VII.-Теория-упругости (1109685), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Умножая (Ц скалярно и векторно на г (штрих означает дифференцирование по Ц и замечая, что г~г~~ = О (поскольку г' = 1), получаем Р(гг') -Р срг' = О, Е1г" = ((Рг) г') -Р с(рг'). В компонентах (ось 2 выбрана по направлению Е) (хд — ут ) -Рох = О, Е12 = — Г(лт -Р ру ). Вводя в этих уравнениях цилиндрические координаты 1, 1д, 2, получаем с~112' 4- сс' = О, Е12" = — Гтт'.
(2) Из второго уравнения имеем 2' = (.4 — те), 2Е1 (3) где .4 — постоянная. Комбинируя (2) и (3) с тождеством +т 22 -~-2 =1, получаем Е2 З 122 Ж= —, С(т) = т — (т +с)(А — т ) ~ С(т) ' ( 4Е211 после чого из (2) и (3) находим Е /' (А — т2)т сЕ /' А — т2 с(т., 1р = — с(т, 2Е1 1 С(т) ' 2Е1 1 РС(т) чем и определяется форма изогнутого стержня. При некотором определенном значении Ое, лежащем между О и я112, производная ф21Юо (где 1" рассматривается как функция от де) обращается в нуль и делается положительной. Дальнейшему уменьшению де, т. е.
увеличению прогиба, соответствовало бы уменьшение 1. Это значит, что найденное решение делается неустойчивым; стержень чпровю1иваетсяь1 между опорами. б.Привести к квадратурам задачу о пространственном сильном изгибе стержня под действиеч сосредоточенных сил. Р е ш е н и е. Рассматриваем участок стержня между точками приложения сил, на котором Е = сопэю Интогрируя (19АО), получаем 114 Равповксиь сткгжпкй и пластинок гл. и 6.
Стержень кругового сечения подвергнут кручению (угол кручения т) и изогнут в винтовую линию. Определить силу и момент сил, которые дол- жны быть приложены к концам стержня для того, чтобы удерживать его в таком состоянии. Р е ш е н и е. Пусть 17 — радиус цилиндра, на поверхности которого на- вита винтовая линия (ось х выбираем по оси этого цилицдра), а а — угол между касательной к линии и плоскостью, перпендикулярной к оси -; шаг винтовой линии 6 связан с а и Л посредством 6 = 2яйвба. Уравнения винтовой линии: х = Ясов х, у = Ешпр, х = хйвяа (у — угол поворота вокруг оси х); эломент длины дуги Й = В4Вэ/сова.
Подставляя эти выражения в (19.7), вычисляем компоненты вектора М, а затем по формуле (19.3) — силу Р (постоянную вдоль всей длины стержня). В результате находим, что сила Р направлена по осн х и равна гбпа Е1 з Г, = Г = Ст — — сов а шп а. я Ез Момент М имеет составляющую по оси х: Е1 М. = Стыла+ — сов' а Л, и составляющую ЛХт, направленную в каждой точке стержня по касательной к окружности поперечного сечения цилиндра, равную ЬХт = Г17.
7. Определить форму гибкой нити (сопротивлением которой на изгиб можно пренебречь по сравнению с сопротивлением на растяжение), подве- шенной за две точки в поле тяжести. Решение. Выбираем плоскость, в которой расположена нить, в каче- стве шюскости хр с осью 9, направленной вертикально вниз.
В уравнении (19.3) можно пропобречь членом АМ/о1, поскольку М пропорционально Е1. Тогда )РС) = О, т. е. Р направлено в каждой точке нити по С и можно напи- сать Р = ГС. Уравнение (19.2) дает теперь (д — вес единицы длины нити), откуда дх др à — '=с, à — '=Чб Ж Ж Отсюда имеем Г = Ь7с'-'+ дз)в, так что йх А ~у (И /Ав -ь 12 ' сй чг.4в 4-тз (где .4 = с(д).
Интегрирование дает х = ААгвй —, у = ьУАз -ь Е, 4 откуда р =.4с1г —, А т. е, нить имеет форму цепной линии. Выбор начала координат и постоянная А определяются тем, что кривая должна пройти через две заданныс точки и должна иметь заданную длину. 115 1 го сллвый изгив стввжнкй 9 20. Слабый изгиб стержней НЯМ [гв ] [ ге] (20.1) 1с Второй член содержит малую величину —, вследствие чего им 11 обычно (за исключением некоторых особых случаев, о которых речь идет ниже) можно пренебречь. Подставляя в первом члене дР/й = — К, получаем уравнение равновесия в виде (20.2) Напишем это уравнение в компонентах, для чего подставим в него, согласно (18.6) и (18.9), ЛХ = — Е11Уп, Мя —— Е1гХл, М = 0 (20.3) (знак ' означает везде дифференцирование по з).
Единичный вектор С можно считать направленным по оси з. Тогда мы полу- чим Е1гХлл — К = О, Е1гУ"пп — Ку —— О. (20.4) Эти уравнения определяют зависимость прогибов Х и У от з, т. е. форму слабо изогнутого стержня. Силу Р внутренних напряжений, действующую на поперечное сечение стержня, также можно выразить через производные от Х и 1'.
Подставляя (20.3) в (19.3), получаем Гх — Е1гХ Ру — — — Е11уп (20.5) ы ) Мы не излагаем вовсе сложной теории изгиба стержней, которые в своем естественном, недеформированном, состоянии имеют изогнутую форму (огрш~ичиваясь лишь одним простым примером в задачах 8, 9 этого параграфа). Уравнения равновесия значительно упрощаются в практически важном случае слабого изгиба стержней. Изгиб является слабым, если направление касательной С к стержню медленно меняется вдоль его длины, т.
е. производная г1С/Й мала. Другими словами, радиус кривизны изогнутого стержня в каждой точке должен быть велик по сравнению с длиной стержня. Практически это условие сводится к требованию малости поперечного прогиба стержня по сравнению с его длиной. Подчеркнем, что при этом отнюдь не требуется малости прогиба по сравнению с толщиной стержня, как это должно было быть в приближенной теории слабого изгиба пластинок, развитой в 9 11, 121). Продифференцируем (19.3) по длине: 116 РАВИОвксиь стнРжпвй и плАстинОк гл и Оба уравнения отличаются только коэффициентом при К.
Поэтому Х и у пропорциональны друг другу, причем У =Х'— 11Е . 1, Угол Ы между плоскостью изгиба и плоскостью ти определяется равенством Ья0 = — Ьяст. 12 11 (20.6) 11 ) Уравнением вида ВХЛР— К, = 0 (20.4а) описывается также в определенных предельных случаях и изгиб тонкой пластинки. Пугзгь прямоугольная пластинка (с длинами сторон а и Ь и толщиной Ь) укреплена вдоль своих сторон а (направление р)и изгибается вдоль сторон Ь (ось с) однородной вдоль оси у нагрузкой. В общем случае произвольных а и Ь для определения изгиба должно быть использовано двумерное уравноние (12.5) с соответствующими граничными условиями на укрепленных и на свободных сторонах пластинки. В предельном случае а» Ь деформапию можно считать однородной вдоль оси у, и тогда двумерное уравнение равновесия переходит в уравнение вида (20.4а), причем роль жесткости на изгиб играет величина Еаза Уравнение (20.4а) применимо и в обратном предельном случае а « Ь, когда пластинку можно рассматривать как стержень длины Ь с узким прямоугольным сечением (сечение в виде прямоуголы1ика со сторонами а и Ь); при этом, однако, жесткость на изгиб определяется другим выражением 11 Е1 Е11'а 12 Мы видим, что вторые производные определяют момент сил внутренних напряжений, а третьи производные определяют сами эти силы.
Силу (20.6) называют псререзынпю1цей с1ллой. Если изгиб производится сосредоточенными силами, то перерезывающая сила постоянна вдоль каждого из отрезков стержня между точками приложения сил, а в каждой из этих точек испытывает скачок, равный приложенной внешней силе. Величины Е12 и Я11 называют жесткостью стержня на изгиб соответственно в главных плоскостях ая и уз ). Если приложенные к стержню внешние силы действуют в одной плоскости, то и изгиб стержня произойдет в одной плоскости.
Эти две плоскости, однако, в общем случае не совпадают друг с другом; легко найти угол между ними. Если сс угол между плоскостью действия сил и первой главной плоскостью изгиба (плоскостью тя), то уравнения равновесия принимают вид Л 1Л1 с' 1э 11 гт Улл в1п о 14- 1,Е 11Е 117 1 20 сллвый изгив ствгживй Для стержня кругового сечения 11 = 10 и а = О, т. е, изгиб происходит в плоскости действия сил.
То же самое имеет место и для стержня произвольного сечения при сг = О, т. е. когда силы направлены в главной плоскости. Для абсолютной величины прогиба (= нх ~-~ имеет место уравнение ЛЛ' ~00 Перерезывающая сила Р лежит в той же плоскости, что и К, и равна Е = — Е1~"'. (20.8) Величина 1 играет роль эффективного значения момента инерции сечения стержня.
Напишем в явном виде граничные условия для уравнений равновесия слабо изогнутого стержня. Если конец стержня заделан, то на нем должно быть Х = У = 0 и, сверх того, не может измениться его направление, т, е, должно быть Х' = У' = О. Таким образом, на заделанном конце стержня должны выполняться условия Х=У=О, Х'=У'=О. 120.9) Сила же и момент сил реакции в точках опоры определяются по известному решению формулами (20.3) и (20.5). При достаточно слабом изгибе стержня закрепление его конца в шарнире и опирание его в точке эквивалентны в отношении граничных условий.
Дело в том, что во втором случае продольное смещение стержня в точке опоры является при слабом изгибе величиной второго порядка малости по сравнению с поперечным прогибом и потому должно считаться равным нулю. Граничные условия исчезновения поперечного смешения и момента сил дают в этих случаях Х=У=О, Х"=У"=О. (20.10) Направление же конца стержня и сила реакции в точке опоры определяются в результате решения ура,внений.
Наконец, на свободном конце должны отсутствовать сила Р и момент сил М. Согласно (20.3) и (20.5) это приводит к условиям Х" = У" = О, Х"' = Угл = 0 (20.11) (если к свободному концу приложена сосредоточенная сила, то Р должно быть равно этой силе, а не нулю). Нетрудно обобщить уравнения (20.4) на случай стержней переменного сечения. У таких стержней моменты инерции 11 и 1„ 118 РАВ!1ОВВСИЬ С'ГЬР1КВЬЙ И ПЛАСТИПОК ГЛ 1! Е 1 (11 —., ) = КВ1 Š—, (1з —,) = Кх, (20.12) в которых 11 и 1г нельзя вынести из-под знака производной. Для перерезываюшей силы имеем гх= Е (12 )1 Е — — — Š— (1~ ) .
(20.13) Вернемся снова к уравнениям (20Л). Произведенное нами пренебрежение вторым членом в правой части равенства может оказаться в некоторых случаях незаконным даже при слабом изгибе. Это те случаи, в которых вдоль длины стержня действует большая сила внутренних напряжений, т, е, Е, очень велико. Наличие такой силы вызывается обычно сильным натяжением стержня приложенными к ого концам внешними растягиваю1цими силами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
