренних напряжоний в изогнутом стержне (изгиб в пдоскости хх) складывается из изотермической части ЛХ„„з (момент при изотермическом изгибе) и из части, связанной с неравномерной нагретостью стержня, Если ЛХ, ад есть момент при адиабатическом изгибе, то при не вполне адиабатическом процессе дополнительная часть момента уменьшается по сравнению с величиной ЛХг ад — ЛХ2 из в отношении аг'2 гг Ег'2 1+ гг(аг) = / хтгХВ l ) гад да. -Егг -Егг 197 ОЧЕНЬ ВЯЗКИЕ 'КИДКОССГИ Определяя при произвольной частоте аз модуль Юнга Е„как коэффициент пропорциональности между Мр и 1р,ЗЕ (см.
(17.8)) и замечая, что Еад— — Е = ЕгТО~)(9С ) (см. (6.8); Š— нзотермическнй модуль Юнга), можем написать: Е = Е -Ь (1 -Ь у(ьз)) Ег —. 9СЕ Вычисление дает для 1(ьз) Выражеяие При ы — з со получаем, как и должно было быть, з' = 1, так что Е = Еад, а при ьз — з О з" = О и Ео = Е.
'1астоты собственных колебаний пропорциональны корнзо из модуля Юнга (см. задачи 4 6 З 25). Поэтому имеем ЕТОг1 . = „. [1 -~ У(~.) 18С„1 ' где азо — значения собственных частот при полной адиабатнчности колебаний. Это аз комплексно. Разделяя действительную и мнимую части (аз = ю + + ззе), полУчаем окончательно Дла собственной частоты ЕТог 1 а)з Я вЂ” э|п Я 1 ьз =азо 1— ЗСр 8 с118 +соз8 и для коэффициента затухания 2ЕТОгу ~ 1 )збч-эзпб1 ЗСрй ь сЬ6 Ь соэ6 где аводено обозначение б = Ь(озе/2Х)~з . При болыпих значениях 8 частота аз стремится, как и следовало, к азе, а коэффициент затухания к 2ЕТО~Х ЗС„йг в согласии с результатом задачи 3. Малые же значения 6 соответствуют почти изотермическим условиям; в этом случае ы=ыо(1 " ) =.о( — ') а коэффициент затухания ЕТгог)зг азо.
18ОС„х 8 35. Очень вязкие жидкости Для типичных жидкостей уравнения Навье- Стокса применимы до тех пор, пока периоды движения велики по сравнениго с молекулярными временами. Это, однако, ие относится к очень вязким жидкостям. Для таких жидкостей обычные гидродинамические уравнения становятся неприменимыми уже при 198 ТЬПЛОПРОВОДНОГТЬ И ЯЯЗКООТЬ ТВВРДЫХ ТВЛ ГЛ.
Ч гораздо бблыпнх периодах движения. Существуют вязкие жидкости, которые в течение достаточно малых (но в то же время больших по сравнению с молекулярными) промежутков времени ведут себя, как твердые тела (например, глицерин, канифоль). Аморфные твердые тела (например, стекло) можно рассматривать как предельный случай таких жидкостей с весьма большой вязкостью. Свойства этих жидкостей могут быть описаны следующим способом (предложенным Максвеллом). В течение малых промежутков времени они упруго деформируются. Пош1е прекращения деформации в них остаются напряжения сдвига, затухающие, однако, со временем, гак что по истечении достаточно большого промежутка времени никаких внутренних напряжений в жидкости практически пе остается.
Пусть т есть порядок величины времени, в течение которого происходит затухание напряжений (т называют иногда максвелловским временем релаксации). Предположим, что жидкость подвергается воздействию некоторых переменных внешних сил, периодически меняющихся со временем с частотой ш.
Если период 1/ь1 изменения сил велик по сравнению с временем релаксации т, т. е. ыт « 1, то рассматриваемая жидкость будет вести себя, как обычная вязкая жидкость. Напротив, при достаточно больших частотах ш (когда ыт» 1) жидкость будет вести себя, как аморфное твердое тело. Соответственно таким «промежуточпыма свойствам рассматриваемых жидкостей их можно характеризовать одновременно коэффициентом вязкости 11 и некоторым чмодулем сдвига» и. Легко получить соотношение, связывающее друг с другом порядки величин 11, и и времени релаксации т. При воздействии периодических сил с достаточно малой частотой, когда жидкость ведет себя, как обычная, тензор напряжений определяется обычным выражением для вязких напряжений в жидкости, т.
е. веь = 211и1ь = — 2щ1ви1ы В обратном предельном случае больших частот жидкость ведет себя, как твердое тело, и внутренние напряжения должны опРеДелЯтьсЯ по фоРмУлам теоРии УпРУгости, т. е. О1Р = 2Ри;в (речь идет все время о эдеформациях чистого сдвигаР, так что предполагается1 что ин = О, Он = 0).
При частотах порядка и 1~т напряжения, определяющиеся этими двумя выражениями, должны совпадать по порядку величины. Таким образом, имеем 11н/Лт р:и/Л, откуда (35.1) и т11. Это и есть искомое соотношение. 199 ~ аа О'геиь Вязкие жидкости Выведем, наконец, уравнение движения, качественно описывающее поведение рассматриваемых жидкостей. Для этого будем исходить из наиболее простого предположения о законе затухания внутренних напряжений (после прекращения движения); именно, будем считать, что оно происходит по простому экспоненциальному закону, чему соответствует уравнение гггт ь 1 = — — о,;ы ггг т С другой стороны, в твердом теле было бы гтгв = 2ри,ь, и потому сЬ,Ь, Ни,г г1г ггг Легко видеть, что уравнение (35.2) + — сгие = 2р приводит к правильным результатам в обоих предельных случаях медленных и быстрых движений, а потому.
может служить интерполяционным уравнением для промежуточных случаев. Так, для периодического движения, когда иггв и гг;ь зависят от времени посредством множителя е ™г имеем из (35.2) 1 — идсггь + — гггя = — 2гьгРигЫ т откуда Ггьг = и и1В. (35.3) 1 + Ц(Егт) При ьгт» 1 эта формула дает о;ь = 2ри;ьг т. е. обычное выражение для твердых тел, а при ьгт (< 1 гтгв = 2гдгьггггЬ = 2РтУггв .
- обычное выражение для жидкости с вязкостью рт. ГЛАВА 1г1 МЕХАНИКА хКИДКИХ КРИСТАЛЛОВ ') 'й 36. Статические деформации нематиков Жидкие кристаллы представляют собой с макроскопической точки зрения анизотропную текучую среду. Механика этих сред несет в себе черты, свойственные как обычным жидкостям, так и упругим средам, и в этом смысле занимает положение, промежуточное между гидродинамикой и теорией упругости. Существуют различные типы жидких кристаллов. Категорию немагпичсских жидких кристпаллон (или, как говорят для краткости, нелсагпикон) составляют среды, которые в своем недеформированном состоянии однородны не только макро-, но и микроскопически; анизотропия среды связана только с анизотропной ориентацией молекул в пространстве (см.
Ъ', ~ 139, 140). Подавляющее болыпинство известных нематиков относится к простейшему их типу, в котором анизотропия полностью определяется заданием в каждой точке среды единичного вектора п, выделяющего всего одно избранное направление; вектор н называют дпрекгпороль При этом значения п и — и, различающиеся лишь знаком, физически эквивалентны, так что выделенной является лишь определенная ось, а два противоположных направления вдоль нее эквивалентны.
Наконец, свойства этого типа нематиков (в каждом элементе их объема) инвариантны относительно инверсии изменения знака всех трех координат ). Ниже мы рассматриваем только этот тип нематических жидких кристаллов. Таким образом, состояние нематической среды описывается заданием в каждой ее точке наряду с обычными для жидкости величинами — плотности р, давления р и скорости ч — еще и директора и.
Все эти величины входят в качестве неизвестных функций координат и времени в уравнения движения нематика. В равновесном состоянии неподвижный нематик, не находящийся под действием внешних сил (в том числе со стороны ограничивающих его стенок), однороден: во всем его объеме ) Эта глава написана совместно с Л.П. Пнтаевским. е) Пематики, не инвариантные относительно инверсии, неустойчивы по отноглспию к деформации, превращающей их в так называемые холестерики — см. ~ 43. 201 статичьскии двФОРмации ньмАтиков и = сопэС. В деформированном же нематике направление директора медленно меняется по пространству; медленность подразумевается здесь в обычном для макроскопической теории смысле: характерные длины, на которых деформация существенно меняется, велики по сравнению с молекулярными размерами, так что производные дп17'дше должны рассматриваться как малые величины.
В этой главе мы будем относить все термодинамические ве11ичины к единице объема деформированного тела, а нс к единице объема недеформированного, как в предыдущих главах. Определенная таким образом плотность свободной энергии Е пематической среды складывается из свободной энергии недеформированного нематика Го(Р, т) и энеРгии дефоРмации Гя. пос11еднЯЯ представляет собой квадратичное по производным от и выражение, обтций вид которого (С. И7. Овеепе 1933; Г.С. Епанча, 1958; ,1.ь. ЕР1СЫеп, 1962) Ея = Š— Ео = — '(с)1уп) + — э(пгоСп)2+ — э(пгоСп)~ (36.1) 2 2 2 (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
