VII.-Теория-упругости (1109685), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В монохроматичсской упругой волне вектор смещения имеет вид п = Не Спи(г)е ™'1, (22.13) где по -- функция координат. Эта функция удовлетворяет урав- нению с,Ьпо+ (с~ — с,) рабс11тпо+ ш по = О., (22.14) где Й~ = ш/си ис —— ш/сс — волновые векторы продольной и поперечной волн. Наконец, рассмотрим отражение и преломление плоской монохроматической упругой волны на границе раздела между двумя различными упругими средами.
При этом надо иметь в виду, что при отражении и преломлении характер волны, вообще говоря, меняется. Если на границу раздела падает чисто поперечная или чисто продольная волна, то в результате получаются смешанные волны, содержащие как поперечные, так и продольные части. Характер волны пе меняется Скак это явствует из соображений симметрии) только в случае перпендикулярного падения волны на поверхность раздела и в случае падения под произвольным углом поперечной волны с параллельными плоскости раздела колебаниями.
Соотношения, определяющие направления отраженной и преломленной волн, могут быть получены непосредственно из постоянства частоты и касательных к поверхности раздела ком- получающемуся при подстановке С22.13) в С22.6). Продольная и поперечная части монохроматической волны удовлетворяют уравнениям Ьпс + й~~п~ = 0, Ьпс + й~~пс = 0, (22.15) 134 1'Л. П1 упгугив ВОлны понент волнового вектора ). Пусть 0 и 0' угол падения и угол отражения (или преломления), а с, с' скорости обеих рассматриваемых волн. Тогда гйпВ с (22.16) вш В' с' Пусть, например, падающая волна поперечна.
Тогда с = сн есть скорость поперечных волн в первой среде. Для поперечной же отраженной волны имеем тоже с' = сн, и потому (22.16) даст т. е, угол падения равен углу отражения. Для продольной же отраженной волны имеем с = сн и потому в1В 0 сн гйп 0' сн Для поперечной части преломленной волны имеем с' = с12 и при поперечной же падающей волне имеем З1П В , РВ В' Аналогично для продольной преломленной волны имеем З1П В в1В 0' сш Задачи 1. Определить коэффициент отражения продольной монохроматической волны, падающей под произвольным углом на границу тела с вакуумом. Решение. При отражении под произвольным уг- Ц лом возника1от как продольная, так и поперечная отраженные волны. Из соображений симметрии заранее ясно, что вектор смешения в поперечной отраженной волне будет лежать целиком в плоскости падения (рис. 20; по, п1, п1 — единичные векторы вдоль направлоний падающей, продольной и поперечной отраженных волн, а по, Ш, п1 соответствующие векторы смещений).
Полное смещение в теле равно сумме (общий множитель е ' ' для краткости опускаем) и = Аепое'"'" -Р А1п1е'"'" -Р А, )ап1) е'"" Рис 2О (а — еДиничный вектоР, пеРпенликУлЯРный к плоскости падения). Абсолютные величины волновых векторов равны: ке = Ц = и/с1, к1 = ы)с„а углы падения Во и отражения В1, 01 связаны С1 соотношениями 01 = Ве, гйп01 = в|и В —. Для компонент тензора деформаС1 ' ) См. 111, З бб.
Все изложениыо там соображения, полностью применимы и здесь. упгугиь волны в изотгоппой сгедь ции на границе тела получаем и = 1йа(Аа 4- А~) сов~ Ва 4- 1А~ Мг соь В~ сйп Ва, ип = гйа(Аа 4- А~), и „= гва(Аа — А~) сйп9а сов да -~- -А~0~(соэ Ва — э1п' да) 1 2 (общие экспоненциальные множители опускаем).
Компоненты тензора н~ пряжений вычисляем по общей формуле (а. 11), которую удобно писать здесь в виде 2 г щь = 2дс,иы 4- р(Ш вЂ” 2с,)илбм. Граничные условия на свободной поверхности среды: о,ьпг = О, откуда сгь = пэ,, = О> и дают два уравнения, из которых можно выразить Ан А~ через'Аа В результате вычистений получается с) эш 20~ гйп 29а — с~~ соъэ 20~ А™йа 2 с, гйп 2Ва эш29а -Г с, сов' 20~ ' 2 а 2с~са гйп 29а соэ 2Ва са эш 29~ э1п 2да 4 с~ соээ 2Ва При Ва = О имеем .4~ = —.4а, А~ = О, т. е, волна отражается целиком как продольная.
Отношение перпендикулярной к поверхности среды компоненты плотности потока энергии в отраженной продольной волне к такому жа потоку в падающей волне есть А~ й~ = Аа Аналогичное отношение для отраженной поперечной волны есзь с, соэ В~ .4, 3 Лс = с~ саада .4а Разумеется, Ла + В~ = 1. 2. То же, если падающая волна поперечная (и направление колебаний в ней лежит в плоскости падения) ). Решение. Волна отражается в виде поперечной жа и продольной волн, причем 9~ = Ва, с~ гйп В~ = с~ э1п Ва Полный вектор смешения: и = [апа) Аае'"а'+ ш А~ежи + )ап~) А~с'"и. Для амплитуд отраженных волн получаются выражения Аа с, э1г1 29~ эш2Ва — с, соэ 2Ва 3 2 2 Аа с~э1п29~ сйп29а 4-с,'соэа 2Ва 2с~са э1п 2Ва сов 2Ва Аа се э|в 29~ гйп2Ва 4- с соээ'2Ва ') Если колебания перпендикулярны плоскости падения, то волна отражается целиком в виде такой же волны, так что 22~ = 1. 136 1'Л.
П1 упгугив волны 3. Определить частоты радиальных собственных колебаний упругого шара радиуса Л. Решение. Выбираем сферические координаты с началом в центре шара. При радиальных колебаниях и направлено по рапиусу и зависит только от 1 (и от 1). Поэтому гоС и = О. Введем эпотенциалэ смещения 112 согласно и, = и = д~р)дг. Выраженное через сэ уравнение движения сводится к волновому уравнению с1 Ьу2 = Д или для периодических по времени ( е " ) колебаний: 1 д Г' 2д22'1 2 11 Ь12 щ — — (г — ) = — )г 22, й = —. гэ дг дг ' с1 Решение, конечное во всем обьеме шара, включая его центр, есть З1П ЙГ сэ = А ' (временной множитель не пишем). Радиальные напряжения: и,„= р((с1 — 2с2)и„+ 2с,и„.) = р((с1 — 2с12)1з12+ 2с,р ) или,использовав уравнение (1): 2 21 — и„„= — ь2 Э1 — 4с, — 22 .
(2) Р 'г Граничное условие а„(й) = 0 приводит к уравнению 16Ы йй 1 — (ййс1/2с1)2 Его корни определяют частоты собственных колебаний ш = с1й. 4. Определить частоту радиальных колебаний сферической полости в неограниченной упругой среде, для которой с1 )) с1. Решение. В неограниченной среде радиальные колебания полости сопровождаются излучением продольных звуковых волн, что приводит к потере энергии и тем самым к затуханию колебаний.
При с1 » г1 (т. е. Ь » р) это излучение будет слабым и можно говорить о собственных частотах колебаний с малым коэффициентом затухания. Ищем решение уравнения (1) в виде расходящейся сферической волны 22=А, В=в С1 и с помощью (2) получаем из граничного условия п,(й) = 0 йй — = 4(1 — 11сй). ( ")'= с,Г Отсюда (при с1 » с1) 2 ( 1 Вещественная часть ы дает собственную частоту колебаний, а мнимая— коэффициент затухания, в несжимаемой среде (с1 — 1 оо) затухание, естественно, отсутствовало бы. Эти колебания — специфический результат сопротивляемости среды по отношению к сдвигу (р ~ 0).
Обратим внимание на то, что для них Йй = 2с1/12 « 1, т. е. соответствующая этим колебаниям длина волны велика по сравнению с Л (ингересно сравнить зто с колебаниями упрутой сфоры, для которых при с1 » с1 первая собственная частота определяется согласно (3) из йй = х). 137 уг!Ругив Волпь! В кРиггтАллАх й 23. Упругие волны в кристаллах Распространение упругих волн в аиизотропиой среде, т.
е. в кристаллах, подчиняется более сложным закономерностям, чем распространение волн в изотропном теле. Для исследования таких волн надо обратиться к общим уравнениям движения дгг,г 1ЛТг = — ' дхг и воспользоваться для пгт общим выражением (10.3) а,ь = Л;и~и!~. Соответствеипо сказанному в начале предыдущего параг1гафа под Лгыг„г надо везде подразумевать адиабатические значения модулей упругости.
Подставляя гггь в уравнения движения, получаем ди!,„Л,и д У ди! ди рвг = Лгыт дль 2 дх! 'Хдл длг ) 1 дги! 1 д и = -Л1„„, + -Лйи 2 длг, дл 2 длг длг Поскольку теизор Лги!„„симметричен по индексам 1 и гп, то, меняя во втором члене обозначение индексов суммирования 1 и гп иа обратное, находим, что первый и второй члены тождественны. Таким образом, получаем уравнения движения в виде ргг1 = Л„., ' "- . (23.1) дЛ!. дЛг Рассмотрим моиохроматическую упругую волну в кристалле. Для этого мы должны искать решение уравнений движения в виде г (Фгг — гу!) иг' = ноге (!!о! — постоянные), причем соотпошеиие между волновым вектором 1с и частотой аг должно быть определено так, чтобы написанная функция действительно удовлетворяла уравнению (23.1).
Диффереицировапие си по времени приводит к умножению па — гьг, а дифференцирование по хь к умножению иа гйь. Поэтому уравнение (23.1) гюсле подстановки превращается в 2 ры ггг. = Лгь!г.йьй!и . Написав и; = б; и, переписываем это равенство в виде (рьгзо — Л ы Вью!)и„„= О.
(23.2) Это система трех однородных уравнений первой степени относительно неизвестных ил, ию иг. Как известно, такая система 138 упРуГие волны имеет отличные от нуля ре!пения лишь при условии равенства нулю определителя коэффициентов уравнений (23.3) Этим уравнением определяется зависимость частоты волны от волнового вектора; об этой зависимости говорят как о законе дпст!Ерсии волн, а определяющее его уравнение называют диспсрсиолильим. Уравнение (23.3) уравнение третьей степени по со~.
Опо имеет три различных корня о!~ = о1~(1с) -- три, как говорят, ветви закона дисперсии. Подставляя поочередно каждый из этих корней обратно в уравнения (23.2) и решая их, мы найдем направления вектора смещения и в этих волнах, как говорят, направления их поляризации (в силу своей однородности, уравнения (23.2) не определяют, конечно, абсолютной величины вектора и, остающейся произвольной) ). Направления поляризации трех волн с одним и тем же волновым вектором 1с взаимно перпендикулярны. Это важное утверждение следует прямо из того, что уравнение (23.3) можно рассматривать как уравнение, определяющее главные значения симметричного тепзора второго ранга Л,ы1П1йьй! з); уравнения же (23.2) определяют главные направления этого тензора, которые, как известно, взаимно перпендикулярны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
