VII.-Теория-упругости (1109685), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Каждый из этих членов соответствует бегущей волне с частотой ш1 ~ шз и волновым вектором к1 ~ 1сэ (частоты, равные сумме или разности частот исходных волн, называют ком би ниц ионными ) . Таким образом, эффекты ангармоничности третьего порядка приводят к тому, что на совокупность основных монохроматических волн (с частотами ш1, шз, ... и волновыми векторами к1, »сз, ...
) валагаются некоторые «волны» слабой интенсивности с комбинационными частотами вида ш1 ~из и волновыми векторами 1с~ ~ 1сз. Мы говорим здесь о них как о эволнах» в кавычках, имея в виду, что опи представляют собой некоторый поправочный эффект и не могут суп1ествовать сами по себе (за исключением некоторых особых случаев; см. ниже). Между ш1 ~ шя и 1с1 ~ вся пе удовлетворяются, вообще говоря, те соотношения, которые имеют место для частот и волновых векторов в обычных монохроматических волнах. Ясно, однако, что возможны и такие специальные подборы значений ш», й1 и шз, Ез, при которых между ш1+ шз и 11+ Ез (будем говорить для определенности о суммах, а не о разностях) будет выполняться одно из тех соотношений, которые должны иметь место для монохроматических волн в данной среде.
Вводя обозначениЯ ша = ш1 + шя и Ыз = 1~ + Ыя, мы можем сказать с математической точки зрения, что шз, 1сз соответствуют в этих случаях волнам, удовлетворяющим однородным линейным уравнениям движения (без правой части) первого приближения. Если в правой части уравнений движения второго приближения имеются члены, пропорциональные е'~к»" "'й с такими ша, кз, то, как известно, частный интеграл этих уравнений будет представлять собой волну этой частоты с амплитудой., неограниченно возрастающей со временем.
Таким образом, наложение двух монохроматических волн ш1, 1с~ и шг, йг, для которых суммы шз, кз удовлетворяют указанно- 154 УПРУГИЕ ВОЛНЫ ГЛ. Ш 1 (ди, диь дги ди~) 2 ~дв, д, д",д", (26.1) в котором нельзя пренебречь квадратичными по и, членами. Далее, общее выражение для плотности энергии б ') для тел с данной симметрией должно быть написано как скаляр, составленный из компонент тепзора и,ь и некоторых характерных для вещества тела постоянных тензоров, содержащих члены до желаемой степени по и,ы Подставляя затем выражение (26.1) для и;ь ' ) Мы говорим эдесь о внутренней энергии б, а пе о свободной энергии г, поскольку речь идет об адиабатических колебаниях.
му условию, приводит в результате эффекта ангармоничности к явлению резонанса — возникает новая настоящая монохроматическая волна сов, 1сз, амплитуда которой возрастает со временем и в конце концов перестает быть малой. Очевидно, что если при наложении волн шм 1с1 и сиз, 1св возникает волна оэз, 1св, то пРи наложении волн со1, 1с1 и Шз, 1сз тоже будет иметь место резонанс и возникает волна оэ2 = шв — шы 1сэ = 1са — 1с1., а пРи наложении волн шг, 1св и шз, 1сз возникает волна шы 1см В частности, в изотропном теле оэ связано с 1с посредством со = сск или си = с~к, причем с~ ) сь Легко видеть, в каких г учаях возможно выполнение какого-либо из этих соотношений для каждой из трех волн; оэ1, 1сб шъ 1сз и шз = оэ1+оэ2, 1сз = 1с1+ 1сз.
Если 1с1 и 1ся не совпадают по направлению, то Йз < Й~ + Йя, ясно поэтому, что при таких 1с1, 1сз резонанс возможен лишь в следующих двух случаях; 1) волны ШГ, 1с1 и оэ2, 1сз поперсчны, а волна шз, 1св пРоДольна; 2) оДна из волн оэ1, 1с1 или оэо, 1сз пРоДольна, другая поперечна, а волна шв, 1сз продольна. Если же векторы 1с1 и 1сз имеют одинаковое направление, то резонанс возможен в случаях, когда все три волны продольны или все три поперечны. Эффект ангармоничности с явлением резонанса возникает не только при навожении нескольких монохроматических волн, но и при наличии всего одной только волны ш1, 1см В этом случае в правой части уравнений движения имеются члены,пропорциональные евц'" '"").
Но если для шм 1с1 удовлетворяется обычное соотношение, то (в силу однородности первого порядка этого соотношения) оно удовлетворяется и для 2шм 21см Таким образом, эффект ангармоничпости приводит к появ.лешлю наряду с каждой из имеющихся монохроматических волн ш1, 1с1 также и волны 2ШЫ 21с1 с удвоенными частотой и волновым вектором, причем амплитуда этой волны растет со временем. Наконец, остановимся коротко на том, каким образом могут быть составлены уравнения движения с учетом ангармонических членов. Тензор деформации должен определяться теперь полным выражением (1.3) 155 л~ГАРмонические колевхпия и отбрасывая члены слишком высоких порядков по и„получим энергию Е как функцию производных ди,/дхь с желаемой степенью точности.
Для того чтобы получить уравнения движения, заметим следующее. Вариация бб может быть написана в виде бе= 5 д(д1ь/дх~) дх~ или, вводя обозначение: дЕ д(ди,/дха) (26.2) переписываем бб следующим образом; дЕ = о,ь "' = (п1ьби,) — би, дх~ дх~. дх~ Коэффициенты при — ди, представляют собой компоненты си- лы, отнесенной к единице обьема тела. Они имеют формально прежний вид, и потому уравнения движения могут быть напи- саны по-прежнему в виде диа раб = дха (26.3) (х, + и,.)бь — (хь + иь)иь где ра плотность недсформированного тела, а компоненты тензора и;ь определяются теперь, согласно (26.2), с Е, написанным с желаемой степенью точности. Тензор п,ь теперь не симметричен. Подчеркнем, что п,ь не имеет теперь смысла плотности потока импульса (тензора напряжений).
В обычной теории такое истолкование получалось в результате интегрирования плотности объемной силы дп;ь/дхь по обьему тела. При этом существенно, что при интегрировании мы не делали различия между координатами точек тела до и после доформирования, пренебрегая разницей между ними.
Однако при переходе к следующим приближениям такое пренебрежение становится невозможным, и поверхность, ограничивающая область интегрирования, не совпадает с реальной поверхностью рассматриваемого участка тела после его деформирования. В 5 2 было показано, что симметричность тензора п,ь связана с сохранением момента импульса. Теперь этот результат не имеет места в связи с тем, что плотность момента импульса должна записываться не в виде х;бь — хе и;, а как 156 упРуГие волны гл.
ш Задача Написать общее выражение для упругой энергии изотропного тела в третьем приближении. Решение. Из компонент симметрического тепзора второго ранга можно составить два квадратичных скаляра (и,ь и ии) и три кубических г (и~п или,ю имия им). Поэтому наиболее общий вид скалярного выражения, з г содержащего члены второй и третьей степеней по и,ь со скалярными же (изотропное тело!) коэффициентами, есть 2 ~~ и 2 С Е' = ди,е -~- — — — ии -~- — и,ьиииы -~- Ви,„ил 2- — ии 'х2 3( 3 3 (коэффициенты при и,е и ил выражены через модули сжатия и сдвига; А, 2 2 В, С -- три новые постоянные). Подставляя сюда выражение (26.Ц для и,е и оставляя члены до третьего порядка включительно, получим упругую энергию в виде + + + А ди, диь диг В ди, диь диг С Г дщ''1 12 дхь дхг дх, 2 дхь дх,, дх~ 3 ~дх~/ ГЛАВА П ДИСЛОКАЦИИ') й 27.
Упругие деформации при наличии дислокации Упругие деформации в кристалле могут быть связаны не только с воздействием па него внешних сил, но и с наличием в нем внутренних дефектов структуры. Основным видом таких дефектов, существенных для механических свойств кристаллов, являются так называемые дислокации. Изучение свойств дислокаций с атомарной, микроскопической точки зрения не входит, разумеется, в план этой книги; мы рассмотрим здесь лишь чисто макроскопические аспекты этого явления с точки зрения теории упругости. Однако для лучшего уяснения физического смысла излагаемых Ф ~У соотношений предварительно напомним ° ° ° 4 На ДВУХ ПРОСТЫХ ПРИМЕРаХ, В ЧЕМ ЗаКЛЮ- и, ° ° « ° * ° ° чается характер дислокациоппых дефек-,...
' . ° тов с точки зрения структуры кристаллической решетки. Представим себе, что в кристаллическую решетку (разрез которой изображен на рис. 22) вдвинута «лишняя» кристаллическая полуплоскость (совпадаю- * щая па рисунке с верхней полуплоско- Рис. 22 стью ри). Линия края этОЙ полуплоскости (перпендикулярная плоскости рисунка ось и) называется в этом случае краевой дислокацией. Искажение структуры решетки в непосредственной близости к дислокации велико, по уже на расстояниях порядка нескольких периодов кристаллические плоскости смыкаются друг с другом почти правильным образом. Деформация существует, однако, и вдали от дислокации.
Она ясно обнаруживается при обходе в плоскости ту по узлам решетки вдоль замкнутого контура вокруг начала координат: если определять вектором и смещение каждого узла от его положения в идеальной решетке, то полное приращение этого вектора при обходе будет отлично от нуля и равно одному периоду вдоль оси т. ) Этв глава пвписвив совмостпо с А.М. Косовичом. 158 гл !ч лислокАции Другой тип дислокации можно наглядно представить себе как резуззьгнг «разреза» решетки по полуплоскости, после чего части решетки по обе стороны разреза сдвигаются относительно друг друга на один период параллельно краю разреза (который называется в этом случае винтовой дислокацией).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
