VII.-Теория-упругости (1109685), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Однако, не говоря уже о совершенно различной природе тех и других физических явлений, степень аналогичности уменьшается также н различием в тензорном характере соответствующих величин. ) Известным примером такого рода дефектов является тонкая двойниковая прослойка в кристалле. УПРУГИЕ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ НАЛИЧИИ ДИГ'ЛОКАЦИИ ыз 6 27 ются непрерывными в силу условий равновесия). Если на всей поверхности величина Ь скачка одинакова, то в отношении создаваемых им деформаций такой разрыв ничем не отличается от дислокации [расположенной вдоль его края). Разница состоит лишь в том, что вектор Ь не равен периоду решетки.
Положение же поверхности Ягу, о которой была речь выше, перестает быть произвольным и должно совпадать с фактическим расположением физического разрыва. С такой гюверхностью разрыва связана определенная дополнительная энергия, что может быть описано путем введения соответствующего коэффициента поверхностного натяжения. Задачи 1. Написать дифференциальные уравнения равновесия для дислокациошгой деформации в изотропной среде, выраженные через вектор смещения ). Р е ш ение.
В терминах тензора напряжений или тензора деформации уравнения равновесия имеют обычный вид: до,!.ггдхь = 0 или, подставив гг,! из [5.11)! [1) дхь 1 — 2о дх, Но при переходе к вектору и надо учесть дифференциалыюе условие [27.6). Умножив [27.6) на е,ье и упростив по г, Аг получим !) — = — [тЬ]„6[с). [2) Переписав [1) в виде 1 дш,! 1 дшы гт дшгг + 2 дх! 2 дх! 1 — 2!т дх, и подставив сюда [2), находим — — = [тЬ],6®. дш!., 1 дшп дхь 1 — 2гт дх, Переходя теперь к и, согласно [27.2), находим искомое уравнение для неод- нозначной функции п[г) в виде !Ап+ 17сйгтп = [тЬ]6[С). 1 1 — 2гт Решение этого уравнения должно удовлетворять условию [27.1).
2. Определить деформацию вокруг прямолинейной винтовой дислокации в изотропной среде. ') Физический смысл этой и других задач, относящихся к изотропной средег условен, поскольку реальные дислокации по самому своему существу свойственны лишь кристаллам, т. е.
анизотропной среде. Эти задачи, однако, представляют определенный иллюстративный интерес. )Напомним формулу е,! ег =6м6 „— 6! 6 164 гл 1ч ДИСЛОКАЦИИ Решение. Выбирав»1 цилиндрические координаты х, г> Э» с осью х вдоль линии дислокации: вектор Вюргерса: Ь, = Ь„= О, Ь, = Ь. Из соображений симметрии очевидно, что смещение п параллельно оси х и не зависит от координаты ю Уравнение равновесия (3) задачи 1 сводится к А»и, = О.
Решение, удовлетворяющее условию (27.1) '): Ь и, = — 1р. 2к У тензоров и,1. и п,г отличны от нуля лишь компоненты Ь ИЬ и, = —, и,„= 4хг 2гг' так что деформация представляет собой чистый сдвиг. Свободная энергия дислокапии (на единипу ее длины) дается интегралом Е" = — ~ 2и, 1»,, 111' = — / логарифмнчески расходящимся на обоих пределах. В качестве нижнего предела следует взять величину порядка атомных расстояний ( Ь), на которых деформация велика и макроскопическая теория неприменима.
Верхний же предол определяется размерами порядка длины б дислокации. Тогда дьэ Е Е' = — 1в —. 4я Ь Энергию же деформации в «сердцевине» дислокапии вблизи ее осн (в области с площадью сечения Ь~) можно оценить как ЦЬ». При 1п(б/Ь) >> 1 эта энергия мала по сравнению с энергией поля упругой деформации»). 3. Определить внутренние напряжения в анизотропной среде вокруг винтовой дислокации, перпендикулярной плоскости симметрии кристалла. Решение. Выбираем систему координат х, у, х так, чтобы ось» совпадала с линией дислокации 1и снова пишем Ь, = Ь). Вектор и опять имеет лишь компоненту и.
= и(х, у). Так как плоскость ху является плоскостью симметрии, то равны нулю все компоненты тензора Л,ы, у которых индекс х встречается нечетное чишю раз. Поэтому отличны от нуля только две компоненты тензора 1»,»: ди ди ди ди 11, = Л,»„,„.— -Ь Л,„„» —, и„» = Л„,,„— Ь Л„„.»,—. дх ' ' ду ' дх ' ду Введем двухмерные вектор и итснзор Л„в: и = и ., Л в = Л иы (а = 1, 2). Тогда ди и =ЛА дхл а уравнение равновесия записывается в виде ейтп = О, Искомое решение этого уравнения должно удовлетворять условию (27.1)1 у 17и п1 = Ь. ) Во всех задачах о прямолинейных дислокациях принимаем вектор т в отрицательном направлении оси -. ) Эти оценки имеют общий характер и справедливы по порядку величины для любой (ие только винтовой) дислокации.
Следует отметить, что фактически значения 1и (Ь/Ь) обычно не столь велики, так что эноргия «сердцевины» составляет заметную часть полной энергии дислокации. 165 Ь 27 УПРУГИЕ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ПА11ИЧИИ ДИСЛОКАЦИИ В таком виде задача совпадает с задачей о нахождении индукции и напряженности магнитного поля (роль которого играют 1г и уги) в апизотропной среде (с магнитной проницаемостью Л„в) вокруг прямолинейного тока, сила которого 1 = сЬ/4я.
Воспользовавшись известным из электродинамики решением этой задачи, найдем 6 Л эеэ,,хт 2к лггДЛ(Л,'э,х„хв где )Л) — определитель тензора Л в (см. Л'П1, задача 5 к Ь' ЗО). 4. Определить деформацию вокруг прямолинейной краевой дислокации в изотропной среде. Р е ш е и и е. Пусть ось з направлена вдоль линии дислокации, а вектор Бюргерса: Ь,, = 6, ЬР— — Ь, = О. Из симметрии задачи очевидно, что вектор деформации лежит в плоскости ху и не зависит от в, так что мы имеем дело с плоской задачей. Ниже в этой задаче все векторы и векторные операции— двумерные в плоскости ху. Будем искать решение уравнения 1 1зп+ У'йгп = -615(г) 1 — 2п (см. задачу 1; 1 —. единичный вектор вдоль оси у) в виде и = п + зэ, где 1о> и -- вектор с составляющими 1о> Ь <о> в, = — 1р, я„= — !пг 2я 2я.
6 (мнимая и вещественная части от — 1в (х + 1у)); г, 71 .— полярные коорди2я наты в плоскости ху. Этот вектор удовлетворяет условию (27.1). Поэтому задача сводится к нахождению однозначной функции эг. Поскольку, как легко убедиться, йу и'о' = О, 1ЛИЬО = 63б(г)., то зу удовлетворяет уравнению 1 (зэг+ T йг гэ = — 26зд(г). 1 — 2п Это — уравнение равновесия под действием сил, сосредоточенных вдоль оси х с объемной плотностью 6(г) (ср.
уравнение (Ц в задаче к 8 8). С помощью найденного в той же задаче тензора Грина для неограниченной среды нахождение и' сводится к вычислению интеграла и = Ь Г ((3 — 4п)) гр) 2/ й — ~ пх', Л = А7~'-> -". 8я(1 — г) ./ ~ 11 йз~ о В результате получим Ь ) у 1 хр и = — агсс8 — -~- 2я ( х 2(1 — сг) хз -Р рз ) ' 6 (1 — 2п 1 1 1 х иг — — — ~~ 1п,/х~ Р рз Ф 1 2(1 — ) 2(1 — ) хг+ рз ) 166 гл ш ДИСЛОКАЦИИ Вычисленный отсюда тензор напряжений имеет декартовы комгюненты у(зх~ -~- у~) у(хг — у ) х(х — у ) (х' + рг)2 (хе + рг)2 (х' + р')е или полярные и„= гг, „= — ЬВ, гг„. = ЬВ чш Зг соз Зг г г где В = д 2гг(1 — и) 5. Бесконечное число одинаковых параллельных прямолинейных краевых дислокаций а изотропной среде расположены в одной плоскости, перпендикулярной их векторам Бюргергга, на одинаковых расстояниях 6 друг от друга.
Найти напряжения сдвига, создаваемые такой «дислокапионггой стенкой» на расстояниях, больших по сравнению с 6. Решение. Пусть дислокации параллельны осн х и расположены в плоскости ую Согласно результатам задачи 4 суммарное напряжение, создаваемое всеми дислокациями в точке х,. й, дается суммой х — (у — п6) 2 и „(х,р) = ЬВх [хг + (р — пЬЛ' ' Перепишем эту сумму в виде и„„= — Ь — ~,у(О, 3) + О гг ( дз(О, д)1 6~ до где У(о, д) = ~ а' -Ь (3 — п)'' Согласно формуле суммирования Пуассона 2 1(п) = ~ ~/ 1(х)е ' '21х, найдем с Г 2 '2421б ,У(о, д) = / + 2йе~~ е2™М / / 224 бе ~ С24 бе = — + — ~ ~е " соз(2к6,3). О О При о = х/6» 1 в сумме по 6 можно оставить лишь первый член, и в результате получим о„„= 4я  — е " соз(2х — ).
2 Ьх — 2,2А 2 УА 62 12 Таким образом, напряжения убывают при удалении от стенки по акспоненциальному закону, 6. Определить дефорлшцию изотропной среды вокруг диглокационпой петли (2'. М. Вигйиь, 1939). УНРУ1'ИЕ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ НАЛИЧИИ ДИС'ЛОКАЦИИ 167 Р е шеи не. Исходим нз формулы (2710). Тензор Л11 для изотропной среды согласно (5.9) и (5.11) может быть представлен в виде 2сг Лгы =д( Эцбс 4-5„51. И~бе„б,с~.
1 1 — 2ст Тензор Грина для изотропной среды найден в задаче к Э 8 н может быть представлен как С.г(К) = 1 ((3 — 4сг)б,с -с- р,рэ). 16яд(1 — р) й Здесь В. = (г — г ) -- радиус-вектор от элемента с!Г' (в точке г ) к точке наблюдения деформации (точка г); и = Кссгс — единичный вектор в этом направлении. Подставив вти выражения в (27.10) и произведя под интегралом требуемые дифференцирования, получим после вычисления п(г) = / — (Ь(иЖ)+(Ьи)с!à — и(Ьс!Г))+ 1 — 2а Г 1 81г[1 — а) ! 271 вр 3 Г 1 / — 1 (Ър) (ис7Г ). (Ц 81г(1 — а) э' 7!э эр Стоящие здесь интегралы можно выразить через интегралы по контуру  — по петле дислокации.
Для этого используем слелующне формулы: — [Ьс!1~) = / — ((Ьи) с!! — М(Ьс)Г )), л ./я зр [Ьи) с!! = — / — (Ъ с!Г -~- (Ьи) (и с!Г ) ) . р Интегралы в правых частях равенств получаются нз контурных интегралов в левой части применением теоремы Стокса, согласно которой преобразование осуществляется заменой с!!' †1 !Г' г"] (где г" = д,сдг'); поскольку нодынтегральное выражение зависит только от разности г — г', это преобразование эквивалентно замене д!' — 1 — [сы' "ут) (где ггт = дссс3г). Введем также телесный угол П, под которым петля Тт видна из точки наблюдения, согласно определению Г 1 П = / — пса'. 771 Тогда поле смещений представится в виде п(г) = Ь вЂ” 4- — /т — [Ьс!! ) 4- Ат /г([ЪМ) сс! ).
П 1 Г 1, 1 41г 4я з' В 8я(! — ст) р Неоднозначность этой функции заключена в первом члене . угол 11 меняется на 4я прн обходе вокруг линии Р. Вдали от петли выражение (1) сводится к п(г) =,(Я(Ьи) 4-Ь(Яи) — и(ЯЬ)) 4- (Яи) (Ьи) и. 1 — 2сг 3 81г (1 — ст) Вэ 8;г (1 — а) Г!з Эту формулу можно было бы получить и непосредственно из (27.11), (27.12). 168 сз! 1ч дислокации 8 28. Действие поля напряжений на дислокацию Рассмотрим дисшокационную петлю Р в поле упругих напряжений сс,ь, созданных действующими на тело внешними нагрузками, и вычистим силу, действующую на нее в этом поле. Согласно общим правилам для этого надо найти работу бй2З, производимую над дислокацией при бесконечно малом ее смещении.
Вернемся к введенному в 8 27 предстаплению о дислокацисшной петле Р как линии., на которую опирается поверхность (Язз) разрыва вектора смещения: величина разрыва дается формулой (27.7). Смещение линии дислокации Р приводит к изменению поверхности 51з. Пусть бх вс.ктор смещения точек линии Р. Смещаясь на бх, элемент д1 длины линии описывает площадь бГ = 1бх д1) = 1бх . т) с11, чем и определяется приращение площади поверхности $0. Поскольку речь идет теперь о реальном, физическом смещении дислокации, необходимо учесть, что указанная операция сопровождается изменением физического объема среды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
