VII.-Теория-упругости (1109685), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Поскольку смещения и точек среды по обе стороны поверхности различаются на величину Ь, то это изменение дается произведением б1' = Ь сК = 1бх т) Ь с11' = бх 1тЬ) с11'. (28.1) В связи с этим возможны две существенно различные физические ситуации. В одной из них б'у' = О., смещение линии дишюкации не связано с изменением объема. Так будет, если смещение происходит в плоскости, определяемой векторами т и Ь.
Эту плоскость называют плоскостью скольжения данного элемента дислокации. Огибающую семейства плоскостей скольжения всех элементов длины петли Р называют поверхностью скольжения дислокации; она представляет собой цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными вектору Бюргерса Ь ). Физическая особенность плоскости скольжения состою ит в том, что только в ней возможно сравнительно легкое механическое перемещение дислокации (о котором в этом случае обычно говорят как о се скользсее»сии) 2), С изменением площади поверхности Яп при смещении дис; локации связано изменение сингулярной деформации (27.8), со- ) Возможные системы плоскостей скольжения в анизотропной среде фактически определяются структурой ее кристаллической решетки. в) Так, для передвижения изображенной на рис.
22 краевой дислокации в ее плоскости скольжения (плоскость лх) дос саточно сравнительно небольших перемспсений атомов, в результате которых «лишними» будут оказываться все более удаленные от плоскости ув кристаллические полуплоскости. действие поля нлпеяжкггггй нв дислокацикз средоточеннос на линии 1У. Его можно представить в виде ди~ 1 = — (Ьг(бх т~й+ Ьь(дх т)г)д(с)г (28.2) где д(с) введенная в 3 27 двумерная д-функция. Подчеркнем, что эта деформация однозначно определяется формой липин тг и смещением дх., в отличие от выражения (27.8), зависящгто от произвольного выбора гтоверхности Бгз. Выражение (28.2) описывает локальную неупругую остаточную деформацию (ее называют пластической), не сопровождающуюся упругими напряжениями.
Связанная с ней работа, совершаемая в конечном счете внешними источниками, дается интегралом ) с,,' бная Л' (ср. (3.2) ), где под биге надо понимать полное геометрическое изменение деформации. Оно складывается из упругой и пластической частей; нас интересует здесь только работа, связанная с пластической частью '). После подстановки ди~,", ~ из (28.2), ввиду наличия в нем д-функции, остается интегрирование только вдоль длины дислокациопнои петли тг: бйп: ~гтгь ент бх~тт Й' В (28.3) Коэффициент при бхг в подынтегральном выражении есть сила 1п действующая на единицу длины линии дислокации.
Таким образом, гг — егытьсг~т Ьт 'г с г (28.4) (М.О. Репей,,1.8. КоИег, 1950). Отметим, что сила Г перпендикулярна вектору т, т. е. линии дислокации. Формула (28.3) допускает наглядную интерпретацию. Согласно сказанному выше смещение элемента линии дишюкации сводится к разрезанию некоторой площадки ит и сдвигу верхнего берега разреза относительно нижнего на длину Ь. Приложенная к ггт сила внутренних напряжений есть сг, г((ы а производимая (с) этой силой при сдвиге работа есть Ь,гт, с(1ы (е) Поскольку в написанном виде формула (28.4) относится только к перемещению в плоскости скольжения, имеет смысл сразу ) При выводе уравнений движения виртуюгьные пластическую и уггрусую деформации надо рассматривать как независимые переменные.
Интересуясь уравнением движения дислокации, надо рассматривать только пластическую деформацию. 170 ДИСЛОКАЦИИ 1З! 1Ч же написать проекцию силы Г на эту плоскость. Пусть»г — единичный вектор нормали к линии дислокации в плоскости скольжения. '1'огда = К»г = е«»ь1т«;тьб„,о~ (е) или 14 о1 ш 11«л ~ ге) 128.5) где м = 18«т~ вектор нормали к плоскости скольжения.
Поскольку векторы Ь и и взаимно перпендикулярны, то (выбрав вдоль них две из координатных осей) мы видим, что сила 7А определяется всего одной из компонент тензора о,„,. Если же смшценис дислокации происходит нс в плоскости скольжения, то бГ ~ О. Это значит, что смещение берегов разреза привело бы к появлению избытка вещества иногда один берег «перехлестывает» другой) или к его недостаче 1образование щели между раздвигающимися берегами).
Этого нельзя допустить, если полагать, что в процессе движения дислокации оплошность среды пе нарушается и ее плотность остается неизменной 1с точностью до упругих деформаций). Устранение избыточного вещества или заполнение его нехватки происходит в реальном кристалле диффузионным способом 1ось дишюкацин становится источником или стоком диффузионных потоков вещества) ). О перемещении дислокации, сопровождающемся диффузионным «залечиванием» дефектов сплошной среды, говорят как о ее переползании 2). Из сказанного ясно., что, допустив переползание дислокации в качестве возможного ее виртуального перемещения, необходимо считать, что оно, как и скольжение, происходит без локального изменения об"ьема среды. Это значит, что из деформации (28.2) надо вычесть ответственную за изменение объема часть 1 1пл) -биьии ', т. е.
описывать пластическую деформацию тензором би~" ) = ( — б ~бх т)ь + — Ьь~бх т); — — б,ьЬ~бх т)) б(~). 128.6) Соответственно вместо 128.4) получим следующую формулу для ') Так, изображенная на рис. 22 дислокация может перемещаться в плоскости рх лишь за счет диффузионного ухода вещества из «лишней» полу- плоскости. ~) Поскольку такой процесс лимитируется диффузией, он может фактически играть роль лишь при достаточно высоких температурах. 171 действие поля илпряжиний иа дислокацикэ действующей на дислокацию силы '); ( 1е) 1 1е) 1 Л = Е1мтйбт ) П1т, 51тртпп/ 3 (28.7) '1Х ИгеегЬгпап, 1965).
Полная сила, действующая на всю дисло- кационную петлю, равна Р, = е;ыдп, ~ср~ „— — Атер„„) г(хь. ( (.) 1 1,)1 3 и (28.8) Она отлична от нуля только в неоднородном поле напряжений (при п1,'„= сопв1 интеграл сводится к ф с1хь = О). Если на протя- жении йетли поле напряжений меняется мало, то Г, = е,ыЬт 1тп, — -бь и„„( у тэхр р(хь д (1.) 1 ~,)1 г дхр 3 (петлю представляем себе расположенной вблизи начала координат).
Входящие сюда интегралы образуют антисимметричный тензор фх„йхь = — фхь Йхр. Имея это в виду, легко выразить силу через введенный в (27.12) дислокационный момент с1ы ): 128.9) дх, 31, ' дх, дх,) В однородном поле напряжений эта си.ла, как уже было указано, обращается в нуль. При этом, однако, на петлю действует момент сил тт; = ен фх~( о)1, который тоже можно выразить через дисчокационный момент: ( М 1 1е)1 Кр = еингрьт '1 п~~ оьпппп / 3 128.10) ы Представляется очевидным, что всестороннее (равномерное) сжатие кристалла ие должно приводить к появлению силы Г; выражение (28.7) этим свойством обладает. еэ ) При выводе используется также формула е,ые, = бьтбы — бьет и уравнения равновесия до (дх = О.
172 дислокации лл! лч РЬ ~ УЬ [ (х — хо)л + ух 1х + хо)х + ул х — хо х+хо (х хо) + ул (х 4 хо)х 'г у Такое поле действует на рассматриваемую дислокацию с силой, равной при- тяжению со стороны ее зеркального изображения, ч. е. дислокация притяги- вается к поверхности среды с силой УЬ' 4тхо 3. Найти силу взаимодействия двух параллельных краевых дислокаций в изотропной среде, расположенных в параллельных плоскостях скольжения. Р е ш е н и е. Пусть плоскости скольжения параллельны плоскостям хх, а ось х параллельна линиям дислокаций; как и в задаче 4 з 27, полагаем г, = — 1, Ь = Ь. Тогда сила, действующая на единипу длины дислокации в паче упругих напряжений п,ь, имеет компоненты 7л = Ьсл„ю ~„= -Ьлг„.
В данном случае щл, определяются выражениями, найденными в задаче 4 Ь' 27. Если одна дислокация совпадаеч с осью х, то она действует на вторую дислокацию, проходящую через точку х, у на плоскости ху, с силой, компоненты которой в полярных координатах равны ЬлЬлВ ЬлбгВ, р вш2уо, В = 2я(1 — и) Проекция же силы на плоскость скольжения равна Ь Ь В соз ул сов 2уч г Она обращается в нуль при ол = яЛл2 и при уо = ялл4.
Первое из этих поло- жений соответствует устойчивому равновесию при ЬлЬл > О, а второе — при ЬлЬл < О. Задачи 1. Найти силу взаимодействия двух параллельных винтовых дислокаций в изотропной среде. Р е ш е н и е. Сила, действующая на единицу длины одной дислокации в поле напряжений, создаваемых второй дислокацией, определяется по формуле (28.4) с помощью результатов задачи 2 2 27. Она имеет радиачьноо направление и равна УЬ,Ьх 2хг Дислокации одного знака (ЬлЬх > 0) оттюлкиваются, а дислокации разных знаков 1ЬлЬх < 0) притягиваются. 2.
Прямолинейная винтовая дислокация расположена параллельно плоской свободной поверхности изотропной среды. Найти действующую на дислокацию силу. Решение. Путть плоскость ух совпадаот с поверхностью тела, адислокация параллельна оси и имеет координаты х = хо, у = О. Поле напряжений, оставляющее поверхность среды свободной, описывается суммой полей дислокации и ее зеркального отражения в плоскости ух, как если бы они были расположены в неограниченной среде: 173 ИЕПРЕРЫВИОЕ РАСПРЕДЕЛЕПИЕ ДИСЛОКЛЦИйЛ й 29. Непрерывное распределение дислокаций Если в кристалле имеется одновременно много дислокаций, находящихся на относительно малых (хотя, конечно, и болыпих по сравнению с постоянной решетки) расстояниях, то становится целесообразным их усредненное рассмотрение. Другими шювами, рассматриваются «физически бесконе шо малые1 элементы обьема кристалла, через которые проходит достаточно много дислокационных линий.
Формулировка уравнения, выражающего основное свойство дислокационных деформаций, достигается естественным обобщением уравнения (27.6). Введеел тензор рль (тензор тллотности дислокаций) такой, чтобы его интеграл по поверхности, опирающейся на любой контур Ь, был равен сумме Ь векторов Бюргерса всех дислокационных линий, охватываемых этим контуром; ~ яьрль 117', = бы 129.1) Непрерывные функции р;ь описывают распределение дислокаций в кристалле. Этот тензор заменяет собой теперь выражение в правой части уравнения (27.6)1 (29.2) дхл Как видно из этого уравнения, тензор р,ь должен удовлетворять условию др' =О (29.3) (в случае одиночной дисюкации это усювие выражает собой просто постоянство вектора Ьюргерса вдоль линии дислокации). При таком рассмотрении дислокаций тензор тль становится перви шой величиной, описывающей деформацию и определяющей тснзор деформации согласно (27.4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
