VII.-Теория-упругости (1109685), страница 28
Текст из файла (страница 28)
В обоих шгучаях 3. Определить частоты собственных колебаний струны (длины 1). Решение. Уравнение движения струны: д'Х рЯ д'Х дрэ Т дР ср. уравнение равновесия (20.17)). Грю!ичные условия: Х = 0 при р = О, 1. обственные частоты: -=( — ")"'— 4. Определить частоты поперочных собственных колебаний стержня 1длины 1) с заделанными концами. Решение. Уравнение !25.10) при подстановке в него Х = Хе(р) сов(ь414-о) приобретает вид д Хе =и Хо, Дх4 Общий интеграл этого уравнения ость 1 РО и Еур Хе = .4 сов ма -1- В сйпяр -!- С сйхе+ В вЬмы Хе = Л 1'!е!и 441 — эЬ м1) !сое мх — сЬ ! сх) — (соэ 441 — сЬ м1) (з1в ргх — эЬ ргр) ) и уравнение сов м1сЬм1 = 1, корни которого определяют собственные частоты колебаний.
Наименыпая из собственных частот равна 22,4 Еур шпйп Р рд 5. То же для стержня с опертыми концами. Решение аналогично решению задачи 4. Результат: Хе = Л е!п хе, а частоты определяются из сйп м1 = О, т. е. и= — (и=1, 2,...). Наименьшая частота есть 9,87 Е1„ П!1П Р рд Постоянные Л, В, С, В определяются из граничных условий Х = О, дХ/44р = = 0 при р = О, 1. В результате находим 150 1'Л. Ш упгугив Волны 6. То же для стержня, заделанного на одном конце и свободного иа другом. Решение. Получаем для смещения Ле = А 11соз х1 -Р сЬ х1) 1соз хг — сЬ хг) + 1яп х1 — ВЬ х1) 1яп хл — зЬ хл) ) 1закрепленный конец л = О, свободный л = 1), и уравнение сов х1сЬх1-~-1 = О для собственных частот. Наименьшая частота есть 3, 52 Е1„ Ш1П 17 рд 2.
Определить собственные колебания прялсоугольной пластинки 1длины сторон а и Ь) с опе[стыми краями. Решение. Уравнение 125.6) при подстановке в него С=Ы*,У)со (- — О) приобретает вид 4 4 с 127711 — 17 ) сЬсЬГе — х ~о = О, х = ас 1сзЕ Выбираем оси координат по сторонам пластинки. Гршсичпые условия 112.11) приобретают вид при т=б,а: У=О, =О; д'С дт при у=0,57 З=О, — =О. д'с, дуз Удовлетворяющее этим усссовиям решение есть пиГх . В.яу (о = А яп — яп — ' а Ь 1т, 71 -- целые числа), причем частоты определяются равенством 12р11 — аз) [( а ) (Ь) ] 8. Определить собственные частоты колебаний мембраны прямоугольной формы 1с длиналси сторон а и Ь).
Р е ш е н и е. Уравнение колебаний мембраны ТЬГ = рЬ~ 1ср. уравнение равновесия 114.9) ). Крам мембраны должны быть закреплены так, что З = О. Соответствусощее ращение для прямоугольной мембраны есть т7Гх . П7гу Г = А яп яп сова Ь а где собственные частоты 1т,п -- целые числа). КОЛЕВАНИЯ СТЕРЖПЕЙ И ПЛАСТИНОК 151 Все эти скорости меньше с<. 10.
Поворхность бесконечно глубокой несжимаемой жидкости покрыта тонкой упругой пластинкой. Определить связь между волновым вектороч и частотой для волн, одновременно распространяющихся но пластинке н в поверхностном слое жидкости. Решение. Выбираем плоскость пластинки в качестве плоскости 2 = 0, а ось х выбираем вдоль направления распространения волны; области жидкости пусть соответствуют 2 ( О. Уравнение движения свободной пластинки есть дгь д42 ро 1< — = — 11 д(2 дх4 (ро -. плотность материала пластинки).
При наличии жидкости к правой части этого уравнения надо прибавить силу, действуюшую со стороны жидкости на 1 см поверхности пластинки, т. е. давление р жидкости. Но давление 2 в волне выражается через потенциал скорости посредством р = — рдр,(д1 (полем тяжести пренебрегаем). Поэтому получаем у(гавнение д'С д'б др Рой — = — 11 % дог дх" д< Далее, нормальная компонента скорости жидкости на ее поверхности должна быть равна скорости точек пластинки, откуда полу. чаем у<шовио =о Потенциал р должен удовлетворять во всем обьеме жидкости уравнению д2 дг = О.
(3) дх' дгг Ищеь< С в виде бегу.щей волны <,' = Сое'м ™; соответственно этому берем решение уравнения (3) в виде затухаюшей в глубь жидкости поверхностной волны (2 — О 2 22 = (гое' ' е '. Подстановка этих выражений в (1) и (2) приводит к двум уравнениям для (оо и <,'о из ус ювия совместности которых получаем г й ш =Р (Р+ "Рок) (2) 9. Определить скорость распространения крутильных колебаний по стержням с сечением в вид< круга, эллипса и равностороннего троугольпика и по стержню, имеющему вид длинной прямоугольной тонкой пластинки. Решение. Для кругового сечения (радиуса Л) момент инерции 1 = хй~,(2; взяв С из задачи 1 3 16, получим для скорости значение (Р<<р) 2' 2, совпадающее со скоростью с<.
Аналогично (используя розультаты задач 2-4 3 16) получаем для стерж- ня эллиптического сечения скорость 2аЬ с<, аг -Р Ьг для стержня с сечением в виде равностороннего треугольника ~3Л)" с; для стержня в виде длишюй прямоугольной пластинки Ь 2 — с<. 152 ГЛ. Ш УПРУГИЕ ЕОЛИЫ й 26. Ангармонические колебания Вся изложенная теория упругих колебаний является приближенной в том жс смысле, в каком приближенна вообще вся теория упругости, основанная на:законе Гука. Напомним, что в ее основе лежит разложение упругой энергии в ряд по степеням тензора деформации, причем оставляются члены до второго порядка включительно. Соответственно этому компоненты тензора напряжений оказываются линейными функциями компонент тензора деформации, и уравнения движения линейны. Наиболее характерной особенностью упругих волн в этом приближении является то, что всякую волну можно представить в виде простого наложения, т.
е. в виде линейной комбинации отдельных монохроматических волн. Каждая из этих монохроматических волн распространяется независимо от остальных и может существовать также и сама по себе, не сопровождаясь какими-либо посторонними движениями. Можно сказать, что различные монохроматические волны, одновременно распространяющиеся в одной и той же среде, «не взаимодействуют» друг с другом.
Все эти свойства, однако, исчезают при переходе к следующим приближениям. Эффекты следующих приближений хотя и являются малыми, но для некоторых явлений могут играть основную роль. Эти эффекты обычно называют ангармоническижи в связи с тем, что соответствующие уравнения движения нелинейны и не допускают простых периодических (гармонических) решений. Мы рассмотрим здесь ангармонические эффекты третьего порядка, происходящие от кубических по деформации ч.яснов в упругой энергии.
В общем виде соответствующие уравнения движения оказываются очень Громоздкими. Выяснить же характер возникающих эффектов можно с помощью следу|ощих рассуждений. Кубические члены в упрутой энергии дают квадратичные члены в тензоре напряжений, а потому и в уравнениях движения. Представим себе, что в этих уравнениях все линейные члены перенесены в левые, а все квадратичные в правые части равенств. Вешая эти уравнения методом последовательных приближений, мы должны в первом приближении вовсе отбросить квадратичные члены. Тогда останутся обычные линейные уравнения, решение по которых может быть представлено в виде наложения монохроматических бегущих волн вида сопв1 е' ~"Г с определенными соотношениями между ьэ и к. Переходя к следующему, второму, приближению, надо положить и = нв + п1, причем в правой стороне уравнений (в квадратичных членах) надо сохранить только члены с иш Поскольку по удовлетворяет, по определению, однородным линейным уравнениям без правых АНГАР»ю~ичвскив колвьлния частей, то в левой части равенств члены с пв взаимно сокращаются.
В резулыате мы получим для компонент вектора п~ систему неоднородных линейных уравнений, в правой части которых стоят заданные функции координат и времени. Эти функции, получающиеся подстановкой нв в правые части исходных уравнений, представляют собой сумму членов, каждый из которых пропорционален множителю вида е'~~к' ~»~" ~~' "'~ч, или Е'й"' »к'1" ~"' » '-'~'~, ГДЕ ШМ Шт И 1СМ 1гя ЧаСтОтЫ И ВОЛНОВЫЕ векторы каких-либо двух мопохроматических волн первого приближения. Как известно, частный интеграл линейных уравнений такого вида представляет собой сумму членов с такими же экспонеициальными множителями, какие стоят в свободных членах (правых частях) уравнений, и с надлежащим образом подобранными коэффициентами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
