Главная » Просмотр файлов » VII.-Теория-упругости

VII.-Теория-упругости (1109685), страница 28

Файл №1109685 VII.-Теория-упругости (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах) 28 страницаVII.-Теория-упругости (1109685) страница 282019-04-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

В обоих шгучаях 3. Определить частоты собственных колебаний струны (длины 1). Решение. Уравнение движения струны: д'Х рЯ д'Х дрэ Т дР ср. уравнение равновесия (20.17)). Грю!ичные условия: Х = 0 при р = О, 1. обственные частоты: -=( — ")"'— 4. Определить частоты поперочных собственных колебаний стержня 1длины 1) с заделанными концами. Решение. Уравнение !25.10) при подстановке в него Х = Хе(р) сов(ь414-о) приобретает вид д Хе =и Хо, Дх4 Общий интеграл этого уравнения ость 1 РО и Еур Хе = .4 сов ма -1- В сйпяр -!- С сйхе+ В вЬмы Хе = Л 1'!е!и 441 — эЬ м1) !сое мх — сЬ ! сх) — (соэ 441 — сЬ м1) (з1в ргх — эЬ ргр) ) и уравнение сов м1сЬм1 = 1, корни которого определяют собственные частоты колебаний.

Наименыпая из собственных частот равна 22,4 Еур шпйп Р рд 5. То же для стержня с опертыми концами. Решение аналогично решению задачи 4. Результат: Хе = Л е!п хе, а частоты определяются из сйп м1 = О, т. е. и= — (и=1, 2,...). Наименьшая частота есть 9,87 Е1„ П!1П Р рд Постоянные Л, В, С, В определяются из граничных условий Х = О, дХ/44р = = 0 при р = О, 1. В результате находим 150 1'Л. Ш упгугив Волны 6. То же для стержня, заделанного на одном конце и свободного иа другом. Решение. Получаем для смещения Ле = А 11соз х1 -Р сЬ х1) 1соз хг — сЬ хг) + 1яп х1 — ВЬ х1) 1яп хл — зЬ хл) ) 1закрепленный конец л = О, свободный л = 1), и уравнение сов х1сЬх1-~-1 = О для собственных частот. Наименьшая частота есть 3, 52 Е1„ Ш1П 17 рд 2.

Определить собственные колебания прялсоугольной пластинки 1длины сторон а и Ь) с опе[стыми краями. Решение. Уравнение 125.6) при подстановке в него С=Ы*,У)со (- — О) приобретает вид 4 4 с 127711 — 17 ) сЬсЬГе — х ~о = О, х = ас 1сзЕ Выбираем оси координат по сторонам пластинки. Гршсичпые условия 112.11) приобретают вид при т=б,а: У=О, =О; д'С дт при у=0,57 З=О, — =О. д'с, дуз Удовлетворяющее этим усссовиям решение есть пиГх . В.яу (о = А яп — яп — ' а Ь 1т, 71 -- целые числа), причем частоты определяются равенством 12р11 — аз) [( а ) (Ь) ] 8. Определить собственные частоты колебаний мембраны прямоугольной формы 1с длиналси сторон а и Ь).

Р е ш е н и е. Уравнение колебаний мембраны ТЬГ = рЬ~ 1ср. уравнение равновесия 114.9) ). Крам мембраны должны быть закреплены так, что З = О. Соответствусощее ращение для прямоугольной мембраны есть т7Гх . П7гу Г = А яп яп сова Ь а где собственные частоты 1т,п -- целые числа). КОЛЕВАНИЯ СТЕРЖПЕЙ И ПЛАСТИНОК 151 Все эти скорости меньше с<. 10.

Поворхность бесконечно глубокой несжимаемой жидкости покрыта тонкой упругой пластинкой. Определить связь между волновым вектороч и частотой для волн, одновременно распространяющихся но пластинке н в поверхностном слое жидкости. Решение. Выбираем плоскость пластинки в качестве плоскости 2 = 0, а ось х выбираем вдоль направления распространения волны; области жидкости пусть соответствуют 2 ( О. Уравнение движения свободной пластинки есть дгь д42 ро 1< — = — 11 д(2 дх4 (ро -. плотность материала пластинки).

При наличии жидкости к правой части этого уравнения надо прибавить силу, действуюшую со стороны жидкости на 1 см поверхности пластинки, т. е. давление р жидкости. Но давление 2 в волне выражается через потенциал скорости посредством р = — рдр,(д1 (полем тяжести пренебрегаем). Поэтому получаем у(гавнение д'С д'б др Рой — = — 11 % дог дх" д< Далее, нормальная компонента скорости жидкости на ее поверхности должна быть равна скорости точек пластинки, откуда полу. чаем у<шовио =о Потенциал р должен удовлетворять во всем обьеме жидкости уравнению д2 дг = О.

(3) дх' дгг Ищеь< С в виде бегу.щей волны <,' = Сое'м ™; соответственно этому берем решение уравнения (3) в виде затухаюшей в глубь жидкости поверхностной волны (2 — О 2 22 = (гое' ' е '. Подстановка этих выражений в (1) и (2) приводит к двум уравнениям для (оо и <,'о из ус ювия совместности которых получаем г й ш =Р (Р+ "Рок) (2) 9. Определить скорость распространения крутильных колебаний по стержням с сечением в вид< круга, эллипса и равностороннего троугольпика и по стержню, имеющему вид длинной прямоугольной тонкой пластинки. Решение. Для кругового сечения (радиуса Л) момент инерции 1 = хй~,(2; взяв С из задачи 1 3 16, получим для скорости значение (Р<<р) 2' 2, совпадающее со скоростью с<.

Аналогично (используя розультаты задач 2-4 3 16) получаем для стерж- ня эллиптического сечения скорость 2аЬ с<, аг -Р Ьг для стержня с сечением в виде равностороннего треугольника ~3Л)" с; для стержня в виде длишюй прямоугольной пластинки Ь 2 — с<. 152 ГЛ. Ш УПРУГИЕ ЕОЛИЫ й 26. Ангармонические колебания Вся изложенная теория упругих колебаний является приближенной в том жс смысле, в каком приближенна вообще вся теория упругости, основанная на:законе Гука. Напомним, что в ее основе лежит разложение упругой энергии в ряд по степеням тензора деформации, причем оставляются члены до второго порядка включительно. Соответственно этому компоненты тензора напряжений оказываются линейными функциями компонент тензора деформации, и уравнения движения линейны. Наиболее характерной особенностью упругих волн в этом приближении является то, что всякую волну можно представить в виде простого наложения, т.

е. в виде линейной комбинации отдельных монохроматических волн. Каждая из этих монохроматических волн распространяется независимо от остальных и может существовать также и сама по себе, не сопровождаясь какими-либо посторонними движениями. Можно сказать, что различные монохроматические волны, одновременно распространяющиеся в одной и той же среде, «не взаимодействуют» друг с другом.

Все эти свойства, однако, исчезают при переходе к следующим приближениям. Эффекты следующих приближений хотя и являются малыми, но для некоторых явлений могут играть основную роль. Эти эффекты обычно называют ангармоническижи в связи с тем, что соответствующие уравнения движения нелинейны и не допускают простых периодических (гармонических) решений. Мы рассмотрим здесь ангармонические эффекты третьего порядка, происходящие от кубических по деформации ч.яснов в упругой энергии.

В общем виде соответствующие уравнения движения оказываются очень Громоздкими. Выяснить же характер возникающих эффектов можно с помощью следу|ощих рассуждений. Кубические члены в упрутой энергии дают квадратичные члены в тензоре напряжений, а потому и в уравнениях движения. Представим себе, что в этих уравнениях все линейные члены перенесены в левые, а все квадратичные в правые части равенств. Вешая эти уравнения методом последовательных приближений, мы должны в первом приближении вовсе отбросить квадратичные члены. Тогда останутся обычные линейные уравнения, решение по которых может быть представлено в виде наложения монохроматических бегущих волн вида сопв1 е' ~"Г с определенными соотношениями между ьэ и к. Переходя к следующему, второму, приближению, надо положить и = нв + п1, причем в правой стороне уравнений (в квадратичных членах) надо сохранить только члены с иш Поскольку по удовлетворяет, по определению, однородным линейным уравнениям без правых АНГАР»ю~ичвскив колвьлния частей, то в левой части равенств члены с пв взаимно сокращаются.

В резулыате мы получим для компонент вектора п~ систему неоднородных линейных уравнений, в правой части которых стоят заданные функции координат и времени. Эти функции, получающиеся подстановкой нв в правые части исходных уравнений, представляют собой сумму членов, каждый из которых пропорционален множителю вида е'~~к' ~»~" ~~' "'~ч, или Е'й"' »к'1" ~"' » '-'~'~, ГДЕ ШМ Шт И 1СМ 1гя ЧаСтОтЫ И ВОЛНОВЫЕ векторы каких-либо двух мопохроматических волн первого приближения. Как известно, частный интеграл линейных уравнений такого вида представляет собой сумму членов с такими же экспонеициальными множителями, какие стоят в свободных членах (правых частях) уравнений, и с надлежащим образом подобранными коэффициентами.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
1,91 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6552
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее